常見的與橢圓有關的問題及其解法

王道峰

橢圓是三大圓錐曲線之一，具有明顯的幾何特征.與橢圓有關的問題有很多，如求橢圓的方程、求橢圓的離心率、判斷直線與橢圓的位置關系、求橢圓中三角形的面積、求參數的取值范圍等.與橢圓有關的問題主要考查橢圓的定義、標準方程、簡單幾何性質等.在這里，筆者總結了幾類常見的與橢圓有關的問題及其解法，以幫助同學們總結知識、歸納方法.

一、求橢圓的方程

求橢圓的方程是一類基礎題目，主要考查橢圓的定義以及方程中a、b、c之間的關系.在解題時，我們需要從題目中提取信息，將其與橢圓的定義關聯，建立動點與焦點之間的關系式，靈活運用a、b、c之間的關系式a2=b2+ C2來求出（z、6的值.

例1.已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為

，且橢圓G上一點到兩個焦點的距離之和為12，則橢網G的方程為（

）.

解：依題意可設橢圓G的方程為

+

=1a>6>0），

橢圓上一點到兩焦點的距離之和為12，

2 a =12，

a=6，

橢圓的離心率為

e=

，解的b2 =9，

橢圓G的方程為

+

=1.

這里直接利用橢圓的定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，建立關系式，求得a的值，然后根據橢圓的離心率求得6的值，進而求得橢圓的方程.

二、求橢圓的離心率或取值范圍

我們知道，橢圓的離心率為e=

，只要求出a，c或

的值，便可得到橢圓的離心率或取值范圍.常見的求解方法有三種：一是結合題意建立方程，解方程求出a、c的值;二是根據題設條件構造a、c的齊次式方程，解出e;三是利用圓錐曲線的第二定義：到定點的距離與到定直線的距離的比等于e，求得e的值或者范圍.

例2.橢圓

=1（a>b>0）的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F2.若AF1，F1F2，F1B成等比數列，則此橢網的離心率為____.

解：橢圓的頂點為A（-a，0），B（a，0），焦點為F1（-c，O），F2（C，0），

所以AF1=a-c，F1B=a+c，F1F2= 2c.

因為AF1，F1F2，F1B成等比數列，

所以4c2=（a -c）（a+c）=a2 -C2，即5 c2= a2，

所以a=

c，

所以離心率為e=

，

我們首先用a，c表示出AF1，F1B，依據已知條件建立a1，c的關系式，進而求出

的值.在求橢圓的離心率時，我們還要注意e的取值范圍為O

三、橢圓與直線問題

橢圓與直線問題有很多種，如判斷直線與橢圓的位置關系、求橢圓中的弦長、中點弦問題、對稱問題等.解答橢網與直線問題一般需將直線方程與曲線方程聯立，消去y（或x）得到一個關于x（或y）的一元二次方程，然后利用判別式“△”、弦長公式、韋達定理來解答問題.

例3.已知橢圓

+y2=1.

（1）當m為何值時，直線y=x+m與橢圓有兩個不同的交點？

（2）當m=2時，求直線被橢網截得的線段長，

解：（1）聯立方程

+y2=1，消去y得5x2+ 8mx+4（m2—1）=0.

A= 64m2—80（m2—1）>0，

所以-

，

即當

時直線與橢圓有兩個不同交點.

（2）當m=2時，方程為5x2+l6x+12=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

由韋達定理得

，

又k=l，所以AB=

.

解答本題的主要思路是聯立直線與橢圓的方程，消去y得到一元二次方程，根據判別式以及根與系數的關系，利用弦長公式求得弦長.

總之，與橢圓有關的問題既有基礎題目，又有試卷巾的壓軸題目.要順利解答與橢圓有關的問題，我們需要熟練掌握與橢圓有關的基本知識，還要熟悉一些常見的數學思想方法，如方程思想、數形結合思想、設而不求思想、轉化思想等，將其靈活地應用于解題當中.

（作者單位：江蘇省濱海縣東元高級中學）