由一道參數方程與普通方程互化問題引發的思考

賴春芳

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是關于某個變量t的函數：

，并且對于t的每一個允許值，由方程組

，所確定的點M（x，y）都在這條曲線上，那么方程

，就叫做這條曲線的參數方程.相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程，也叫做直角坐標方程.近幾年的高考試題中經常會出現一些參數方程與普通方程互化的問題.解答此類問題的基本思路是通過消元將參數方程中的參數消去，便可得到普通方程，或者引入參數，用含有參數的方程表示普通方程.

例題：在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程

（t為參數）求c的直角坐標方程，

解法1：因為x=

，

所以l+t2=

且x≠一1，

從而可得y=

=2（x+ l）t，則t=，

將其代入x=

整理得X2+ y4=

（x≠一1）.

即曲線C的直角坐標方程為x2+

=l（x≠-l）.

這里主要采用了代入法來消參，分別求出l+t2和t的表達式，將它們代人參數方程中得到關于x、y的普通方程，

解法2：設t=tana，其中cosa≠0，

因為cos 2a=2 cos 2a -l且cosa≠O，所以x≠一1，

貝x=，

由sin 2a+ cos 2a=l可得x2+

=l（x≠-1），

所以曲線C的直角坐標方程為x2+

=1（x≠-l）.

我們引入三角函數，通過三角換元求得x、y的三角函數表達式，然后利用同角的三角關系式sin2a+ cos2a=l，消去三角函數，求得普通方程.

我們觀察該例題中的代數式，可以發現它們的次數都不超過二次，便可聯想到一個定理：兩個一元二次方程aix2 +b1x+cl =0和a1x2+ b2x+c2=0有公共解的充要條件是：（a1c2-a2c1）2=（a1b2-a2b1）（b1c2-b2c1）.我們可以運用該定理來將參數方程轉化為普通方程.

解法3：由，

①，

由，

②

由于①式和②式取同一參數t，所以這兩個方程有公共解.

根據上述定理可得[（l+x）y-y（x一1）]2=[（1+x）.（-4） -0][0-（-4）（x-l）]，

化簡得x2+y =l，

又方程（1+x）t2+（x一1）=0有意義，所以x≠-1，

所以曲線c的直角坐標方程為x2+y4 =1（x≠一1）.

運用上述定理，我們直接建立關于x、y的新方程，消去了參數t，便可快速求得普通方程.

以上解法中，解法1、解法2都是常規解法，解法3屬于一種新方法，相比較而言，解法3比解法l、2中的運算量小，且思路簡單.在解答這類參數方程與普通方程互化的問題時，同學們既要重視基礎知識的應用，也要注重創新，學會運用發散思維，尋找更加簡便的解題方法.

（作者單位：江西省贛州市崇義縣崇義中學）