如何運用基本不等式求最值

黎華高

基本不等式是求解最值問題的重要工具.運用基本不等式：

求最值需要把握三個前提條件：一正二定三相等.一正是a、b兩個數都為正數;二定是指如果積ab是定值p，那么當且僅當a=b時，和a+b有最小值

，如果和a+b是定值p，那么當且僅當a=b時，積ab有最大值

;三相等是當且僅當a=b時不等式取等號.在運用基本不等式求最值時，要首先確定兩個式子是否為正數;然后配湊出兩式的和或積，使兩式的和或積為定值;最后檢驗當且僅當兩式相等時不等式是否能取等號.

而運用基本不等式求最值的關鍵是，配湊出兩式的和或積，使兩式的和或積為定值.配湊出兩式的和或積的常用方法有添加項、分離整式、減元、常數代換、構建目標不等式，下面舉例說明.

例1.當x>l時，求x+

的最小值.

解：x>1，

x-l>0，

當且儀當x-1=，即=2時取等號，

ymin=3.

該目標式含有整式和分式，為了使它們的積為定值，需添加一項-l，構造出分式的分母，以便利用基本不等式來求得目標式的最小值.

例2.求y=

（x>-l）的最小值.

當x > -1，即x+l>0時，y≥2+5=9，且僅當x=l時取“=”號，所以ymin=9.

該目標式看似無法運用基本不等式，但將分式、整式分離，便創造出運用基本不等式的條件.

例3.已知正數a，b滿足

，求a+b的最小值.

解：由

得a+b=3ab，所以b=

，

由于a>O.b>0，可得a>，

時取等號，所以a+6的最小值

.

在解答含有多個變元的最值問題時，可以通過減少變元的方式，把問題轉化為只含一個變元的問題，然后通過添加項配湊出兩式的和或者積，再利用基本不等式求最值.

例4.

當且僅當

時，等號成立，

這里，我們利用“1”的代換來構造出運用基本不等式的條件.通過常數代換，可把所求的目標化為可以使用基本不等式求解的式子，以達到解題的目的.

例5.已知a，b為正實數，2b+ab+a=30，求函數y=ab的最小值.

解：由題意得30-ab =a +2b，

我們由已知不等式出發求出ab的范圍，進而求得目標式的最值.解答本題的關鍵是利用基本不等式建立a+b與ab之間的關系.構建目標不等式是創造應用基本不等式條件的常用方法.

很多問題往往所給的條件是非“標準”的，無法直接利用基本不等式來解題，因而在解題時，我們需要將不等式進行適當的變形，通過添加項、分離整式、減元、常數代換、構建目標不等式等方法，對“原始”的條件進行整合、轉化，構造出“一正二定三相等”的三個條件，以保證可以用基本不等式求最值.

（作者單位：福建省長樂第七中學）