概率論與數理統計課程混合式教學改革研究與實踐

劉 璐,李丹丹，賈美多, 趙會仁,郭淑霞

(錦州醫科大學 公共基礎學院，遼寧 錦州 121002)

由于互聯網和移動終端的發展，給教師的教學和學生的學習帶來巨大的變化，傳統的課堂教學形式，黑板粉筆一節課已經不能滿足當代學生的需求了。“線上”+“線下”的教學模式即混合式教學，將線上豐富的教學資源與線下的課堂教學形式有機結合。學習者多樣化的學習資源和便捷靈活的學習形式，施教者針對學習者的學習需求和規律要精心設計教學方案。“概率論與數理統計”是以研究隨機現象規律性的一門數學分支。概率統計方法在金融、保險、生物、醫學、經濟、工程技術等領域得到了廣泛的應用。學習概率論與數理統計，有助于培養學生用概率統計的思維看待分析和解決身邊發生的隨機現象及一些實際問題，有利于培養學生健康積極的價值觀。統計方法的學習有利于培養學生收集整理分析數據能力，為后期一些實驗課程的數據處理打基礎。筆者所在學校對食品科學與工程學院開設有“概率論與數理統計”課程，根據不同專業的需要設置學時不同。食品工程專業設置為72 學時，而食品檢驗檢疫和食品科學專業40 學時，均為純理論授課。傳統授課模式課堂沉悶，學生參與度低。筆者嘗試對這兩個班進行混合式教學。

一、混合式教學實施方案

（一）網上教學平臺的建立

子曰：工欲善其事,必先利其器。自古以來，教師如何教與學生怎么學是教育界一直探討的話題。現代教育技術給教育教學帶來了巨大變革。互聯網的發展給教育添加了一把“利器”，使全球的學校、圖書館和多種資源信息聯系起來，形成了巨大的資源庫。教師可根據自身需求便利地檢索各種信息，掌握先進技術。學生也可通過互聯網進行網上學習，查找資料等活動[1]。教師根據課程和學生特點將互聯網上的信息資源與教師制作的個性化的資源有機地結合起來，提供給學生。這樣學生能在平臺上看到教師上課用的PPT、知識點視頻、電子教輔資源、線上練習、提問與解答、討論等等，既方便了教師教，也方便了學生學。就像為課程找了一個“家”，在這個家里，學生可以有的放矢地進行各種學習活動，教師則是管理課程的“家長”，建設這個家，同時設計方案指導學生學。不同學校合作的平臺不同，不論什么樣的平臺，教師要“苦心經營”一個適合自己所教學生的學習平臺。筆者用智慧樹平臺建立了“概率論與數理統計”課程。將團隊錄制的視頻資源，電子教材，課件，教輔等資源上傳，建立了題庫，開放了提問討論區。利用平臺推送學習任務，布置課前課后任務，課中的隨堂測驗、投票、線上作業、線上測驗、線上分組等。用平臺監控學情數據為綜合評價提供依據。

（二）開設討論課

著名心理學家皮亞杰說過：“所有智力方面的工作都依賴于興趣。”[2]興趣是最好的老師，是學習者自身的驅動力，是引導學習者走向深度學習的最好催化劑。利用案例教學和開設討論課能為純理論的數學課堂注入活力，提高學生的學習興趣。

1.放開手，學生的能力是“無限的”。一直以來，教師和學生都覺得“概率論與數理統計”課程很難。很多知識點晦澀難懂。傳統授課時，教師反復講、強調，學生就是理解不了。為了增加學習的趣味性，在學期中安排了幾次討論課。

第一次是在全概率公式及逆概率公式講解之后，安排的題目有“乒乓球賽制問題”“抓鬮問題”“射擊問題”。各小組將目標事件發生的原因分析得清清楚楚，還將乒乓球賽制的發展歷史和抓鬮的起源做了簡單的介紹，還有學生對在“射擊問題中”的完備事件組的事件構成提出疑問。

第二次是關于隨機變量的數字特征的應用，題目有“求職決策問題”“委托代理問題”“法律糾紛問題”“風險規避問題”“投資理財問題”。這次的題目，涉及到的領域是在校二年級的學生從來沒有關注過的問題，可是在活動當天，有的小組講解員講解充分。

首先將相關領域的概念介紹給大家，然后再利用數學期望解決問題。一時間，各講解員成立各領域的專家，為大家答疑解惑。有個小組還從網上下載如何求職的視頻，視頻內容生動有趣，大大增加了趣味性。

2.引導得當，沒學過的知識也能討論完成。課堂授課內容截止到單正態總體的假設檢驗。因此最后的討論題目的設置都是沒有講過的知識點，如兩個正態總體方差、均值的比較，單因素方差分析和相關系數的計算和檢驗。要求知識點講清楚，應用講明白。盡管知識點需要學生自學，但學生學起來也不覺得太陌生，都是前面知識點的延伸。給學生充足的時間討論，課堂上對各小組的問題教師給予了及時的解答。由于教師隨機指定小組內的同學講解問題，因此各小組的每個成員對問題都有了充分的了解。具體開始活動時，講解的同學內容熟練，回答問題或計算的同學，回答計算準確。達到了教學的目的。

3.討論中，師生關系更加和諧融洽。準備一次討論課，需要提前1—2 周布置任務。學生自由組隊，隊長安排成員任務。在組內討論期間，教師要課下跟進，利用QQ 或微信群，及時與各小組進行溝通交流，掌握各小組的進度。在溝通交流中，進一步了解學生，從學生的反饋中了解學生的需求、對課程的滿意程度、學習作業中遇到的問題等，進而在以后的教學中能及時改進。

（三）特色考核方式

考試是衡量學生對一門課程掌握情況的方法。由于本課程是考查課，傳統評價考試分期中與期末。期中考試安排在概率論部分結束后，閉卷考試，期末考試則是開卷考試。這種考核方式不足以考查學生對本門課的掌握情況。并且很難正確評價學生的能力。筆者做過如下的嘗試：

方式一 考查自學能力，你是會學習的學生嗎？考試前，教師準備同一知識點的題目，題目個數是學生人數的1/3 左右。考試時，先令學生自學“兩個正態總體均值的假設檢驗”一節；隨后給學生發放相關的試題，每人一題，一個班里拿到相同題目的學生不超過三個，這樣杜絕了抄襲，同時也能考查學生的自學能力。由于兩個正態總體均值的假設檢驗需要二個步驟，先檢驗方差齊性，再根據方差齊性否，選擇合適的統計量來進行均值的檢驗。只要學生認真閱讀教材內容，是可以完成的。但從答題的結果可看出，幾乎有一半學生沒有做方差齊性檢驗，就進行均值檢驗。一方面說明學生不會讀書，不能抓住書中的脈絡；另一方面也說明這部分學生的學習被動，沒有主動學習。

方式二 考查學習能力和團隊合作能力，討論出真知。討論的內容是教材中一部分章節，新知識。要求小組學習討論后，匯報根據學生準備情況以及答題情況給予打分。展演當天，講解結束后，教師給每個小組成員發一個與講解內容相關的題目，要求學生在20 分鐘內完成上交。由于每人題目都不一樣，以及有限的答題時間，這樣能檢測出學生是否都積極參與討論以及學生的團隊協作能力。

方式三 考查對問題的解決能力，有理有據撰寫論文。根據當今疫情情況，要求撰寫小論文。論文題目是：自學教材一部分內容后，通過互聯網查找資料。學生所在城市或省就新冠疫情在一段時間內的“死亡率”或“治愈率”與（1）國內非你的家鄉的省市相比較；（2）某國家或某市相比較。在這段時間的“死亡率”或“治愈率”，有無顯著的差異？

要求：以小論文的形式書寫。通過這種方式，使學生學以致用。有的學生論文按照論文基本格式撰寫的，寫得相當有水平。這幾種“考試”形式，在40 學時的班里采用過方式一和方式三，72 學時的班里采用過方式一和方式二，結果都很不錯，能起到客觀評價學生的作用。

（四）增加Excel 實踐課

盡管選用教材有SPSS 的實踐內容，但由于沒有實踐課時，學生無法上機操作。Excel 是一款辦公軟件，在生活學習當中應用極為普遍，其具有強大的統計數據處理數據的功能，一般電腦的office中都自帶，同時還有手機端的Excel，操作簡單方便，因此我們在平臺給學生提供了手機和電腦Excel的操作過程，并且設置4 學時，講解具體操作和練習。平時要求學生作業中用Excel 解題都要用Excel,這樣就增加了學生動手操作能力，達到知行合一。

（五）注重課程思政

上海大學的顧曉英教授指出強化德育意識，自覺且有效地實施課程思政，創新育人方法，使教育教學全過程育人有溫度、潤物細無聲[3]。上海大學的陸永生教授以水污染控制工程為例指出理工科課程思政的要點：注重科學思維方法的鍛煉和科技倫理的教育，培養學生探索未知，追求真理、攀登科學高峰的責任感和使命感，培養學生精益求精的大國工匠精神[4]。我們根據課程特點，在課程大綱和課件中加入了思政元素。

1.從數學文化入手，講解歷史人物的故事，使學生了解中國文化、世界文化的博大。講解二項分布時，大家對二項分布有一定了解，這時候可以指出二項分布名字的由來，是由于隨機變量取k 的概率就是二項展開式的通項公式，而通項公式的系數也可表示為楊輝三角或帕斯卡三角，在中國被稱為賈憲三角或楊輝三角。簡單講解楊輝三角，學生在中學階段是學習過的，因此可將知識點串聯起來。再簡單說一下楊輝三角的歷史。從楊輝編著的《詳解九章算法》（1261）中，記錄了最初的三角數陣是由北宋數學家賈憲發現，后來楊輝進行改進，就是今天看到的樣子。因為帕斯卡在1654 年也發現了這個結果，所以這樣的三角數陣也稱為帕斯卡三角形。通過介紹，增強了學生的民族自豪感，對中國古代文明的博大精深也有深刻的理解。尤其對留學生介紹這部分內容時，他們知道帕斯卡三角，當得知中國比歐洲早500 年發現時，我從學生的驚訝表情中，也深深體會到中華文明的偉大。

2.培養學生的理性思維，理清事件發生的來龍去脈，增強學生遇事分析能力。本課程的研究目的就是要通過隨機現象，抓住事物發生的本質規律。學習的過程就是對學生理性思維培養的過程。教學內容中的相關定理、性質，若證明過程簡單，啟發學生嘗試證明，而不是簡單地只給出公式定理。如講解事件的獨立性的性質“積事件的概率等于各事件的乘積”，要求學生把兩個事件和其對立事件的各種組合成的積事件的概率都寫出證明過程。在講解抽樣分布中的χ2分布、t分布、F分布的定義時，反復強調與標準正態分布的關系，講解假設檢驗時，反復講解選取的檢驗統計量的構成，以及與常見這三個分布的關系，給學生建立這些知識點間的根莖聯系，有利于學生把握知識間的脈絡。事件的發展注重因果關系的分析。講解全概率公式和逆概率公式時，由于針對的是復雜的兩階段事件求概率，需要把事情發生的因果都分析清楚。因此在分析“患病”與“檢查結果為陽性”的因果關系時，有的學生分不清楚。是從概率的角度看待問題，一個人生病或者不生病，正好就是兩個互斥的事件，也是對樣本空間的剖分，生病與否就是后面檢查結果為陽性的原因。把因果關系分析出來，就可以計算出檢查結果為陽性，真正患病或是沒有患病的概率。同時提醒大家，從概率和實際生活的角度遇到大病一定要冷靜，多去幾家醫院化驗看結果。

3.從培養數學思維入手，講述為人處事的方法。學以致用，培養學生用數學的觀點去思考和解決問題的能力。通過案例計算彩票的中大獎率低，可為什么現在總能聽到這樣的新聞，學生大多數都能回答出這個問題。講解逆概率公式，通過解題發現，生產產品占的份額越多，出現次品的概率也越大。這時PPT 提出，干活越多，出錯越多，你應該怎么做呢，這是個很尖銳的問題，還曾是公務員考試面試的題目。學生的反應相當積極，認為這種是不作為的思想。青少年更應給多參與、多做事，在這個過程中積極成長，增加才干，才能減少出錯率。

二、結束語

教無定法，教是一門藝術，也是一門技術，如何讓學生真正動起來，是值得教育工作者深入研究和探索的問題。