“兩次倒轉”：數學概念教學的應然選擇*
——以“無理數”教學為例

王 華

在知識本位的數學課堂中，數學的概念、原理和法則都是作為靜態的知識呈現的，不少學生掌握知識，卻不會思考知識、追問知識，教學過程功利化、形式化，缺乏“悟”的時間。然而回顧歷史，每個數學概念的創生都凝聚了前人無數的心血和智慧，雖然簡單重復前人的探究歷程不現實也不經濟，但以“再創造”的方式簡化、重現、模擬前人探究的典型過程卻非常必要。北京師范大學郭華教授提出的“兩次倒轉”教學機制，旨在通過“倒過來”明確教學的內容與方向，通過“轉回去”再現概念探究的典型過程，從而將外在、顯性、普遍的知識轉化為人內在、隱性、個體的解決問題的立場、方法與觀點。那么，在概念教學中如何運用“兩次倒轉”展現過程與方法，從而達成深度教學呢？本文以蘇科版數學七上“無理數”概念的教學為例，談談具體的教學路徑。

一、“倒過來”，明確內容與方向

數學概念的教學既不能簡化成概念的簡單堆砌、直接傳遞，也不能只是重復人類初獲概念時的實踐、試誤。教學過程應當將人類認識的終點當成學生認識的起點，這樣的認識過程是一種“倒過來”的過程。這種過程能讓教師明晰教學的內容和方向，明了教材邏輯與學生心理的巨大落差，有著獨特的教學優越性。

1.解構多重教學內容。

數學概念的教學不能僅限于事實性知識的“記中學”，還應包括方法性知識的“做中學”和價值性知識的“悟中學”。如有教師認為，“無理數”這一概念十分簡單，即無理數是無限不循環小數，學生記住就行，沒什么可教。顯然這樣的觀點將無理數教學內容簡化成“僵化的知識”，忽略了無理數創生歷程之艱難及隱藏在無理數背后的人類理性精神。因此，無理數的教學內容應當是多重的、有層次的，不僅僅包括無理數的概念，還應包括無理數概念創生背后的數學學科思維、方法和價值。

2.明了巨大認知落差。

數學概念的呈現主要有兩條線索，其一是學科邏輯，其二是學生心理邏輯。如無理數內容是安排在蘇科版數學教材七上第二章“有理數”之中。它便于引出實數，明晰“實數與數軸上的點一一對應”，從學科邏輯上講這樣的安排是很有必要的，體現了數學知識的嚴謹與客觀。但是，從學生的心理來看存在兩個認知困境：其一， 2 為什么不是有理數？直接用反證法去邏輯推理顯然無懈可擊，但對從來沒有接觸過反證法的學生來說將是一個挑戰。其二，無理數是無限不循環的，無限意味著無法窮舉，不循環意味著沒有規律，這看不見摸不著的東西怎么讓人信服與接納？因而人類的認識成果與學生心理認知之間產生了巨大的認知落差。

3.設置高階教學目標。

基于數學概念的多重教學內容，以及學科邏輯和心理邏輯間的落差，教學需設置高階目標化解學生產生的認知沖突，多維度完成教學任務，讓學生在關注事實性知識的同時，感悟概念所蘊含的學科思維、方法和價值。具體而言，教師的教學目標是利用多種方式和途徑建立“人類對無理數的認識”與“學生的認知困境”之間的聯系。學生的學習目標為：（1）無理數是實實在在存在的；（2）“ 2 是無理數”是有道理的；（3）感受無理數創生過程中的理性光輝。

二、“轉回去”，展現過程與方法

“轉回去”是在明晰人類認識和學生認識的關系之后，從情境中提出問題，簡約地、模擬地去經歷人類認識的典型過程，引導學生將新知識轉化為前行的基礎和力量［1］17，獲得研究問題的方法，并進一步轉化為“承載著情感與偏見、蘊含著歷史文化和生活時空的主體性、意義性存在”的“個人知識”［2］。

1.確定起點，設計情境。

通過解構人類認識的過程獲得概念教學的多重任務，通過分析人類認識與學生認識的差異設定概念教學的目標。在教學實施中，應當依據內容和目標，以學生生活經驗或數學經驗為認知起點，設計合適的情境，引導學生提出問題、主動探究，進而自主“發現”并建構人類已有的認識成果。

從無理數產生的歷史看，在早期，人們認為宇宙萬物都可以用兩整數之比（即有理數）來解釋。也就是說，給定任意兩條線段，必存在第三條線段（或許很短），它可以整數次度量完給定的兩條線段，即任意兩條線段可公度。在這樣的認識基礎之上，有理數顯得非?！巴昝馈?，那為什么會引入無理數呢？關鍵是人們發現了不可公度量的存在。因此，讓學生典型而簡約地重演無理數的發現過程，感受不可公度量的存在，他們才能切身體會到無理數學習的必要性。

根據學生現有的水平、經驗以及發展需要，可以確定學生學習的起點為判別兩條線段可公度，能通過拼圖求正方形的對角線長。進而設置下列問題情境：（1）將兩個邊長為1 的小正方形沿對角線剪開，可以拼成一個大正方形，求大正方形的邊長；（2）能否找到第三條線段，使其能以整數次量完大正方形的邊長 2 和小正方形的邊長1。［3］教師通過這一環節的設置，促使學生能夠走進歷史，感受認知沖突，進而提出無理數概念。

2.聚焦問題，展示求解。

知識僵化變成教條，其實不是知識本身的錯誤，而是人們遺忘了知識創生背后的問題。問題具有指向性和邀請性的特點，問題的指向性可以聚焦學習者的思維，使目標物凸顯在學習者的眼前，否則學習者的思維就會因缺乏對象而無從下手、一無所獲；而問題的邀請性則代表問題期盼學習者的回答，否則“化知為識”“轉識成智”就喪失了內在的動力和支撐。如果說聚焦問題是數學概念教學的支點，那么展示問題求解則是獲得數學概念的重要路徑。

古希臘之后的兩千多年來，人們圍繞“無理數是不是數”這個問題，一直進行著各種爭論，直到19 世紀才由戴德金、柯西、魏爾斯特拉斯等數學家構造嚴密的實數理論，消除了人們對無理數的神秘感。中學階段不便涉及實數理論，只要將其作為已經建設好的平臺，放心去使用就行了。［4］在中學里，無理數有兩種不同方式的定義，一是不能表示成兩個整數之比的數，一是無限不循環小數。兩種定義是人類認識不同階段的產物，其對學生的教育意義不同，前者符合無理數的緣起，比后者更適合作為認知的固著點，而后者形象且具體，學生更容易感知。教學時，可以通過聚焦問題，簡約地模擬出人類認知無理數概念的過程。

基于學生的心理認知，將“無理數是不是數”這個問題進一步教學化，聚焦以下三個問題：（1）

2 究竟有多大？（2）是否真的存在既無限不能窮舉，又無規則不循環的小數？（即無理數的存在性問題）（3）為什么 2 是無理數？教學時，采用“十分法”逼近和計算機結果演示兩種手段，讓學生感受 2 的結果可以表示成小數，它是沒完沒了，又不循環的。但畢竟探索和機器演示的結果是有限的，那這樣無限不循環的小數真實存在嗎？此時，“你能否構造一個無限不循環小數？”的問題順時而出，學生通過構造0.10100100010000…（相鄰兩個1之間依次多一個0）便證明了無限不循環小數的存在，進而引出無理數的定義。而 2 是無理數的結論不是靠猜想，而是靠嚴格的邏輯證明得到，進而展示古人的求解方法，即用反證法證明 2 是無理數。

3.參悟知識，躍遷教學。

盡管一些教師也是基于問題，并在求解中演繹數學的概念，卻很難真正做到“轉識成智”，其原因就在于缺乏對知識的參悟，局限于事實性知識的“記中學”，未能觸及概念所蘊含的邏輯形式和意義層面，從而參悟不到方法性和價值性的知識。在“轉回去”的過程中應當增加學生“做”和“悟”的機會，提升概念教學的層級，實現教學的躍遷，從而彰顯出知識形成中人的思考、思維、方法、情感與意志的作用，呈現概念教學新的景象。

教學時，學生不僅要了解無理數的概念（課程標準的要求），而且要簡要地經歷無理數的“發現”過程，更重要的是感受到西帕蘇斯發現無理數是人類理性思維的勝利。另外，不可公度量的發現本身就是一個傳奇，這是極好的教學素材。顯然，要想真正“轉識成智”，教師必須走出狹隘的教學觀，而把教學設定于“師生生命活動”的視域中，循著人類的理性精神，學生可以人為地“造出”無理數。而進一步論證 2 是無理數的反證法也可以變得易于學生理解，因為許多場合都用到反證法，如蘇軾的《琴詩》便是極好的例證，“若言琴上有琴聲，放在匣中何不鳴?若言聲在指頭上，何不于君指上聽?”由此可見，人文的論辯和數學的證明，都需要遵循邏輯規則。在意境上，古詩和數學可以相通，其背后的思維價值極高。

三、“兩次倒轉”，圓融知識與智慧

在“兩次倒轉”（先“倒過來”，再“轉回去”）的概念教學中，教師、學生和知識得以高度的統一，教師的教引發著學生高質量、有意義的學，學生與知識相互交融，構成全新的學習主體與知識對象的關系，即“對象對主體的意義不在于它或他是可以認識的物，而在于在對象上凝聚了主體的客觀化了的生活和精神”［5］?？梢哉f“兩次倒轉”融合了主體與對象，圓融（圓者周遍之義，融者融通融和之義）了知識與智慧，從而積淀為“個人知識”，化知識為德性。

1.“兩次倒轉”相互依存。

首先，“倒過來”的新知識是學習的目標和學習的重點。其次，“轉回去”重演數學概念的創生過程，揭示出凝聚在歷史長河中的數學家們創生知識背后的數學學科思維、方法和價值，喚起學生進一步達成高階目標的心智，讓學生走進知識。最后，“倒過來”為“轉過去”提供了新的探討點。如嘗試解決“用第三條線段整數次度量完長為 2 的線段和長為1的線段”這一問題后，讓學生閱讀材料“正五邊形、不可公度及無理數”，相當于再次經歷人類理性思維的勝利，進一步生發智慧。

2.“兩次倒轉”積淀知識。

在“兩次倒轉”的概念教學中，人類的認識成果“倒過來”成為學生的認識起點，而后用“轉回去”的方式，讓概念基于學生現實經驗，成于“歷史相似性”的學生艱苦探究。學生獲得事實性知識的同時，參悟概念蘊涵的邏輯形式與意義，在持續的反思中建構“個人知識”。無理數概念的教學必須讓學生經歷無理數的發生發展過程，感受一個概念生成的艱難曲折，明晰一絲不茍的純粹理性指引著無理數的“從無到有”，從而學生會被這種精神所折服，自然地徜徉在數學的歷史長河之中，“再創造”地學習數學，積淀“個人知識”，進而“轉識成智”。

3.“兩次倒轉”涵養德性。

在“兩次倒轉”的教學活動中，學生在教師的幫助下將靜態的知識（人類認識成果）轉化為自身的本質力量，也在自己的心里種下能夠承擔未來社會歷史實踐重任的責任心、價值觀，發展出能夠承擔未來社會歷史實踐重擔的能力、情懷與品格。［1］20黑格爾認為，一個人做了這樣或那樣一件合乎倫理的事，還不能說他是有道德，只有當這種行為成為他性格中固定要素時，才可以說他是有德的。教學就是要完成這個使命，使它的知識化為學生的智慧，使這種智慧內化為他們的德性。