由一道題談解答解析幾何中夾角問題的思路

朱靜 肖潤軍

解析幾何是高考中的重要考點.解析幾何問題的命題方式有很多，如判斷直線與圓錐曲線之間的位置關系、求曲線的離心率、求參數的取值范圍、求夾角的取值范圍等.其中求夾角的取值范圍或證明夾角相等問題主要考查網錐曲線的定義、簡單的幾何性質、直線的斜率、傾斜角以及直線與圓錐曲線之間的位置關系，屬于綜合性較強的問題.本文以2021年八省聯考試題巾的一道解析幾何問題為例，著重探討解答解析幾何中夾角問題的思路.

例題：如圖，雙曲線

a>0，b>o）的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上.當BF⊥AF時.IAFI= IBFI.

（l）求C的離心率;

（2）若B在第一象限，證明：∠BFA= 2∠BAF.

分析：第一個問題較為簡單，我們只需根據雙曲線的方程分別求出A、F、B的坐標以及IAFI、IBFI，建立（a、b、c的關系式，結合雙曲線中關于a、b、c的關系式b2= C2一a2以及離心率公式e=

，便可求得曲線C的離心率.本文主要探討第二個問題.由圖可知，△ABF為焦點三角形，而∠BFA、∠BAF成二倍關系，因此解答本題的思路有很多，如利用直線的斜率公式、平面向量的數量積公式、正余弦定理、三角形的角平分線的性質與定理、圓錐曲線的參數方程等求解.

思路一：利用直線的斜率公式

對于圓錐曲線巾的夾角問題，我們首先會想到運用直線的斜率公式進行求解.在解題時，需先分別求出構成夾角的兩條直線上的點坐標，然后利用直線的斜率公式分別求出各條直線的斜率，再利用公式k=lana求出a，即傾斜角的值.

證明：由題意知，A（-a，0），F（c，0），設曲線C上動點B（x1，Y1）（X1>a），

由（1）知e=c=2，即c=2a，

貝y1 2= 3（X2一a2），|FB|= 2x1-a，

當BF⊥AF時，∠BFA= 2∠BAF= 90°，

當BF， AF不垂直時，tan ∠BAF

又∠_BAF，∠BFA為△ABF的內角，

所以∠BFA= 2∠BAF.

在運用直線的斜率公式解題時，要注意討論斜率存在與不存在，即傾斜角為90°和不為90°的情況.運用分類討論思想能有效地幫助我們理清解題的思路，提高解題的正確率.

思路二：利用平面向量的數量積公式

平面向量的數量積公式為a ·b=|a||b|cos θ，將該公式進行適當的變形即可得到兩個向量a、b的夾角cosθ=

若a=（x1.y1），b=（x2，y2），θ=，則cosθ

在求解圓錐曲線的夾角問題時，我們可以首先給夾角兩邊的線段賦予方向，求出其向量或向量坐標，然后利用平面向量的數量積公式來求其夾角.

證明：由題意知，A（-a，0），F（c，0），設曲線C上動點B（x1，y1）（x1>a），

由（1）知e=c=2，即c=2a，

貝Y1 2= 3（X2一a2），|FB|= 2x1-a，

AB2=（x1+ a）2 +y2= 4xl+ 2ax1一2a2，

則

所以∠BFA= 2∠BAF. 這里由夾角聯想到平面向量的數量積公式，在求出各個向量的坐標后，運用平面向量的數量積公式求得∠BAF、∠BFA的表達式，借助余弦的二倍角公式證明結論.

思路三：利用正余弦定理

正余弦定理是解答三角形問題的重要工具.在求解圓錐曲線的夾角問題時，我們要首先要構造三角形，求出三角形的兩條邊和一個角，然后運用正弦定理

求出所求角的大小;或者求出三角形的三條邊，然后運用余弦定理a2= b2+ C2—2bccosA、b2=a2+ C2-2acCosB、C2= a2+62—2abcos C來求其夾角.

證明：由題意知，A（-a，0），F（c，0），設曲線C上動點B（x1，Y1）（X1>a），

由（1）知

即c=2a，則y12= 3（x1 2 - a2），|FB| =2x， -a，AB2=（x1+ a）2 +y12= 4x1+ 2ax1 - 2a2，

在△ABF中，由正弦定理知

sin∠BFA：AB：

sin ∠BAF

又因為∠BAF，∠BFA為△ABF的內角，

所以∠BFA= 2∠BAF.

解答本題需首先求出AB、F以及cos∠BAF的表達式，然后借助正弦定理以及二倍角公式來證明結論.

思路四：利用三角形的角平分線的性質與定理

三角形的角平分線的性質是：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.常用的三角形的角平分線定理是：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例.當題目中出現某個角的半角或者二倍角時，我們可以作出三角形的角平分線，尋找角平分線上的點到角兩邊的距離、平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應的比例，然后利用三角形的角平行線的性質、定理來解題.

證明：作∠BFA的角平分線FC，交AB于點C，

由三角形的角平分線定理知

所以BC=，

由題意知A（-a，0），F（c，0），設曲線C上動點B（x1，y1）（x1>a），

由（1）知e=c=2，即c=2a，

則y1 2= 3（x1 2- a2），|FB|= 2x1-a，

AB2 =（x1+ a）2 +y1 2= 4x1+ 2ax， - 2a2，

所以FB2_BC.AB=FB.

故FB2 =BC·AB，

因為∠FBC= ∠ABF，所以AFBC∽AABF，

所以∠AAF= ∠BFC=

∠BFA，即∠BFA= 2∠BAF.

運用此方法解題要求同學們熟練掌握三角形的角平分線定理及相似三角形的知識.

思路五：利用圓錐曲線的參數方程

每個曲線都有與其對應的參數方程，如過點M（X0，y0），傾斜角為a的直線l的參數方程為參數方程為

（Φ為參數）;雙曲線的參數方程為

（Φ為參數）;等等.在求解圓錐曲線的夾角問題時，我們可以用曲線的參數方程將曲線上的點表示出來，再將其代入直線的斜率公式中進行求解、化簡，便能快速求出夾角.

證明：由題意知A（-a，0），F（c，0），設曲線C上動點B（x1，y1）x1>a），

由（1）知e=c=2，即c=2a，b=，

設曲線c上動點B

= tan ∠BFA，

又因為∠BAF，∠BFA為△ABF的內角，

所以∠BFA= 2∠BAF.

運用圓錐曲線的參數方程解題，要求同學們熟練掌握圓錐曲線的參數方程及三角恒等變換的技巧.在解題時，同學們要注意討論參數的取值范圍.因為參數的取值直接影響著曲線的方程以及夾角的取值.

圓錐曲線中的夾角問題較為復雜，但是我們如果從不同的角度進行思考、聯想，就可以找到多種不同的解題思路.在解答網錐曲線巾的夾角問題時，同學們要注意運用發散思維展開聯想，將向量、平面幾何、解析幾何、解三角形等知識融會貫通，靈活運用數學思想方法，這樣才能有效地優化解題的方案.

（作者單位：湖南省懷化市鐵路第一中學）