求數列通項公式的兩個技巧

李俊

在學習數列時，我們經常會遇到一些不能直接利用公式來求解的數列通項公式問題.這類問題的題型變化多樣，解題的思路也有很多種.同學們想要快速解答這類問題，就要熟練掌握求數列通項公式的一些常用方法.這里給大家介紹兩種常用的方法：累加法和累乘法.

一、累加

有些問題中會出現形如an+1-an=f（n）或an-an-1=f（n）的遞推式，此時我們可以采用累加法來求數列的通項公式.在解題時，需將n =1，2，3，…，n時的式子一一羅列，然后累加，通過化簡便可求得數列的通項公式.

例1.已知數列{an}滿足2an+1=2an+3n+l，且a1=l，求數列{an}的通項公式.

解：由題意可得，

所以

將上述式子相加可得：

整理得：

解答本題主要運用了累加法，將n-1個式子累加，便將問題轉化為求數列和問題，只需運用等比數列的前n項和公式進行計算，就可得到數列{an}的通項公式.在解題時，同學們要注意關注首尾兩項與n之間的關系.

二、累乘

累乘法適用于解答遞推式形如

或

問題.在求數列的通項公式時，我們同樣需將n=1，2，3，…，n時的式子一一羅列，然后累乘，將左邊的式子與左邊的式子相乘，右邊的式子與右邊的式子相乘，通過化簡就能求得an的表達式.同學們要注意先確定好首項，這樣才能確保得到正確的結果.

例2.若數列{an}滿足

且a1=l，求數列{an}的通項公式.

解：由題意可得

將上述式子累乘可得

本題較為簡單，我們直接列出n-1個式子，將它們累乘，便可求得數列的通項公式.因為遞推式中含有an+l，所以這里只能將n-1個式子累乘.

例3.已知數列{an}中，a1=l，an+1=2nan，求數列的通項公式an.

解：由題意可得，

則

將上述式子累乘可得an=

所以an=

在求數列的通項公式時，若 ，且f （n）的前n項積可求，可以直接利用累乘法求解.

這兩種方法及其解題過程都較為相似，區別在于一種是通過累加，另外一種是通過累乘來求得數列的通項公式.在解題時，同學們要注意觀察數列的遞推式，形成合理變形，構造an-an-1=f（n）或

的形式，然后運用累加或者累乘法進行求解.

（作者單位：云南省紅河州第一中學）