如何依據數學大概念開展“單元—課時”教學

夏繁軍 姚暉 章紅

摘要：依據數學大概念開展單元教學，需要層層分解大概念（學習目標），再通過課時教學，引導學生從下位概念的學習開始，逐步融合知識，形成結構，提升認知，落實大概念。以《函數的性質》單元及其第一課時為例，說明依據數學大概念開展“單元—課時”教學的主要流程：單元教學，包括內容解析、目標分析、學情診斷、學習路徑設計、課時規劃等環節;課時教學，包括內容解析、目標分析、學情診斷、學習過程設計（包括課堂評價）等環節。

關鍵詞：數學大概念;“單元—課時”教學;函數的性質;函數的單調性

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）的理念表明：指向數學大概念理解或感悟的教學應該“以學科大概念為核心，使課程內容結構化”，“從整體上把握課程”。在設計和實施層面，至少應該“關注（跨課時、跨章節的）單元、主題的教學目標”，從多個相關聯的內容所形成的結構化、整體性單元或主題入手。這是一種介于課時（微觀）和課程（宏觀）之間的“中觀教學”，既可以克服課時教學的碎片化、淺表化，又因為單元或主題劃分或界定的靈活性，具有很好的可行性，能夠促進各級各類大概念的學習以及課程目標的實現。

當然，概念之間存在層次結構，大概念是在其下位概念基礎上的抽象概括，同時大概念的上位是相對的。而且，課是一節一節上的。因此，依據數學大概念開展單元教學，還需要層層分解大概念（學習目標），再通過課時教學引導學生從下位概念的學習開始，逐步融合知識，形成結構，提升認知，落實大概念。這是一個閉環。這樣的教學可以稱為“單元—課時”教學。

一、依據數學大概念開展“單元—課時”教學的流程

P.L.史密斯和T.J.雷根在《教學設計（第三版）》一書中指出，教師在設計教學時，應首先回答以下三個問題：我們要到哪里去？我們如何到達那里？我們怎樣知道已經到達那里？這三個問題可以描述為以下三個環節：（1）分析教學內容，確定教學目標;（2）設計教學過程，確定教學策略和教學媒介;（3）開發評價工具，做好教學改進。

結合威金斯和麥克泰格在《追求理解的教學設計（第二版）》中提出的“逆向設計”觀點，參考章建躍先生給出的“單元—課時”教學設計模板和課標附錄2案例36說明的跨章節主題教學設計流程，我們給出如圖1所示的依據數學大概念開展“單元—課時”教學的流程。

值得注意的是，在這一流程中，評價伴隨著教學，與教學相互聯系、相互促進，貫穿于整個過程中;單元或課時基本問題、課時引導性問題、課時診斷性問題、單元探究問題、單元診斷性問題等都是重要的教學及評價手段。

二、依據數學大概念開展“單元—課時”教學的案例

下面，以人教A版高中數學第一冊第三章中的《函數的性質》單元及其第一課時《函數的單調性（1）》為例，具體說明如何依據數學大概念開展“單元—課時”教學。

（一）《函數的性質》單元教學

1.內容解析。

本單元的教學內容包括函數的單調性、函數的最值、函數的奇偶性。

（1）內容的本質。

單調性和奇偶性是函數的兩個重要性質，刻畫了函數值隨自變量變化而變化過程中呈現出的規律性和不變性。單調性是函數的“局部性質”，奇偶性是函數的“整體性質”;單調性是幾乎所有函數的一般性質，奇偶性是某些函數的特殊性質。單調性、奇偶性的研究都需要把圖像的幾何特性轉化為代數關系并用嚴格的符號語言表示，能溝通形與數，實現從定性到定量的轉化。

（2）內容中蘊含的數學思想方法。

第一，函數和對應的思想。單調性和奇偶性都是研究函數值隨自變量變化而呈現出的變化的規律性和不變性，利用函數思想正確找到事物發展變化的因變量非常重要。

第二，從整體到局部的方法。本單元的引入階段，首先要解決為什么要研究函數的性質、什么叫函數的性質、如何發現函數的性質、函數的性質主要有哪些等問題。由此，可以回扣函數概念，得到“通過研究函數的變化規律來把握客觀世界中事物的變化規律”，“變化中的不變性就是性質，變化中的規律性也是性質”;并且得到單元學習“路線圖”，將今后學習的函數的周期性、變化率（包括平均變化率和導數）等也納入“函數的性質”這個大概念中。從認知理論來看，既有同化，也有順應。

第三，數形結合的研究方法。本單元主要用代數運算和幾何直觀研究函數的性質。先畫出函數的圖像，通過觀察分析圖像的特征，可以得到函數的一些性質;但是不能止步于此，因為一些函數的圖像不容易畫，手工描點作圖的精確度不高，而且不能窮盡所有點，所以還需要通過代數運算給予嚴格論證。這種研究函數性質的方法貫穿于整個中學到大學的數學學習，體現了定性到定量的過程。

第四，從特殊到一般的研究方法。主要是在得出單調性和奇偶性定義的過程中，先通過幾個特殊函數的性質，歸納一類函數的共性;然后抽象出函數性質的內涵，再用嚴格的數學符號語言表示，與圖形語言、自然語言表示相互對照、相互補充、相互轉化。

（3）內容的育人價值。

第一，形成正確的人生觀和世界觀。建立客觀世界中運動變化現象的函數模型，目的是利用數學知識和方法分析函數模型的性態，由此發現和認識事物的變化規律，進而精確地“預測未來”，改造世界，造福人類。今天研究的是函數的運動變化規律，明天研究的就是客觀世界的發展變化規律。

第二，發展嚴密的思維能力。數學問題起源于直觀，終止于邏輯。生活中，分析問題時，也要學會從直觀猜想到嚴格論證。

第三，學會做事的技能。奇偶性把研究函數問題的工作減少了一半，節省資源，降低消耗。從中要學會用全局、對稱性思維分析和解決問題，把復雜問題簡單化。

第四，發展數學學科核心素養。在函數單調性、奇偶性概念的形成過程中，經歷由具體到抽象、由圖形語言和自然語言到符號語言的過程，發展數學抽象和幾何直觀素養。在把握函數單調性、奇偶性定義時，體會全稱量詞、存在量詞等邏輯用語的作用，發展邏輯推理素養。在函數單調性、奇偶性結論的證明過程中，發展數學運算和邏輯推理素養。在建構問題應用中，發展數學建模素養。

（4）知識的上、下位關系。

進一步分析高中數學“函數的性質”的上、下位知識（概念），可以得到圖2（暫不考慮變化率的有關內容）。

上述分析中蘊含著《函數的性質》單元的很多大概念。

2.目標分析。

（1）單元目標（來源于課標）。

第一，借助函數圖像，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義。

第二，結合具體函數，了解奇偶性的概念和幾何意義。

（2）目標評估（達成目標的標志）。

第一，能夠根據函數圖像直觀判斷函數在某些區間上的單調性，利用準確的數學語言刻畫增函數、減函數;能夠利用增函數、減函數的定義證明函數的單調性，掌握并利用作差變形的方向、方法。

第二，能夠根據函數單調性的三個相互推出關系[①x1與x2的大小關系;②f（x1）與f（x2）的大小關系;③f（x）在D上的單調性]中的任意兩個推出第三個。

第三，理解函數的最大值M的兩個限制條件[①?x∈D，f（x）≤M;②?x0∈D，f（x0）=M]，能夠根據函數的單調性求函數在給定區間上的最值;能夠把生活中具體的情境問題抽象成數學問題，然后求函數的最值并解釋其在生活中的實際意義。

第四，能夠結合函數圖像直觀理解奇函數、偶函數、函數的奇偶性定義;能夠根據奇偶性的定義判斷函數的奇偶性。

第五，能夠根據函數的奇偶性、單調性解決比較函數值的大小、解不等式、求函數的最值等問題。

3.學情診斷。

（1）學生已有基礎。

第一，知識準備。學生在初中學習了函數概念的“變量說”，結合一次函數、二次函數、反比例函數這三種具體函數，知道函數值隨自變量增大而增大（減?。┡c函數圖像之間的關系、二次函數的對稱性;進入高中后，學習了函數概念的“對應說”，明確函數刻畫的是兩個集合之間的對應關系。

第二，思維準備。能夠結合函數圖像，利用自然語言說出函數的變化規律、對稱性;能夠通過具體函數解析式，找到自變量和函數值之間的變化關系。

（2）教學難點及突破關鍵。

第一，增（減）函數的定義。從具體到抽象，結合二次函數f（x）=x2理解“y隨x的增大而增大（減小）”的數學符號表示，體會利用“任意”刻畫“無限”的數學方法的威力和魅力。具體可以經歷如下認識過程：在y軸右側，從左向右函數圖像是上升的;當自變量x≥0時，函數值y隨自變量x的增大而增大;自變量x增大即x→x+Δx（Δx>0），令x=x1，x+Δx=x2，則x1

第二，利用增（減）函數的定義證明函數的單調性。通過實例，規范證明函數單調性的五個步驟：①取值;②作差;③變形;④判斷;⑤定論。典型的函數有f（x）=kx+b（k≠0）、f（x）=ax2+bx+c（a≠0）、f（x）=1/（x-2）、f（x）=√x、f（x）=x3、f（x）=x+1/x等。取值的要求是在單調區間內任取兩個不相等的值x1、x2;作差后變形的方向是幾個因式的乘積或乘方形式;變形的方法有通分、提取公因式、因式分解、配方、有理化。

第三，函數單調性和奇偶性的綜合運用。結合函數圖像直觀分析，把握兩個性質之間的關系。比如，奇函數在對稱區間上單調性一致，偶函數在對稱區間上單調性相反。

在上述難點的突破過程中，利用GeoGebra或幾何畫板軟件可以方便地作出函數圖像，便于學生直觀觀察，獲取函數性質的深刻印象。

4.學習路徑設計。

結合上述分析及其中大概念的提取，設計基本問題和引導性問題，呈現單元學習路徑（如下頁圖3所示）。

5.課時規劃。

根據上述學習路徑設計，本單元新授課可以分為4個課時，具體內容依次是：函數單調性的定義和簡單函數單調性的證明;復雜函數單調性的證明和應用;函數奇偶性的定義和證明;函數單調性、奇偶性的綜合應用。

（二）《函數的單調性（1）》課時教學

1.內容解析。

本課時的教學內容是函數單調性的定義和簡單函數單調性的證明。

函數的單調性是函數最基本、最重要的性質之一，它刻畫函數的增減變化規律，有利于學生進一步鞏固理解函數對應關系;它還是刻畫現實世界中很多事物增、減趨勢的重要模型;它在方程、不等式、最值問題的研究中發揮著重要作用;而刻畫函數單調性的平均變化率為導數學習奠定基礎。

正如康德所言，“人類的一切知識都是從直觀開始的，從那里進到概念，而以理念結束”，函數單調性定義的獲得一般要經過以下兩次抽象過程：

一是從實際問題（記憶曲線、函數圖像等）到數學問題（單調性），從圖形語言（函數圖像上升或下降）到自然語言（函數值y隨自變量x增大而增大或減小）。這次抽象是從現實世界到數學世界、從感性具體到理性具體的思維過程。抽象方法是分析數量關系和圖形關系，明確數學概念（遞增、遞減）和原理（y隨x增大而增大或減?。?。

二是從自然語言到符號語言[對定義域D的某個子區間I，x1、x2∈I，當x1）f（x2）]。這次抽象是從理性具體到理性一般的思維過程。抽象方法是對問題進行符號化、形式化，對第一次抽象作出嚴謹的解釋和表達。

本節課體現了數學學科的發展規律：把現實世界中的實際問題通過數學抽象變成數學問題，在數學內部按照邏輯推理得到一些概念和結論;然后利用這些概念和結論來解決其他數學問題和生活實際問題。即：從生活中來，經過數學加工，再到生活中去，“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界”。

2.目標分析。

（1）課時目標（服務于單元目標）。

第一，詳見“單元目標”的第一條。

第二，在函數單調性概念的形成過程中，經歷由具體到抽象、由圖形語言和自然語言到符號語言的過程，發展數學抽象和幾何直觀素養。在把握函數單調性定義時，體會全稱量詞、存在量詞等邏輯用語的作用，發展邏輯推理素養。在函數單調性結論的證明過程中，發展數學運算和邏輯推理素養。在知識的探究過程中，培養細心觀察、直觀猜想、嚴格論證的思維習慣。

（2）目標評估（達成目標的標志）。

第一，詳見“單元目標評估”的第一條。

第二，詳見“單元目標評估”的第二條。

第三，經歷從圖形語言展示到自然語言描述再到符號語言刻畫的過程，感悟引入符號“x1、x2∈D”，把“無限”問題轉化為“有限”表達的方法及其優越性。

3.學情診斷。

學生在初中階段學習了一次函數、二次函數、反比例函數這三種具體的函數，知道函數圖像從左向右上升（下降）與函數值隨自變量增大而增大（減小）之間的關系。到了高中階段，需要在此基礎上進一步利用符號語言“x1、x2∈D，當x1）f（x2）”來表述函數的單調性，對函數的單調性進行定量刻畫。

據此分析，本節課的教學難點是：符號語言表示中，對“任意”“都有”等涉及無限取值的語言的理解和運用;利用定義證明函數的單調性。突破難點的關鍵是：從具體到抽象，結合具體函數理解“y隨x的增大而增大（減?。钡臄祵W符號表示，體會利用“任意”刻畫“無限”的數學方法;通過實例，規范證明函數單調性的五個步驟?？梢岳肎eoGebra或幾何畫板軟件作出函數圖像，便于學生直觀觀察，獲取函數性質的深刻印象，也為取值的任意性創造可能。

4.學習過程設計。

（1）引入。

談話：為什么要研究函數的性質？函數描述了客觀世界中變量之間的一種對應關系，我們可以通過研究函數的性質獲得對客觀世界中事物變化規律的認識。那么，什么是函數的性質？怎樣研究函數的性質？函數有哪些性質？這些是我們這一單元學習要解決的問題。

[設計意圖：開篇提出本單元學習要研究的問題，給學生一個整體意識;同時，明確為什么要研究函數的性質，體現大概念“研究函數的性質是為了更好地認識客觀世界的變化規律”。]

出示問題1：觀察圖4中的函數圖像，你從中發現哪些特征？你覺得反映了函數的哪些性質？

預設：學生會給出函數圖像的升降、“在不同區間上y隨x增大而增大（減?。?、對稱性、最高點、最低點、周期性等特征。

談話：什么是函數的性質？根據函數的定義，函數是研究函數值與自變量之間的對應關系的，函數的性質就是刻畫函數值在隨自變量變化的過程中呈現出的不變性、規律性。函數圖像所反映的這些特點就是函數的性質。本節課，我們先研究如何利用定量的方法刻畫函數值y隨自變量x增大而增大（減?。┑囊幝伞?/p>

[設計意圖：讓學生對函數的性質有整體的認識，明確什么是函數的性質、怎樣研究函數的性質、函數的性質一般有哪些，落實大概念“函數的性質是函數變化中的不變性和規律性”。]

（2）函數單調性的定量刻畫。

談話：我們以函數f（x）=x2（x∈R）為例來分析。觀察圖5，不難得到：函數f（x）=x2在區間（-∞，0）上，從左向右函數圖像是下降的，即y隨x的增大而減小，我們就說（不是定義），函數f（x）=x2在區間（-∞，0）上是減函數。也可以說，在區間（-∞，0）上單調遞減。類似地，函數f（x）=x2在區間（0，+∞）上的情況怎么說？（學生表達）一般地，若函數f（x）在區間I上是增函數（減函數），我們就說函數f（x）在區間I上具有單調性，稱區間I為函數f（x）的單調增區間（減區間）。

出示問題2：請根據下頁圖6中的函數圖像，寫出函數f（x）在哪個區間上是增函數、在哪個區間上是減函數，并寫出函數的增區間、減區間。

學生回答后，教師注意強調區間端點的處理方式。

[設計意圖：增函數、減函數的本質是刻畫函數值隨自變量增大而增大或減小。首先從幾何直觀的角度給出增函數、減函數的自然語言描述，讓學生學會根據函數圖像直觀判斷，完成從圖形語言到自然語言的轉化。]

出示問題3：①請說出函數f（x）=x/x2-1的增區間、減區間。②圖7所示的函數其解析式為f（x）=2sinx/10在區間[-2，2]上單調遞增嗎？

談話：從函數圖像上可以很直觀看出函數的單調性，但是有些函數的圖像不容易畫出來，而且手工畫出來的圖像往往不夠精確。因此，我們需要精確刻畫什么是增函數、什么是減函數，即利用數學符號來刻畫函數值y隨自變量x增大而增大（減?。?。我們還是以函數f（x）=x2為例，填寫取值對應情況表，由此你能具體描述函數值隨自變量增大而變化的情況嗎？

預設：當-3<-2<0時，有f（-3）=9>f（-2）=4;當-2<-1<0時，有f（-2）=4>f（-1）=1;當-1<0時，有f（-1）=1>f（0）=0……

[設計意圖：引導學生填表、用表，通過表格數據感知函數的單調性，完成對函數單調性的第二次認識。]

追問1：這樣的變化過程能寫完嗎？

預設：寫不完，原因是區間（-∞，0）上有無窮多個實數。

追問2：對于一般的函數g（x），若在區間（-∞，0）上取幾個特殊值，比如-3<-2<-1<0，有g（-3）>g（-2）>g（-1）>g（0），能不能說函數g（x）在區間（-∞，0）上是減函數？

預設：不可以，因為能畫出圖8所示的反例。

追問3：若在區間（-∞，0）上取無數多組數來說明，是否可以？

預設：不可以，因為能畫出圖9所示的反例。

追問4：要說明函數f（x）在區間（-∞，0）上是減函數，應該取區間上怎樣的值？

預設：應該取區間（-∞，0）上任意兩個實數。

追問5：怎么實現任意兩個實數的對比呢？你能借助字母符號歸納出以上想法嗎？

預設：用x1、x2代表任意的兩個自變量，它們對應的函數值分別是f（x1）、f（x2）。

追問6：那么，自變量的增大用什么關系來表示？

預設：用不等關系，在區間（-∞，0）上任取x1

追問7：接下來應該研究什么？

預設：應該比較f（x1）和f（x2）的大小。

追問8：如果f（x1）>f（x2），能得出什么樣的結論？

預設：f（x）在（-∞，0）上單調遞減。

追問9：類似地，如何說明f（x）=x2在[0，+∞）上為增函數？

預設：任取x1、x2∈[0，+∞），且x1

對于學生的錯誤回答，引導學生分別利用圖形語言和自然語言進行辨析，使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉。通過一步步的追問，把“在給定的區間內任意取兩個自變量x1、x2”的想法給“逼”出來，即用“任意”代替“無限”。

[設計意圖：把學生對單調性的認識由定性描述上升到定量刻畫，是對概念的第三次認識。完成了概念的抽象過程，也落實了大概念“數學抽象”“歸納方法”，同時回應為什么要利用符號語言刻畫，為證明函數的單調性做好鋪墊。]

出示問題4：你能利用準確的數學符號語言表述增函數的定義嗎？

師生共同探究，得出教材中增函數的定義。然后，學生類比得出教材中減函數的定義。

談話：這里，我們利用數學符號語言“?x1、x2∈D”，就把區間D內無窮的問題轉化為可以操作的有限的過程。這就是數學抽象和形式化的力量。

[設計意圖：突破本節課的難點，點出數學符號的抽象帶給人們觀念上的變化，落實大概念“數學語言的簡潔性”“利用有限把握無限”。這是觀念的提升。]

出示診斷性問題：判斷以下命題是否為真命題。①因為函數f（x）=1/x在區間（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數，所以f（x）=1/x在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數;②如果?x∈D，都有f（x+1）>f（x），那么就稱f（x）在D上單調遞增;③“f（x）在D上單調遞增”是“?x1、x2∈D，x1≤x2，則y1≤y2”的充要條件。

追問：若都有f（x+0.1）>f（x），f（x+0.0001）>f（x），能否稱f（x）在D上單調遞增？

總結：①單調性是對定義域內的某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性;②對于某個具體函數，它的單調區間可以是整個定義域（如一次函數），可以是定義域內的某個區間（如二次函數），也可以根本不單調（如常函數）;③函數在定義域內的兩個區間A、B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在A∪B上是增（或減）函數，因為A∪B是一個集合，既代表運算結果，也代表運算過程;④在區間D上，若從左向右函數圖像是上升的，則函數值y隨自變量x增大而增大，自變量x增大即x→x+Δx（Δx>0），可令x=x1，x2=x+Δx，得到x1

[設計意圖：對學生概念理解的程度進行診斷評估。進一步辨析概念，明確函數的單調性是對定義域內的某個區間而言的，是函數的局部性質。引入Δx，為后面學習平均變化率打基礎，同時，進一步落實大概念“無限”。]

（3）函數單調性定義的簡單應用。

出示問題5：根據定義，研究函數f（x）=kx+b（k≠0）的單調性。

教師引導學生先從圖像的角度分析，再給出基于單調性定義的證明。

[設計意圖：學生利用函數圖像能夠直觀得到結論。教師引導學生通過嚴格推理和運算得到一次函數的單調性，實現由形到數的轉變，加深對單調性定義的理解。同時，落實大概念“數學運算”“幾何直觀”。]

出示問題6：研究函數y=x+1/x（x>0）的單調性，能說出這個函數分別在哪個區間上為增函數和減函數嗎？可以取一些特殊值試試看。

[設計意圖：解決此題的困難在于確定單調區間分界點的確切位置。 借此，可以讓學生體會到利用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性。]

追問1：你能想辦法猜出函數單調性改變的分界位置嗎？

預設：能，由均值不等式可知，當x>0時，當且僅當x=1時，函數取得最小值2。

追問2：研究函數f（x）=x+1/x在區間（0，+∞）上的單調性，說清楚證明步驟。

預設：①取值。任取x1、x2∈（0，+∞），且設x10。

追問3：三項乘積中只剩x1x2-1的符號要確定了，如何判斷？若想得出函數在某個區間上是增函數，你認為應該讓x1、x2取在哪個區間上？

預設：讓x2>x1≥1，則對任意x1、x2，都有x1x2>1。

追問4：我感覺不是的，比如讓x1=1/10，x2=100，則x1x2=10>1。

預設：不可以。若讓x1=1/10，則x2就不能取區間（0，+∞）上的任意值，而只有當x2>10時，才有x1x2>1，這違背了單調性定義中的“任意兩個值”。所以得到：當x2>x1≥1時，x1x2>1，所以（x1-x2）（x1x2-1）x1x2<0，所以f（x1）0，所以f（x1）>f（x2）。⑤定論。函數f（x）=x+1x在區間[1，+∞）或（1，+∞）上是增函數，在區間（0，1）或（0，1]上是減函數。

追問5：你能給出函數f（x）=x+1/x在區間（-∞，0）上的單調性嗎？能根據單調性和最值畫出函數的簡圖嗎？

[設計意圖：引導學生歸納證明函數單調性的步驟：取值、作差、變形、判號、定論。同時，回扣定義中的關鍵詞“任意”“都有”，再次落實大概念“無限”。]

（4）課堂小結。

出示問題7：①什么是函數的單調性、增函數、減函數？定義中的關鍵詞是什么？②判斷函數單調性的步驟是什么？③什么是函數的性質？我們研究了函數的哪些性質？④我們是怎樣研究函數的性質的？

[設計意圖： 引導學生回顧全課內容，進一步提煉研究函數性質的方法：幾何直觀和代數運算，從直觀到抽象，從定性到定量，從粗略到精確;從特殊到一般。這些也是重要的大概念。]

5.課后作業。

基礎作業：略。

探究作業：要證明函數f（x）在區間（a，b）上是增函數，可以利用“對任意的x1、x2∈（a，b），且x1≠x2，有f（x2）-f（x1）/（x2-x1）>0”嗎？

[設計意圖：等價形式的進一步發展可以引向導數，為學習利用導數方法研究函數單調性埋下伏筆。]

參考文獻：

[1] 任念兵.高中數學中觀教學設計：現狀、問題與對策[J].教育研究與評論（中學教育教學），2018（9）.

[2] 章建躍.《普通高中教科書·數學（人教A版）》“單元—課時教學設計”體例與要求[J].中學數學教學參考，2019（22）.

[3] P.L.史密斯，T.J.雷根.教學設計（第三版）[M].龐維國，屈程，韓貴寧，等譯.上海：華東師范大學出版社，2008.

[4] 格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格.追求理解的教學設計（第二版）[M].閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯.上海：華東師范大學出版社，2017.

[5] 章建躍.第三章“函數的概念與性質”教材介紹與教學建議[J].中學數學教學參考，2019（28）.

[6] 史寧中.數學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

*本文系北京市教育科學規劃2021年度一般課題“大概念和學習進階視角下高中數學單元教學實施策略研究”（編號：CDDB21315）的階段性研究成果。