基于交互式文本的“數值計算方法”教學改革研究＊

周茂瑛，王 班

（杭州電子科技大學機械工程學院，浙江 杭州310018）

1 引言

伴隨著計算機的產生和發展，數值計算獲得了廣泛的關注和研究，并得以大規模應用于工程實踐中。數值計算主要關注利用有效位數有限的計算機對數學問題進行近似求解的理論和相應的方法，目的是在充分考慮數值算法的誤差、收斂性和穩定性的情況下，在盡可能少的計算資源消耗下實現特定數學問題的求解。數值計算的基本理論與算法和工程實踐問題的結合，對工程實踐的發展起到了不可估量的作用。由此，目前“數值計算方法”課程已經成為了工科機械、電子和計算機等類別專業普遍開設的一門課程。

在現行的課程體系中，“數值計算方法”定位為一門數學基礎課[1]，主要講解數值計算的基礎概念，并介紹基本的數值算法和算法設計思路。而隨著計算機在工程實踐中的地位變得越來越不可或缺，這一定位使得目前的“數值計算方法”課程教學存在諸多問題。首先，過于強調理論分析的內容組織方式使得教和學難度都很大，學生學習效果不佳。其次，目前的課程教學內容與工程實踐結合不夠，教和學與工程實踐脫節。再次，受到課時限制，理論教學、實踐案例和計算機編程的結合是目前課程教學的難點。因此，有必要結合工程實踐，對該課程的教學進行一定的改革，提高課程的教學效果，反映工程實踐特點。

綜上所述，“數值計算方法”在工科的課程體系中有重要作用，而面向工科類專業的“數值計算方法”課程教學過程中存在許多問題和不足。

本文首先分析了造成這些問題的原因，然后根據新工科建設對學生能力培養的要求，提出對應的教學改革方案，并針對機械工程學科的實際增加課程中的實踐內容，以期能夠通過本課程的學習，加深和提高學生利用計算機解決工程問題的認識水平。

2 教學問題分析

在目前新工科建設的大環境下，產業需求和技術發展對“數值計算方法”課程有著重要影響，而學生在教學過程中的主體作用也越來越受到重視。針對這一變化，筆者們梳理了目前“數值計算方法”課程的教學過程中存在的諸如教學內容內在聯系不足、教學內容與工程實踐脫節、教學方式單一和與編程教學結合不足等問題。

2.1 教學內容單元之間的內在聯系有待增強

目前“數值計算方法”課程一般采用的教學大綱所包含的教學內容單元包括數值計算的誤差及其傳播、非線性方程求解、線性方程組求解、函數的插值與擬合、數值微分與數值積分和求解常微分方程等部分[2]。課程內容無法有效覆蓋工程中常見的問題，缺乏一些重要的知識單元。除了“誤差及其傳播”外，其他的知識單元之間不存在明顯的邏輯關系。不同知識單元都是相對完整的研究體系，可以在知識的深度和廣度上進行拓展。這一特點使得學生在學習過程中很難形成一條主線，很容易在不同知識單元之間疲于奔命，使得教和學的效果都不理想，教師和學生都很被動。

2.2 教學內容與工程實踐之間的聯系有待增強

首先，“數值計算方法”課程的教學內容長期沒有更新，對工程實踐中的案例幾乎沒有介紹。這種教學內容的設計和編排客觀上不利于工科類專業學生的學習。其次，與“數值計算方法”緊密關聯的數學建模，主要關注如何將工程實踐問題轉化為數學問題，是數值計算的前置步驟。而目前工科類專業本科課程中沒有專門的數學建模必修課程，導致學生在學習課程時難以結合工程實踐形成合理的知識體系。這種背景的缺失影響了教學效率。再次，工科類大部分專業并不會開設算法設計與分析的專業課程，更不會涉及算法的計算機實現等內容，使得學生無法深入了解各類數值計算算法的具體性能和優缺點。

2.3 教學方式有待豐富

目前“數值計算方法”課程定位為一門理論課程，包含大量的定理推導和證明。這導致目前一般采用靜態演示的教學方式，使得學生喪失了學習主動性，只能被動地接受灌輸，學習興趣低。

另外，目前依然采用傳統的閉卷考試模式，考查內容以抽象的數學問題為主，考察學生對基本理論的熟悉程度。這一考核方式也在客觀上固化了學生對“數值計算方法”課程的認知，無法有效引導學生結合工程實踐對“數值計算方法”課程進行學習。

2.4 與編程教學結合不足

“數值計算方法”中所涉及到的算法需要借助于編程軟件進行展現，但是目前根本不重視編程實現環節。一方面，數值計算算法的實現依賴于所選用的編程語言多種多樣，使得學生學習負擔加重。此外，目前本課程的學時配備不足以支撐同時對數值計算算法和編程語言進行講解。另一方面，目前的編程實操內容都過于簡潔，一般由教師擬定幾個簡單的與教學內容相關的數學問題，要求學生通過小修小補的編程進行求解。在這種情況下，學生容易陷入特定編程語言的學習，也容易使得學生的編程成為變相的習題求解過程。

3 教學改革措施

針對上文提到的目前在“數值計算方法”課程中所存在的一些問題，充分考慮工科類專業的實際情況，從以下方面進行教學改革探索。

3.1 結合工程實踐應用，整合教學內容

考慮到“數值計算方法”課程主要涉及到對連續模型的求解，可以將所涉及到的知識單元分為四個模塊：誤差分析、數值逼近、數值代數和數值微分方程。誤差分析主要針對基于有限位數計算機的數值計算分析其可能產生的各類誤差及其分析方法。其中涉及到數值計算的基本概念和數值算法的評價方法。數值逼近主要涉及不同的數學對象在計算機程序中的近似描述方法，包括數值積分、數值微分和函數的擬合和插值等。數值求根主要介紹非線性方程和線性方程組的求根問題，并介紹與矩陣特征值相關的計算算法。數值微分方程是一個綜合的模塊，主要介紹常微分方程和偏微分方程的數值求解。

3.2 結合工程應用實例，增加實踐課程

考慮到目前許多工科專業對計算機相關課程涉及不足，在考慮課程內容改革時，筆者們有意識地將這些內容結合在一起，采用分組探索和集中實驗的方式來對傳統的課堂知識講解[3]進行輔助，以期提高綜合教學效果。

分組探索主要分為教師講解介紹和學生自主探索兩個部分。在教師講解部分，教師會結合工程實踐問題，引導學生建立數學模型，并指出建模過程中所采用的假設等。在學生探索部分，教師提出探索性問題，要求學生進行自主的分組探索和分析。最終，學生需要形成解決方案，形成課程設計報告等文檔，對探索結果進行展示和總結。

集中實驗的關注點在于學生結合編程語言進行數值計算的能力，要求學生對某一個抽象的數學問題進行編程求解，并最終形成實驗報告等文檔，對所解決的問題進行展示。這一過程強調的是學生對算法的靈活運用，希望能夠提高學生對計算機程序的應用能力。

3.3 引入交互式文本，結合程序進行教學

數值算法的最終反映是計算機程序。學生學習的關鍵是對于所學習的問題和對應的數值計算算法有一個總體認識。因此，筆者們希望在教學過程中引入交互文本語言。這種語言的好處是可以將程序的執行過程融入到課程演示文本中。這樣，在課堂講解的過程中可以有效融入程序編寫和演示的流程。一方面，可以利用這個機會在不影響正常教學流程的基礎上向學生教授統一的編程語言，解決學生學習新的編程語言的諸多不便之處。另一方面，能夠實時地向學生展示不同的算法的實際執行效果，從而能夠更好地向學生進行講解。

3.4 改進考核方式，提高教學效果

在考核方式上，壓縮期末理論考試的比例，增加探索和實驗環節，關注學生解決問題的能力，引導學生關注數值計算方法的理論在工程實踐中的應用。此外，將程序類作業引入日常教學，要求學生利用編程語言完成作業，并設置一定的開放性作業，考察學生自由運用所學知識和技能的能力。最后，應該在條件允許的情況下允許學生進行開放性作品展示，激發學生的創新動力。

4 總結

本文針對目前“數值計算方法”的課程教學中存在的問題，以增強學生的分析和解決工程實踐問題的能力為目標，結合工程實踐問題和交互式編程語言，強調數值計算與編程語言的結合，提出了一些教學改革措施，希望學生能夠在學習數值計算方法的過程中充分了解其在工程實踐中的應用，培養其創新精神，提高其創新能力。