靈活運用函數(shù)思想，提高解題的效率

楊鳴宇

函數(shù)思想是高中數(shù)學中比較重要的一種數(shù)學思想，是指構(gòu)造函數(shù)模型，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的數(shù)學思想.函數(shù)思想在解答高中數(shù)學問題中應用廣泛，在解答方程、不等式、解析幾何、概率等問題時，經(jīng)常需要運用到函數(shù)思想.在解題教學中，教師可引導學生運用函數(shù)思想來輔助解題，這樣能達到化繁為簡、化難為易的目的，有助于提升解題的效率.

一、函數(shù)思想在方程解題教學中的應用

方程與函數(shù)的關(guān)系緊密.一般地，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標，即函數(shù)的零點，是方程f（x）=0的解.因此，在解答方程問題時，教師可以引導學生結(jié)合方程的特點來構(gòu)造相應的函數(shù)模型，然后借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)來討論方程的根的情況.

例1.已知函數(shù)f（x）=x2 -2x，如果關(guān)于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有4個不同的實數(shù)根，且所有實數(shù)根的和為2，求實數(shù)t的取值范圍.

解：令h（x）=f（a-x）+f（x），則h（a -x）=h（x），

則h（x）的圖象關(guān)于直線

對稱.

又因為方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0的4個實數(shù)根之和為2，

所以4xa=2，a=l.

故

作出函數(shù)h（x）的圖象，如圖所示，

由圖象可知，當

時，函數(shù)y=h（x）的圖象與y=t有4個不同交點.

所以實數(shù)t的取值范圍為

.

在解答本題時，教師要引導學生從函數(shù)的角度去思考該方程問題，將方程有四個實數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象有四個交點，然后借助函數(shù)圖象來求得t的取值范圍.

二、函數(shù)思想在不等式解題教學中的應用

在解答不等式問題時，函數(shù)思想發(fā)揮著巨大的作用.在解題時，教師可指導學生根據(jù)不等式的形式構(gòu)造合適的函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等來建立新的不等式關(guān)系，使不等式問題快速得解.

例2.若對任意0≤m≤4，不等式X2+ mx+3>4x+m恒成立，求x的取值范圍.

分析：本題直接求解較為困難，教師可以引導學生將m看作自變量，構(gòu)造函數(shù)廠（m） =x2+（m -4）x+3-m，只需要使當0≤m≤4時，f（m）>0恒成立，求x的取值范圍即可.要使f（m）>0恒成立，學生需要利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得f （m）的最小值. 解：設f（m） =X2+ （m - 4）x+3-m=（x- 1）m+ （X2-4x+3），

若x-l≥0，即x≥1，則y=廠（m）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，

則f（m）-=f（0）=x2-4x+3>0，

解得x>3或x3.

若x-l<0，即x

則f（m）max=f（4）=x2—1>o，

解得x>1（舍去）或x<一1，故x<-1.

綜上所述，x的取值范圍為x<-1或x>3.

在解答此類問題時，教師要引導學生嘗試將不同未知數(shù)看作變量，構(gòu)造函數(shù)，靈活運用函數(shù)思想來解題.

在解題教學中，教師要重視滲透函數(shù)思想，讓學生明確函數(shù)思想的應用條件和技巧，并組織他們開展有針對性的訓練，讓其學會運用函數(shù)思想來輔助解題.

（作者單位：江蘇省溧陽市光華高級中學）