怎樣確定含參導數(shù)問題中分類討論的“分界點”

范帥江

分類討論思想是高巾數(shù)學中的重要思想之一，主要應用于解答出現(xiàn)的情況種類較多的問題.在運用分類討論思想解答含參導數(shù)問題時，常常需對不同的情況進行分類討論，然而很多同學卻無法找到含參導數(shù)問題中分類討論的“分界點”，導致解題出錯.事實上，解題的關鍵在于如何確定含參導數(shù)問題中分類討論的“分界點”.筆者認為可以從以下兩個方面進行考慮.

一、討論方程的判別式

很多導數(shù)問題要求討論函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、最值、極值、零點的個數(shù)等.解答這些問題的關鍵在于運用分類討論思想，討論求導后方程f'（x）=0的判別式與0之間的關系，進而確定f'（x）=0的實數(shù)解.一般地，若△>0，方程有2個解;若△=0，方程有1個解;若△<0，方程無解.

例1.已知函數(shù)f（x）=lnx+

（ ∈R）.若當x>l時，不等式f（x）<0恒成立，求

最小值.

解：由當A≥

時，方程

的判別式△：l-4 2≤0，所以當x>l時，f'（x）<0，導數(shù)f （x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，且廠（1）=0，故f（x）<0在區(qū)間（l，+∞）上恒成立，

①當o< < 時，方程

+x- =0有兩個不等的實數(shù)根，且0<所以當x∈1=

f（x）>o，導數(shù)f（x）單調(diào)遞增，且f（1）=0，f（x）>0恒成立，與題意不符;

②當A≤0時，f（x）=lnx+

≥In x，因為y= Inx在區(qū)間（1，+∞）上恒為正數(shù)，所以f（x）>o在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，與題意不符;

綜上所述，當x>l時，不等式f（x）<0恒成立，的最小值為

。

解答本題的關鍵在于確定分類討論的分界點.在求出導函數(shù)后，根據(jù)方程-

x2+x -

=0的判別式與0之間的關系來確定參數(shù)

的取值范圍，然后再對應的區(qū)間上討論導函數(shù)與0之間的關系，確定函數(shù)的單調(diào)性，以便構造出滿足不等式f（x）<0恒成立的條件，求得A的最小值.

二、討論零點的個數(shù)

與零點有關的問題在含參導數(shù)問題中并不少見.在進行分類討論時，要重點討論導函數(shù)f（x）=0的零點個數(shù)以及分布情況，在每種情況下討論參數(shù)的取值、函數(shù)的單調(diào)性、極值的大小等，最后綜合所有分類討論的結果，得到符合題意的答案.

例2.已知函數(shù)f（x）=a

∈R，若方程2f（x） -lnx+x+2 =0有三個解，求實數(shù)a的取值范圍.

解：令g（x）=2f（x）-Inx+x+2= （2a - l）lnx+

+x+2，g'（x）=

（x>0），

①若a≥0，則當X∈（o，1）時，g'（x）0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）最多有2個零點;②若a=

，則x∈（0，+∞），g'（x）≥0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）最多有1個零點;③若—

解得

與

，則當x∈（o，1）或x∈（-2a，+∞）時，g'（x）>0，g（x）在（0，1）和（-2a，+∞）上單調(diào)遞增;當X∈（I，-2a）時，g'（x）<0，g（x）單調(diào)遞減，

要使導數(shù)g（x）有3個零點，則有解得

，而g（e-2）= 4+e-2+2a（e2 -2）<0，g（e2）= e2+ 2a（e-2+2）>o，

綜上所述，若方程2f （.x） - Inx +x +2=0有三個解，則a的取值為

.

我們將方程有解的問題轉化為函數(shù)有零點的問題，通過討論函數(shù)零點的個數(shù)情況，進而求得參數(shù)a的取值范圍.

總之，在解答含參導數(shù)問題時，同學們在對函數(shù)求導后要明確分類的對象是方程f'（x）=0的判別式或者y=f'（x）的零點，然后確定分類討論的“分界點”，討論判別式與0之間的關系、零點的個數(shù)，從而快速找到解題的思路.

（作者單位：江蘇省啟東市第一中學）