構造法在高中數學解題中的應用

蔡飛

構造法是高中數學常用的解題方法之一，是指根據題設條件和結論的特殊性，構造出一些新的數學模型，使問題獲解的一種方法.運用構造法解題能有效降低學生理解問題的難度，提高解題的效率.運用此方法解題的關鍵是：（l）要有明確的方向，即為達到什么目的而構造;（2）要弄清條件的本質、特點，以便重新進行組合、構造.在解題時，學生可根據題意構造合適的函數式、圖形、數列、方程、不等式等模型.

例1.設x，y為實數，且

有解，則x+y=（ ）.

解析：很多學生對三次方程并不了解，采用常規的方法解題較為困難，并且耗時較長.仔細觀察兩個方程，會發現這兩個方程的結構相似，可嘗試運用構造法解答，即構造函數f（t） =t3+ 1997t，分析f（t）=1和f（t）=-1時t的取值即可求得x +y的值.

解：設f（t）= t3+ 1997t，

f（-t）= （-t）3+ 1997（-t）= -（t3+ 1997t）=-f（t），

則f（t）為奇函數，

又f（x - 1）=1，所以f（l-x）=-1，

而f（y - l）=-l，所以f（l -x） =f（y -1）.

所以x-1=l-y，故x+y=2.

例2.奇函數f（x）定義在R上，且它的導函數為f'（x），當x<0時，f（x）符合2f（x）+xf'（x）

解析：由2f（x）+xf'（x）= X2f（x）可想到構造函數g（x）= X2f（X），然后根據導數的性質判斷其單調性，再根據奇函數的性質便可獲得最終的結果.

解：設g（x） =X2f（X）

數列{an+1）是公比為2，首項為2的等比數列，

由等比數列的通項公式，可得（an+l= 2.2n-l=2n，

（an=2n-1.

例4.若o≤x≤4，求

的最小值.

解析：該式中含有兩個根式，我們采用常規方法很難得解，需要另辟蹊徑，深入挖掘兩個根式的幾何意義：由兩定點之間的距離，構造出相應的幾何圖形，采用構造法解題.

解：如圖所示，設AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，令AC=1，BD=2，P是AB中任意一點，設AP=x，則PC=

，PD=

，此時上述問題轉變為當P在何處時，PC+PD取最小值.

作C點關于AB的對稱點C'，連接C'D與AB相交于點P，此時△PAC’與△PBD是相似三角形，則

，解得x=

，此時PC+ PD=5，所以

的最小值為5.

由此可見，運用構造法解題不僅可以拓寬解題的思路，還能提升解題的效率.在運用構造法解題時，需要將已知條件與所求目標關聯起來，積極展開聯想，靈活運用發散思維，方能尋找到合理的數學模型.

（作者單位：江蘇省鎮江市揚中市第二高級中學）