如何利用平面幾何知識解答解析幾何問題

孫召考

解析幾何是高考考查的重點內容.在解答解析幾何問題時，我們常采用“純代數”的方法，如建立方程組、利用韋達定理等進行求解，但其計算量較大，解題過程復雜，很多同學在解題巾經常出現半途而廢的現象.而運用幾何方法，借助平面幾何知識來解答解析幾何問題，能有效減少運算量，大大提升解題的效率.

一、利用與三角形有關的性質、定理求解

利用與三角形有關的性質、定理來解答解析幾何問題的關鍵在于，結合問題中的條件繪制對應的圖形，構造三角形，然后靈活運用與三角形有關的性質、定理，如直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的中線即為三角形的高線，等邊三角形的五心合一，三角形的內角平分線定理，等等，來建立等量關系，使問題得解.

例1.如圖1，Fl. F2分別為橢圓C：

的左右焦點，過F2作x軸的垂線L，L與圓（x-1）2 +y2= 4a2交于點4，與橢圓C交于點D，延長AF1交圓F：于點B，連接BF2交橢圓v于點E.已知DF1=

，求點E的坐標.

解：如圖l，連接EF1.由橢圓的定義以及方程可知EF， +EF2 =2a =4，

由圓的方程可知BF2= 2a=4，

我們通過觀察與分析可以發現，圖1巾暗含兩對等腰三角形△BF2A和△BEF1，由等腰三角形的性質可知∠BF1E=∠BAF2，從而得出EF1∥AF2，進而求得點E的坐標.

例2.橢圓C：

的左、右焦點分別是F1，F2，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.若點P是橢圓C上除長軸以外的任一點，設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍.

解：在△PF1F2中，PM平分∠F1PF2，

由三角形內角平分線定理得

又點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，

所以a-c<|PF1|

即

解得

解答本題，主要運用三角形內角平分線定理：若AABC中∠A的平分線為AD，則

.我們由PM平分∠F1PF2，得到三邊關系式，求得|PF1|，然后根據橢圓上的點到焦點的距離的范圍，求得m值.

二、利用與圓有關的性質、定理求解

在解題時，我們經常會遇到一些與圓有關的問題，此時我們可以利用與圓有關的性質或定理，如直徑所對的角為直角、弦心距與半徑之間的關系、垂徑定理、圓周角定理、切線長定理等來解題.

例3.在平面直角坐標系xOy中，A為直線L：y=2x在一象限內的點，B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線L交于另一點D，若

，求點A的橫坐標.

解：由AB-CD =0可得∠BAO=

，設直線L的傾斜角為θ，

則tan0=2且∠ABx=

故kAB=

則直線AB的方程為y=-l3x+15，

將其與直線L：y=2x聯立得x=3，

所以點A的橫坐標為3.

由于AB為圓的直徑，根據條件AB-CD：0以及圓的性質：直徑所對的角為直角可知△ABD是等腰直角三角形，便能快速建立直線AB的傾斜角與直線2的傾斜角之間的關系：

，利用斜率公式即可求出直線AB的斜率和方程，聯立直線AB和直線L的方程便能求得點A的橫坐標.

可見，運用平面幾何知識來解答解析幾何問題，能有效提升解題的效率.在解題時，我們首先要結合題意繪制對應的圖形，然后根據曲線的幾何性質添加輔助線，構造圓、等腰三角形、平行四邊形、梯形等，利用與圓、等腰三角形、平行四邊形、梯形等的相關性質、定理來解題.

（作者單位：江蘇省沭陽縣建陵高級中學）