妙用求和法，巧解數(shù)列題

郭延嶺

數(shù)列求和問題是數(shù)列問題中一類綜合性較強的問題.對于常規(guī)的等比數(shù)列、等差數(shù)列，我們可直接利用等比數(shù)列、等差數(shù)列的前n項求和公式來求得.當(dāng)遇到非常規(guī)的數(shù)列，我們需要靈活運用一些方法，如分組求和法、并項求和法、錯位相減法、裂項相消法等來求數(shù)列的和.

一、分組求和法

分組求和法是求數(shù)列和的一種常用方法.有些數(shù)列是由幾個等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)數(shù)列構(gòu)成，此時我們可以運用分組求和法來求數(shù)列的和.首先仔細(xì)觀察數(shù)列的通項公式，將其分成幾個簡單的等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)數(shù)列，然后分組求出各個數(shù)列的和，綜合所得的結(jié)果即可求出原數(shù)列的和.

例1.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=

n∈N*.

（l）求數(shù)列{an}的通項公式;

（2）設(shè)bn=2an+（-1）nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和.

解：（1）略：

（2）由（1）知an=n，故bn=2n+（-1）n n.

記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n則T2n=（2 1+2 2+…+2 2n）+（-1+2—3+4-…+2n）.

記A=2 1+2 2+…+2 n·B=- 1+2-3+4- +2n.

B=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（2n-1）+2n]=n.

故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n=A+B=2 2n+1+n-2.

由{bn}的通項公式可以看bn是由通項為2n的等比數(shù)列和通項為（-1）n n的擺動數(shù)列組成，需根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式和擺動數(shù)列的通項來求和.根據(jù)數(shù)列的通項公式合理拆分?jǐn)?shù)列是運用分組求和法求數(shù)列和的關(guān)鍵.

二、錯位相減法

如果一個數(shù)列的各項由一個等差數(shù)列的各項和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的乘積組成，那么我們就可以運用錯位相減法來求這個數(shù)列的前n項和.在求和時，我們需要將和式的左右同乘以等比數(shù)列的公比，然后錯開一位，使其對應(yīng)項的冪相同，以便將兩個和式相減，化簡所得的結(jié)果，便可求得數(shù)列的和.

例2.已知等差數(shù)列{xn}的前n項和為Sn，{yn}為等比數(shù)列，且y2 =X1=2，X4 +y4= 27，S4 -y4= 10.

（l）求{yn}，{xn}的通項公式;

（2）若Tn=xny1+xn-1y2+ - +x1yn， n∈N*，求證：Tn+ 12= -2x n+lOy n. 解：（1）

將兩式錯位相減可得

在寫出“Sn”與“aSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達式.

三、裂項相消法

裂項相消法是把數(shù)列的通項拆成兩項之差的形式，再進行求和的方法.運用裂項相消法可以使和式中間的一些項相互抵消，簡化運算的過程.值得注意的是，和式中的有些項是依次抵消，有些項是間隔抵消，

例3.已知函數(shù)f（X） =Xa的圖象過點（4，2），令an=

1

記數(shù)列{an}的前n項和為Sn求S2018的值.

解：由f（4）=2，可得4 a =2，解得a=吉，

則f（X） =

所以

為了得到該數(shù)列的前n項和Sn，需要把an拆分為相鄰兩項差的形式，可將通項裂開，再運用裂項相消法來求和.

對于非等差、等比數(shù)列的數(shù)列求和問題，一般有兩種求解思路：（l）將其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列;（2）若不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，則需要運用一些方法，如分組求和法、并項求和法、錯位相減法，通過分解通項或錯位相消來完成求和.

（作者單位：山東省高唐縣第二中學(xué)）