歐拉是如何破解巴塞爾問題的？

沐季歌

巴塞爾問題是一個著名的數(shù)論問題，由瑞士數(shù)學家皮耶特羅·門戈利于1644年提出.這個問題是以數(shù)學家萊昂哈德·歐拉的家鄉(xiāng)——瑞士的第三大城市巴塞爾命名的.1735年，年僅28歲的歐拉就得到了該問題的解法.

一、巴塞爾問題

巴塞爾問題可以簡要地描述為一個求和問題：

仔細觀察，你會發(fā)現(xiàn)巴塞爾問題其實就是一個冪級數(shù)求和問題.這個級數(shù)的和大約等于1.644934.歐拉發(fā)現(xiàn)它的準確值是詈，并在1735年公布該結果.由于這個問題難倒了許多數(shù)學家，所以歐拉在發(fā)表該結果后馬上就出名了.

二、歐拉的解法

歐拉最初給出的方法并不是非常嚴謹?shù)模^程非常簡潔，想法特別新奇.歐拉最初的想法來自sinc（ X）函數(shù)，他將該函數(shù)定義為：sinc

（2）.其函數(shù)的圖象如圖1所示，當x趨向于0時，

與 X的變化速度相同，將它們相除最終的結果會收斂到1.之所以要構造這個函數(shù)，是因為巴塞爾問題的答案就藏在它的零點，即當sinc

=0時x的所有取值中.

1.運用超越函數(shù)

歐拉首先構造出多個多項式連乘的式子f（x）

然后將其展開，得到如下表達式：

我們知道，如果某一個函數(shù)的所有零點等于另一個函數(shù)的所有零點，那么至少在零點的附近，它們是近似的.這樣就構建了一個與巴塞爾問題相關聯(lián)的等式（4）式.（4）式的展開式實際上是超越函數(shù).

圖2、3、4分別為指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的圖象.我們可以看出來，該函數(shù)的零點就是所有正負整數(shù).由

歐拉借助熟悉的式子（1 - x）（l +x）=l- X2來研究

歐拉把這個積式展開，并把所有x的二次項的系數(shù)收集在一起，得到x2+…（7）.這樣，等式右邊的式子已經(jīng)完全展開了，該式中x的二次項的系數(shù)為

然后把等

式左邊的x移到右邊，就會得到一個x的三次項，左邊便只剩下

那么只要求出x的三次項的系數(shù)的和，便能得出巴塞爾問題的答案.

2.利用泰勒級數(shù)

泰勒級數(shù)使用了無限項連加的形式來表示某一函數(shù)，每一項都是通過求該函數(shù)在某一點的n階導數(shù)計算出來的.也就是說，泰勒級數(shù)采用了無窮的子項去逼近某一個連續(xù)可導函數(shù)，每一個高階導數(shù)都是對該值的一點點逼近，最終收斂到該函數(shù).

當項的數(shù)目不斷增加，泰勒級數(shù)最終將收斂于它所表示的函數(shù)的極值.圖5巾黑色曲線代表sinx（

）函數(shù)，其他曲線為其對應不同階次的泰勒展開式，也就是最高次冪分別為1、3、5、7、9、11和13的多項式.這就需要找到逼近

中x的三次項的系數(shù)，圖5巾

的7個泰勒展開式為：

f（x）=x，

（7）式的左邊可以根據(jù)泰勒展開式表示為：

（9）.歐拉抽取x2項的系數(shù)，將式8看作具有無窮次冪的“偽多項式”，這樣的偽多項式有無窮多個根，其對應的根由式（5）給出.通過聯(lián)立（7）式和（9）式，便可求

展開后的x的

二次項系數(shù)的和，即可得到巴塞爾問題的答案：.l+

不僅如此，歐拉在解答巴塞爾問題的過程巾得…了著名的瓦里斯（Wallis）乘積公式，僅需將 代入（6）式并求其倒數(shù)即可得到：，

歐拉在解決巴塞爾問題的過程巾并未涉及復雜的技巧與數(shù)學概念，只是巧妙地利用超越函數(shù)和泰勒級數(shù)逐步推導并進行一系列巧妙的變換，便解決了著名的世界數(shù)學難題.這樣的思考過程、邏輯推理過程，讓人驚嘆不已.