如何求教列的前n項和

馬麗

數列求和問題是數列中的重要題型.在解題的過程中，我們經常會遇到一些非等差、非等比數列的求和問題，其求解的辦法多種多樣.為了幫助同學們熟練掌握求數列前n項和的方法，筆者對下面三種方法進行了探討.

一、倒序相加法

如果一個數列中與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，我們就可以采用倒序相加法來求和.把正序的和式與倒序的和式中的對應項相加，便能得到n個與首末項等距的兩項之和;求出首末兩項之和，便可求得數列的前n項和. 例1.若函數f（x）=的值.

分析：通過對已知函數式的觀察與分析，可以發現f （x）+f（2 -x）= -4，可采用倒序相加法來求解，將求和問題轉化為求首項和尾項的和.

解：

二、分段求和法

分段求和法是指將數列中具有相同特性的項放在一起，把數列分為幾段，然后分段進行求和的方法.運用分段求和法解題的關鍵在于，仔細觀察和分析數列的通項，把握其特性和規律，將其進行合理的分段.

例2.求數列{n（n+1）（2n+1）}的前n項和.

解：設

通過對通項的觀察與分析，可知該數列的和可以分為三段：

.于是運用分段求和法，將數列的每一項拆開，分段進行求和，再綜合所得的結果即可求得原數列的前n項和.

三、裂項相消法

裂項相消法是指將數列中的每項（通項）裂為兩項之差的形式，然后將其重新組合，使之能消去中間的一些項，最終達到求和的目的的方法.運用裂項相消法求數列的前n項和的關鍵是將數列的通項合理變形.常見的裂項方式有

、

我們由已知條件能快速求得

的通項6n=

可將其裂為兩項之差的形式：通過裂項相消，便可將中間的一些項消去，這樣便只剩下首尾兩項，化簡該式即可得到答案.

由此可見，倒序相加法、分段求和法和裂項相消法的適用范圍各不相同，同學們在解題的過程中要注意合理選擇.無論運用哪種方法求和，我們都要首先仔細觀察和分析數列的通項，合理進行拆分、組合、裂項，這樣才能快速找到與之相對應的解題方法.

（作者單位：安徽省阜南實驗中學）