與三次函數相關的結論及其證明

高斌

三次函數是高中數學中常見的一類函數，很多高次函數問題都可以轉化成三次函數問題，這就要求我們熟練掌握三次函數的圖象和性質，深入研究三次函數的解析式、單調性、對稱中心、極值、最值、切線等知識，總結一些與三次函數相關的結論.

結論1.三次函數f（x）= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0）是中心對稱曲線，對稱中心仍在該曲線上，且其坐標為（

），此點的橫坐標是其導函數的極值點.

證法一：假設三次函數f（x）= ax3+ bx2+ cx+d（a≠0）關于點（m，n）對稱，

其充要條件是對曲線上任意一點X∈R，都有f（m -x） +f（m +x）= 2n，

即[a（m - X）3+ b（m - X）2+ c（m -x）+d]+ [a（m+x）3+6（m+x）2+c（m+x）+d]=2n，

整理得（6ma+ 2b）X2+ （2am3+ 2bm2+ 2mc+ 2d）=2n，

對應系數可得m=-

且，n=am3+ bm2 +cm+ d=d-

，

由，n=f（m）知其對稱中心（

）仍然在曲線上，

所以三次函數是中心對稱曲線，且對稱中心為（

）.

證法二：f（x）= ax3+ bx2 +.x+ d= a（x+

）3+（c-

）+

+d，

令函數

= ax3+（c-

）x，

則函數h（x）是奇函數，其圖象的對稱中心為（0，0），

故函數f（x）圖象的對稱中心為（

+d），且該點（

）在三次函數曲線上.

證法三：設-m，n∈R使y=f（x+ m） -n是奇函數，

則f（-x+m）-n=-[f（x+ m） -n]，

化簡得（3ma+ b）X2 +am3+ bm2 +cm +d=0，

則3ma+6=O.n= am3+ bm2+ cm+d，即m=，

）.

故函數f（x）圖象的對稱中心為（

），且在三次函數曲線上.

證法四：f（x）= 3ax2 +2bx +c圖象的對稱軸為x=-

，

所以f（x）=f'（

），

故

∈R，f（x）=-f（

）+c，則當x=-時，有2f（

）=C，

所以f（x）+f（

）=2f（

），

所以函數f（x）圖象的對稱中心為（

），且在三次函數曲線上.

證法五：f（x）= 3ax2+ 2bx+c=3a（x+

）2+

，

所以y=f（x）圖象上切線斜率的最小值為

≤f（x），不妨設3a>0，

二次函數f（x）在區間（-∞，

）上單調遞減，函數f（x）的圖象在（-∞，-

）上是上凸的;

二次函數f（x）在區間（

+∞）上單調遞減，函數f（x）的圖象在（

，+∞）上是下凸的.

故導數的最小值點（

）是函數f（x）的拐點（橫坐標為f（x）=0的根且隨著函數圖象的凹凸性改變），即為函數f（x）的對稱中心.

該性質還可以運用待定系數法、配方法、構造法、積分法、微分法等來證明，同理可證明三次函數不是軸對稱曲線.

結論2.當b2—3ac≤0時，三次函數y=ax3+bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上是單調函數;當b2-3ac>0時，三次函數y= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上有三個單調區間.

證明：對函數求導可得f'（x）= 3ax2+ 2bx+ c（a≠O），該導函數為二次函數，則△= 4b2 - 12ac=4（62- 3ac1，

當62—3ac≤0時，△≤0，此時f（x）≤0，三次函數y= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上是單調函數;

當b2—3ac>0時，△>0，方程f（x）=0有兩個實根，三次函數y= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上有三個單調區間.

運用該結淪，我們可以直接判斷出三次函數的單調性和單調區間.

結論3.當62—3ac≤0時，三次函數f（x）= ax3+bx2+ cx+ d（a≠0）在x∈R上不存在極值點;當b2—3ac>0時，三次函數f（X）= ax3+ bx2 +cx+d（a≠0）在x∈R上有兩個極值點.

證明：（1）當62—3ac≤0時，由于不等式f'（x）≥0恒成立，三次函數在x∈R上是單調函數，所以原方程僅有一個實根;

（2）當62—3ac>0時，由于方程f'（x）=0有兩個不同的實根x1，x2，不妨設x10可知，（x1，f（x1））為函數的極大值點，（x2，f（x2））為極小值點，且函數y=f（x）在（-∞，x1）和（x2，+∞）上單調遞增，在（x1，x2）上單調遞減.

①若f（x1）·f（x2）>0，則函數y=f（x）極大值點和極小值點在x軸的同側，圖象與x軸只有一個交點，所以原方程f'（x）=0有且只有一個實根;

②若f （x1）·f（x2）<0，則函數y=f（x）極大值點與極小值點在x軸異側，圖象與x軸必有三個交點，所以原方程f'（x）=0有三個不相等的實根;

③若f（x1）·f（x2）=0，則f（x1）與f（x2）中有且只有一個值為0，所以原方程有三個實根，其中兩個相等（即有兩個不相等的實根）.

我們可以繪制出如下的表格.

結論4.若函數f（x）= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠0），x∈[m，n]，x。∈[m，n]，當f'（x0）=0時，fmax（x）=max{f（m），f（x0），f（n）}，fmax（x）= min{f（m），f（x0），f（n）}.

例1.已知函數f（X） =X3+ bx2+ cx十d，下列結論中錯誤的是（ ）.

A.

∈R，f（xa）=0

B.函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形

C.若xa是f（x）的極小值點，則f（x）在（-∞，xa）上單調遞減

D.若x。是.f（x）的極值點，則f'（x。）=o

解析：由三次函數的圖象和性質知，A、B正確;

若f（x）有極小值點，則f'（x）=0有兩個不相等的實數根x1，x2（ x1

我們直接利用了結論l、3，便能快速得出正確答案.

例2.已知函數f（X） =X3一3x -l，若直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍.

解析：由已知得f'（x）=3x2—3，由f'（x）=0解得xl= -l，x2=1.

由f（x）的單調性可知，f（x）在x=-1處取得極大值l，在x=l處取得極小值-3.

因為直線y=m與函數y=f（x）的圖象有三個不同的交點，所以m的取值范圍是（-3，1）.

要畫出該三次函數的圖象比較困難，我們可利用結論3求出函數的極大值和極小值，進而求得m的取值范圍.

結論5.（l）設點P為三次函數f（x）= ax3+ bx2+cx+ d（a≠0）圖象上任意一點，則過點P有且只有一條直線與y=f（x）的圖象相切;

（2）若點P為三次函數曲線的對稱中心，則過點P有且只有一條切線;若點P不是三次函數曲線的對稱中心，則過點P有兩條切線.

（3）設點P為三次函數f（x）= ax3+ bx2+ cx+ d（a≠O）曲線外一點，則過點P-定有直線與y=f（x）圖象相切，可能有一條、兩條或三條切線，

例3.已知函數f（X） =X3-2x，求曲線的切線方程：

（l）在點（0，0）處的切線方程;（2）過點（0，0）的切線方程;（3）在點（1，-1）的切線方程;（4）過點（1，-l）的切線方程;（5）過點（1，

）的切線方程.

解：（1） y=-2x.（2） y=-2x.（3） y=x-2.

（4）y=x-2或y=

（5）y=

或y=

或y=

.

解答本題的關鍵在于根據結論5判斷三次函數的切線的條數，然后根據其切點的位置求出切線的方程.

結論6.在三次函數曲線上存在惟一的一點，使曲線在該點處的切線與曲線有唯一的公共點，且此點為三次曲線的對稱中心.

證明：設P（x0，y0）是曲線f（x）=ax3+ bx2+ cx+d（a≠0）上任意的一點，

則曲線y=f（x）在點P處的切線斜率k =f'（xn），切線方程為：y-y0=f（x0）（x-x0），

消去y，Yo得ax3+ bx2 +（2bx。一3axn2）x+ 2ax03+ bx02=0，

整理得（x-xn）2（ax+ 2ax0+b）=0，（*）

則切線與曲線有唯一的公共點

方程（*）有三個相等的實根

，

所以點（

）就是三次函數曲線的對稱中心，且在該曲線上.

故點P唯一確定，且恰好為曲線的對稱中心，命題得證.

為了證明結論6，這里運用結論l和結論5.

結論7.若三次函數曲線上存在極大值點與極小值點，則極值點連線段的中點也在三次曲線上，且此中點為三次函數曲線的對稱巾心.

證明：若三次函數曲線f（x）= ax3+ bx2+ cx+d（a≠0）上存在極值點，

則方程f'（x）= 3ax2+ 2bx+c=0必有兩個不相等的實根，即△=4（b2—3ac）>0，

解得x1=，

則

，

由結論3可知三次函數曲線上的兩個極值點為A（x1 ，f（X1）），B（X2，f （X2）），

它們的中點恰是三次函數曲線的對稱中心（

），且在曲線上，結論得證.

結論8.過三次函數曲線的對稱巾心且與該三次函數曲線相切的直線有且僅有一條;而過三次曲線上除對稱中心外的任意一點與該三次曲線相切的直線有兩條.

證明：若P（x1，Y1）是三次曲線f（x）= ax3+ bx2+ cx+d（a≠0）上的任意一點，

設過P的切線與曲線y=f（x）相切于點（x0，y0），則切線方程為y—y0=f'（x0）（x-x0），

因為點P上此切線上，則Y1 -Y0=f'（x0）（x1-x0），

又Y0= aX03+ bx02+ cxo+d0yl=ax13+ bx12+ cxl+矗，

則 ax1 3+ bx1 2+ cx l+d- （ax03+ bx02+ cxo+d

= （3ax02 +2bxo+ c）（x1 - x0），

化簡得（x1-x0）2（ax1+ 2ax0+b）=0，

解得：x0=x1 或x0=

綜上所述，當點P是三次函數曲線的對稱中心，即x1=

時，x0。=

此時方程只有一個實數解x0，則過點P作曲線的切線切點是唯一的，故只有一條切線;

當點P不是三次函數曲線的對稱中心，即當

時方程有兩個不相等的實數解，則過點P作曲線的切線可產生兩個不同的切點，故有兩條切線，其中一條就是以P為切點（即曲線在點P處）的切線，得證.

當切點未知時，我們可以運用結論7和結論8來求曲線切線的方程.

通過上述說明，大家能體會到有關三次函數的結論在解題中的優越性和便捷性.運用三次函數的相關結論來處理與高次函數或者三次函數相關的圖象、單調性、極值、最值、不等式、恒成立、存在性等問題，非常便捷、高效.

（作者單位：江蘇省南京外國語學校仙林分校）