比較函數式大小的常用方法

陸華思

比較函數式的大小是高考中的高頻考點，近幾年常作為選擇題的壓軸題.比較函數式大小的常規途徑有利用函數的性質以及通過作差或作商比較大小.本文結合實例談一談比較函數式大小的兩個途徑.

一、利用函數的性質比較函數式的大小

有時要比較的兩個函數式為簡單的二次函數、指數函數、對數函數、冪函數或者復合函數，此時我們可以結合函數式的特點構造函數模型，借助二次函數、指數函數、對數函數、冪函數的性質，如奇偶性、單調性、對稱性或復合函數的“同增異減”的性質來比較它們的大小.

例1.已知n= log20.2，6=20.2，c= 0.2 03，則（ ）.

A.a

B.a

C.c

D.b

解：a= log2 0.2< log21=0，

b= 2 0.2> 2 0=l。

O

本題中的函數式分別為指數函數和對數函數，我們利用對數函數和指數函數的單調性，將a與0，b與1，c與1比較，進而比較出三者的大小.

例2.設廠（x）是定義域為R的偶函數，且在（0，+∞）單調遞減，則（

）.

A.

B.

c.

D.

解析：因為f（x）是R上的偶函數，

所以

因為

，f（x）在（0，+∞）上單調遞減，

所以f（2）

即廠（2—1）>，可把、

轉化為同一個單調區間上的函數，再根據函數的單調性比較函數式的大小.

二、通過作差或作商來比較函數式的大小

比較函數式的大小問題多以選擇題的形式出現，在比較一些簡單函數式的大小時，我們可以將要比較的兩函數式相減、相除，然后根據函數的運算法則進行變換、整理，將化簡后的結果與0、1比較，進而得出兩個函數式的大小關系.

例3.設a= log 0.2 0.3，b=log2 0.3，則（ ）.

A. a+b

B.ab

C. a+b

D.ab

解：

= l0g 0.3 0.2+l0g 0.3 2= l0g 0.3 0.4，

因為o< l0g 0.30.4<1，所以

（*）.

又a>0，b<0，則ab<0，

將（*）式左右同乘ab得ab

本題主要考查對數的運算和不等式的性質.題目中的選項要求我們計算a+b、ab的值，再用作差法或作商法比較函數式的大小.這里把

轉化為

，可減少計算量.

例4.已知55< 84，134< 85.設a=log53，b=l0gs5，c= log138，則（

）.

A.a

B.b

C.b

D.c

解：由題意易知a，b，C∈（O，1），

所以a

由6 =log 5，得8b=5，即8 5b= 5 5;

由c= l0g 13 8，得13 c=8，即13 4c=84.

因為55< 84，134< 85，

所以13 4b< 8 5b= 5 5< 8 4= 13 4c，即4b<4c，則b

綜上可得a

本題不僅考查基本不等式、指數式與對數式的互化，還考查了指數函數的單調性，用作差法難以求得結果，所以本題可以用作商法以及基本不等式得出a，6大小，結合5 5< 8 4，13 4< 8 5判斷出b、c的大小.

從上述分析我們可以看到，要比較函數式的大小，就要會轉化已知的函數式，如構造函數模型，利用函數的性質;通過作差或作商，根據函數的運算法則化簡結果，方能找到解題的突破口.除此之外，同學們要學會將函數式與圖形結合，運用數形結合思想來輔助解題.

（作者單位：廣西賀州第一高級中學）