HPM視角下的項目化數學教學設計

李德虎 汪曉勤

【摘 要】HPM視角下“長方體直觀圖的畫法”的教學以“選美大賽—古書修訂—厚積薄發—建章立制—牛刀小試—畫龍點睛”為主線，重構式運用數學史，運用項目化學習理念創設情境，讓學生化身為小數學家進行“古書修訂”，在小組合作探究中討論制訂長方體直觀圖畫法的三條規則，形成“斜二測”畫法，再現了“斜二測”畫法誕生的過程。本節課是項目化學習與HPM視角下課堂教學相結合的一次嘗試。

【關鍵詞】HPM;“斜二測”畫法;項目化學習

【作者簡介】李德虎，上海市新楊中學科研處主任，高級教師，HPM工作室成員，主要從事初中數學教學研究;汪曉勤，華東師范大學教師教育學院教授、博士生導師，主要從事數學史與數學教育研究。

【基金項目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W重點研究基地之數學教育教學研究基地研究項目——數學課程與教學中落實立德樹人根本任務的研究（A8） “長方體直觀圖的畫法”是滬教版初中六年級數學教科書第八章“長方體的再認識”第2節的內容，學生在小學階段已經認識了長方體，會根據公式計算長方體、正方體的表面積和體積，對長方體的直觀圖也有初步的認識?！渡虾Ｊ兄行W數學課程標準（試行稿）》指出，學生要熟悉長方體直觀圖的某一種常用圖形，會畫長方體的直觀圖（采用“斜二測”畫法）[1]。本節課屬于立體幾何的啟蒙課，為學生后續學習長方體中棱與棱、棱與面和面與面的關系乃至高中立體幾何打下基礎。

在教學實踐中，教師通常直接告知學生長方體直觀圖的畫法，并帶領學生一起按步驟用“斜二測”畫法畫長方體，而對于為何要將上下底畫成一個內角為45°的平行四邊形且取寬為實際長度的一半，均不做說明[2]。在課堂上，學生難免會對“斜二測”畫法的規定產生疑問。鑒于此，我們希望從HPM的視角，重新設計“長方體直觀圖的畫法”教學內容，并付諸實施。本節課擬訂的教學目標如下。

（1）理解“斜二測”畫法的合理性，會用“斜二測”畫法畫長方體，培養學生初步的空間觀念和空間想象能力。

（2）經歷“斜二測”畫法的形成過程，體會其中的研究方法。

（3）對話歷史，提升學生數學學習的自信心，形成動態的數學觀，體會數學背后的理性精神。

一、數學史料及其運用

在16世紀的幾何書籍中，已經普遍使用平行四邊形來表示長方體的六個面，在1509年出版的《歐幾里得集》中[3]，長方體和正方體直觀圖的畫法如圖1所示。可見，當時人們已經采用斜投影畫法來畫長方體的直觀圖，其中平行四邊形的一個內角近似取45°，但寬并沒有取實際長度的一半。特別在正方體直觀圖中，長和寬保持兩兩相等關系，即上、下、左、右四個面為菱形。

書中還出現了一些錯誤的長方體直觀圖，如圖2所示。

1532年，法國數學家費奈烏斯（O.Finaeus）在《數學之源》[4]中給出的長方體畫法與《歐幾里得集》類似，將正方體的上、下、左、右四個面畫成菱形，如圖3所示。1564年，意大利數學家巴托利（C.Bartoli）在《測量之術》[5]中沿用了同樣的畫法，保留正方體長、寬和高的實際長度，看起來就像一般的長方體，如圖4所示。

直到17世紀，正方體的畫法有了明顯的改進，如1624年，意大利數學家博莫多羅（Pomodoro）在《實用幾何》中畫的正方體直觀圖就不再保持長和寬相同[6]，但是圖中的寬并沒有取實際長度的一半，而是取實際長度的23，如圖5所示。

到19世紀末，關于長方體直觀圖仍未有統一的規范畫法，例如1899年，米爾恩（W.J.Milne）在《平面與立體幾何》[7]中將上、下底面的寬取為實際長度的23，一個內角接近30°，如圖6所示。

可見，在將近400年的漫長時間里，數學教科書基本采用斜投影的軸測圖來畫長方體，但表示上下底面的平行四邊形的鄰邊大小關系和一個內角的大小并不統一，寬處于實際長度的13到實際長度相等之間，一個內角處于30°和60°之間。

直到1916年，美國數學家貝茨（W.Betz）和韋布（H.E.Webb）在其《立體幾何》[8]中給出了斜二軸測投影（簡稱“斜二測”畫法）的作圖法，作者稱這種投影是一種“令人滿意的投影方式”，如圖7所示。

數學史告訴我們，長方體直觀圖的“斜二測”畫法經歷了漫長的探索過程，其實是一種規則的制訂，是數學家在討論中“約定俗成”的。教師可以采用探究式教學法，讓學生在討論中形成畫法規則，重現“斜二測”畫法規則制訂過程，揭示學生畫法的歷史相似性。

二、教學設計與實施

根據數學史料，本節課教學設計運用項目化學習的理念，分為選美大賽、古書修訂、厚積薄發、建章立制、牛刀小試和畫龍點睛六個部分。以四本古書修訂為驅動性問題，引導學生小組探究，討論制訂長方體直觀圖的畫法規則，形成核心知識“斜二測”畫法。

課前，教師要求學生畫出邊長是3cm的正方體。教師在對學生的畫法進行分析后，發現大部分學生都是采用斜投影畫法，并得到相應的數據。

課上，教師首先播放HPM微視頻，介紹歷史上人們對長方體畫法的探索，其中包括中國古畫（宋徽宗《文會圖》）中桌子的畫法、達·芬奇繪畫作品中透視畫法等。本節課介紹的畫法為長方體直觀圖畫法的一種，如圖8所示，從而引入本節課的課題。

（一）選美大賽

教師讓每個小組的學生從各自小組作品中選出最美的一幅圖，再通過希沃投屏展示出來，如圖9所示。

師：下面請大家一起選一選哪一幅圖最美？

不同小組的學生表達了不同的看法。

師：為什么大家沒有形成統一的意見？

生：因為沒有評價的標準。

師：很好，那么這節課我們就一起來制訂這個“選美”標準。

【設計意圖】通過選美大賽，讓學生明白制訂長方體直觀圖畫法的必要性，為后面探究長方體“斜二測”畫法的三個規定做鋪墊。此外，部分學生的畫法和歷史上教科書的畫法也相似（如圖9c），揭示出學生長方體直觀圖畫法的歷史相似性。

（二）古書修訂

教師用PPT展示四本古書，如圖10所示，讓學生對照自己畫的正方體和古代數學家畫的正方體。

師：四本古書畫的都是邊長為3cm的正方體，但各不相同，請各位小數學家們幫忙修訂這四本古書，以便于后人閱讀。

【設計意圖】教師事先對史料進行整理，發現很多書籍中都涉及正方體的畫法但又不盡相同，所以截圖保存并縮放圖像，使每個正方體的長均為3cm，高也為3cm制成學習單（學生課前畫的正方體的直觀圖長和高均為3cm）。借助歷史相似性原則和項目化學習的理念，教師讓學生化身為修訂古書的數學家，在修訂古書的情境中展開探究式學習。

（三）厚積薄發

本環節主要學習平面的概念和表示法，以及長方體直觀圖的概念，為學生后續的學習探究做準備。

師：長方體有六個面，我們要研究長方體的直觀圖，首先來看看怎么畫平面。生活中有哪些實例給我們以平面的形象？

生：地面、黑板、桌面和平靜的湖面。

教師結合圖11介紹古代數學家對“平面”的定義。

師：數學中，平面是平的，無邊無沿，我們可以用一個平行四邊形來表示它。特別地，把水平放置的平面畫成一邊是水平位置，另一邊與水平線所成的角為45°的平行四邊形，如圖12，表示為平面ABCD或平面α。

師：我們把空間圖形畫在平面內，使得既富有立體感，又能表達出圖形主要部分的位置關系和度量關系的圖形叫直觀圖。

師：結合圖13，同學們想一想畫長方體直觀圖的關鍵是什么？

生1：斜著畫。

生2：調整長度。

【設計意圖】教師借助歷史上幾位數學家對“平面”的定義，引出平面畫法及表示法。同時，教師給學生補充直觀圖的概念，讓學生思考長方體直觀圖的兩個關鍵因素，為后面畫法規則的制訂提供依據。

（四）建章立制

教師出示圖10，要求學生借助直三角尺和量角器對學習單上四幅圖進行測量，并回答以下問題。

（1）正方體的邊長（長、寬、高）應畫為多少厘米？

（2）底面平行四邊形中的銳角取多少度？

（3）看不見的棱如何畫？

學生把研究結果投屏到屏幕上。教師歸納學生的討論結果：看不見的棱用虛線表示;關于底面平行四邊形中的銳角取多少度的問題，學生建議取45°比較方便;關于長和高大家都覺得應取3cm;關于寬應取的長度，學生主要有兩種意見，一部分學生認為應取實際寬的一半為1.5cm，另一部分學生認為應取2cm。

師：請大家想一想，如果老師給的正方體棱長是2.6cm，同學們覺得寬取多少才合適呢？

生：取一半，1.3cm比較好畫。

師：請同學再看一下課前你們畫的棱長為3cm的正方體的統計圖（如圖14和圖15所示）。

師生一起歸納畫長方體直觀圖的規則：（1）長方體直觀圖中，長和高不變，寬取實際長度的一半;（2）底面平行四邊形中的銳角取45°;（3）看不見的棱用虛線表示。

師：這種畫長方體直觀圖的方法我們稱為“斜二測”畫法。在中國古代，畫家通過實踐發現上述規則兼顧立體感和位置關系，是一種無意識的幾何實踐。數學家貝茨和韋布綜合前人的畫法稱“斜二測”畫法為“令人滿意的投影方式”。課后請大家根據我們制訂的“斜二測”畫法，在選出的五幅正方體直觀圖中選出最美的一幅，并在學習單上完成對四本古書的修訂。

教師用PPT展示宋徽宗的《文會圖》和《立體幾何》（1916年）中的正方體。

（五）牛刀小試

通過練習鞏固新知，學生掌握了本節課的重點——長方體直觀圖的畫法。在教師的引導下，學生完成以下任務：畫長4cm、寬3cm、高2cm的長方體ABCD-EFGH直觀圖。在課堂練習中，教師讓學生指出《歐幾里得集》中長方體存在的問題（如圖2）。

（六）畫龍點睛

師：通過本節課的學習，大家有什么收獲？

生1：我掌握了平面畫法和表示法。

生2：畫長方體直觀圖的時候，寬應取實際長度的一半，平行四邊形中的銳角應取45°。

生3：畫長方體直觀圖看不見的棱用虛線表示。

生4：“斜二測”畫法的規定是討論制訂的，既體現了圖形的立體感，又保持了位置關系和度量關系。

師：同學們說得很好，老師這里給出一個關鍵字：序，同學們有什么感悟？

生5：平面的表示字母要按照順時針或者逆時針順序。

生6：用“斜二測”畫法畫長方體要注意畫圖的順序。

師：對的，現實的世界本來是混沌無序的，數學學習就是幫助我們在無序的世界發現規律，建立規則或標準，這樣我們的世界將變得更加和諧。

教師通過課堂小結，點明了本節課的核心內容——“序”的建立，讓學生明白這個“序”，既包括平面和長方體表示法中字母之序、“斜二測”畫法之序，也包括長方體直觀圖畫法的形成之序。借助數學知識，學生理解了建立現實之“序”的意義。

三、學生反饋

基于本節課，筆者對班級學生進行了前測和后測。在前測中，筆者通過問卷調查了解到：96.4 的學生采用斜投影的軸測圖來畫棱長是3cm的正方體，3.6 的學生采用透視畫法;全班學生畫的長和高都取3cm，寬的取值和平行四邊形的夾角如圖14和圖15。43.9 的學生沒有畫被遮擋的三條棱，18.9 的學生用實線來畫被遮擋的三條棱，37.2 的學生用虛線來畫被遮擋的三條棱。可見，學生初步了解長方體的軸測圖畫法，但對于寬的取值、平行四邊形的夾角和如何處理被遮擋的三條棱沒有形成統一的意見。

在后測中，筆者對全班28名學生進行問卷調查，旨在了解學生對本節課教學的感想與建議。在問卷調查中，100 的學生能正確的采用“斜二測”畫法畫出棱長是3cm的正方體直觀圖，完成“古書修訂”任務。

學生關于這節課與平時課堂教學最大的不同感受統計如圖16所示。

關于數學史（“古書修訂”）有沒有幫助你理解“斜二測”畫法合理性的問題，96.4 的學生的回答是肯定的，學生認為“這些圖也體現了我們自己作圖的問題”“我們只有不斷和古書對比，才能研究出‘斜二測畫法”“通過古人不同的畫法擬定一個方便的值”“通過與古書對比，我發現‘斜二測畫法更容易畫且更美觀”“古書中的畫法為‘斜二測畫法奠定了基礎，‘斜二測畫法汲取了古書中畫法的優點”等。

在長方體“斜二測”畫法中，為什么寬要取原來長度的一半、平行四邊形一個夾角為什么畫成45°？學生的回答如圖17所示。

四、結語

從教師教的角度，本節課構建了三個層次：“就題論題”“就題論法”“就題論道”。（1）在“就題論題”的層面，本節課的核心是學會用“斜二測”畫法畫長方體的直觀圖。在教學中，教師通過板演，按照四個步驟引導學生一起畫圖，通過課后反饋發現，全班學生掌握了這種畫法。（2）在“就題論法”的層面，本節課借助項目化學習和數學史料構建情境，借助歷史相似性原則，讓學生一起討論制訂長方體直觀圖畫法的規則，真實還原“斜二測”畫法產生的過程。（3）在“就題論道”的層面，教師課前設計“選美大賽”和“古書修訂”兩個環節，引發學生對“選美標準”和“修訂規則”的制訂，進而形成三條規則，得出“斜二測”畫法，在最后的小結中，用一個“序”字結尾，使學生體會到數學學習讓“無序”的世界變得“有序”。

從學生學的角度，本節課踐行了數學教育家弗賴登塔爾的數學教學原則。課前學生的“數學現實”為會用斜投影法畫長方體直觀圖，但沒有形成“斜二測”畫法;教師從學生的“數學現實”出發，引導學生“數學化”活動體驗[9]，設置“選美大賽”和“修訂古書”兩個情境;通過合作探究引導學生進行“再創造”，制訂長方體直觀圖的畫法三條規則，形成“斜二測”畫法;整節課貫穿數學“思想實驗”原則，教師設置的大部分問題都是開放性問題，沒有固定的答案，實現了數學知識的自我構建。

本節課運用數學史重構式開展教學，讓學生經歷“斜二測”畫法的產生過程，構建了知識之諧;借助“古書修訂”任務驅動學生開展討論，營造了探究之樂;通過數學與藝術的聯系、長方體直觀圖選美的活動，展示了文化之魅;通過呈現古今長方體直觀圖畫法的演進，讓學生形成動態數學觀，達成德育之效。

此外，本節課融合HPM微視頻、希沃投屏等教育信息技術，帶動數學史內容的可視化呈現和情景創設，引發學生探究，是項目化學習與HPM視角下的課堂教學相結合的一次有益嘗試。

參考文獻：

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[5]BARTOLI C.Del modo di misvrare[M].Venetia：Per Francesco Franceschi Sanese，1564.

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[8]BETZ W，WEBB H E.Plane and solid geometry[M].Boston：Ginn & Company，1916.

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[10]汪曉勤.基于數學史的數學文化內涵課例分析[J].上海課程教學研究，2019（2）：37-43.

（責任編輯：陸順演）