例談數(shù)列前n項(xiàng)和的求法

劉超

無淪是公式法還是分組求和法，都是利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來求和.而對于較為復(fù)雜的數(shù)列，我們常常需要采用錯位相減法與裂項(xiàng)相消法來求和.這兩種求和方法都是根據(jù)數(shù)列的規(guī)律來進(jìn)行變式與轉(zhuǎn)化，以達(dá)到求和的目的.下面我們結(jié)合實(shí)例來進(jìn)行說明.

一、錯位相減法

若一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的，那么一般用錯位相減法來求數(shù)列的前n項(xiàng)和.首先寫出數(shù)列的和式，然后在和式的左右同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，再錯開一位將兩式相減，通過化簡便可求得數(shù)列的和.若等比數(shù)列的公比不確定，還需分別討論當(dāng)公比為l和不為1的情況.

例1.已知an=n·2 n，求{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解：Sn=a1+a2 +a3+ … +an

Sn=l×2 1+2 x2 2+…+n·2 n

運(yùn)用錯位相減法求和的運(yùn)算量較大，同學(xué)們在解題時(shí)要注意謹(jǐn)慎汁算.在錯位相減時(shí)，要注意前后會各多出一項(xiàng).

二、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法是一種常用的求和方法，需將每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差的形式，在求和時(shí)使中間的部分項(xiàng)通過正負(fù)抵消，讓剩下的一些項(xiàng)為首尾的對稱項(xiàng).這樣一個(gè)復(fù)雜的求和題目就會變成簡單的運(yùn)算問題.常見的裂項(xiàng)方式有

例2.正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an 2·（2n一l）·an·2n=0.

（l）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

（2）令

，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

解：（1）由an 2·（2n - l）·an·2n =0可得（（an- 2n）·（an+1）=0，

解得an= 2n或an=-l（舍），所以an=2n.

（2）an=2n，

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和T為

.

這個(gè)題目中有兩個(gè)小問題，第一問為第二問作鋪墊，將第一問中計(jì)算出的an代入第二問的題設(shè)中，便可求出bn的通項(xiàng)公式.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)bn的表達(dá)式可以裂為兩項(xiàng)之差的形式：

，于是采用裂項(xiàng)相消法來求和，將各項(xiàng)裂開之后相加，抵消中間的項(xiàng)，便只剩下首尾兩項(xiàng)，化簡即可得到結(jié)果.

相比較而言，裂項(xiàng)相消法的運(yùn)算量較小，只要能將數(shù)列的通項(xiàng)裂開，便可快速解題.錯位相減法雖然稍微復(fù)雜些，但我們只要把握其中的規(guī)律，合理作差、化簡，謹(jǐn)慎汁算，也可順利求得結(jié)果.

（作者單位：安徽省淮北市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)）