在“容錯”中“融錯”

江蘇省啟東市久隆小學 葉冬梅

課堂是什么？我們通常的理解是“課堂是知識的誕生地”“課堂是學生思維的場域”等，這些都有道理。立足于學生的生命成長視野，筆者認為，課堂應當界定為學生“出錯的地方”。“犯錯”“出錯”是學生在課堂學習中最為真實的表現，是生態化的表現。對于學生的錯誤，教師要“寬容”，進而在“容錯”中化解、消融錯誤，這就是“融錯”。在“融錯”的視界中，錯誤是一種可貴的課程資源、素材，是活化學生思維的“催化劑”。認同錯誤在小學數學課堂中的地位與作用，實際上就開辟了一個新的教學空間，在這個教學空間里，數學知識不再是教學的唯一對象，學生在數學知識學習的過程中所產生的錯誤，是教師帶領學生探究數學規律、形成數學概念、提升數學學習品質的另一個重要載體。當然，對于這一載體的運用，還存在著兩個挑戰：一是教學理念上的，二是教學方法上的。教師在教學理念上必須認同錯誤作為課程資源的價值，在教學方法上必須智慧地將錯誤轉換為資源。一旦教師在理念上與方法上形成了面向“錯誤”的教學智慧，那教師的“容錯”就是可能的，“融錯”就是可實現的。

一、對待錯誤的態度——“容錯”

在數學教學中，我們發現許多教師和學生都害怕錯誤，更有個別教師將錯誤視為“老虎”，其實，這是對錯誤的一種偏見。美國著名數學教育家哈莫斯認為，“數學家的一個漏失或者誤述，往往正是數學家所需要發現真理的東西”。在數學教學中，教師要善于捕捉學生的錯誤，善待學生的錯誤，運用學生的錯誤，引導學生審視錯誤、反思錯誤，讓錯誤成為學生成長的動力。

比如，在教學“圓的面積”（蘇教版五年級下冊）時，學生遇到了一道“求圓環的面積”習題。絕大部分學生都是“循規蹈矩”，用大圓的面積減去小圓的面積，進而求出了圓環的面積，但也有個別學生“抄近路”“找捷徑”，用圓周率π 乘圓環寬度的平方。面對學生的錯誤，筆者一方面肯定學生的“求簡思路”，另一方面批評學生只是“大膽地假設”，而沒有“小心地驗證”。有了教師對學生的錯誤的寬容，學生自覺地進行驗證，從而發現了錯誤。不僅如此，筆者還引導學生對圓環的面積求法進行優化，從而讓學生建構出圓環面積的計算公式，即“S=π（R2-r2）”。面對新建構的公式，有學生展開了動態想象：如果圓環的內圓小到一個點，不就是圓心嗎？這時圓環就變成了圓。因而，學生普遍地認為，圓其實是一種特殊的圓環，圓的面積其實是圓環面積的一種特殊情況。正是借助于學生的“錯誤”，生成了課堂別樣的精彩。

從上面這樣一個例子當中可以發現，學生在學習某一個具體數學知識的時候，有可能出于不同的動機或心理而產生不同的學習路徑，在這個學習路徑當中，學生有可能會出錯。面對學生所出現的錯誤，教師的第一任務應當是分析學生為什么會出錯，也就是說去探究錯誤背后的原因。如果教師能夠做到這一點，那就意味著在發現學生錯誤的時候，教師就不再是簡單地責怪，而是理性地解析。這是作為一個小學數學教師應有的容錯態度，這也意味著教師應當認識到錯誤是學生數學學習的“路標”，是學生數學思維、探究的動力引擎。在數學教學中，教師要善于暴露學生的錯誤，顯現學生的錯誤，將學生的錯誤呈現于學生群體的眼光下，從而讓學生悟錯、識錯，由此成功化解學生的錯誤。

二、對待錯誤的方法——“融錯”

面對學生的錯誤，教師不能打壓、責罰，而應想方設法化解學生的錯誤，這就是“融錯”的藝術。心理學家蓋耶認為，“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最有效的學習時刻”。將錯誤作為課程資源，需要教師直面錯誤、分析錯誤，尤其是分析錯誤，更彰顯了教師的教學智慧。在教學中，教師要充分利用自我的已有知識經驗、策略、方式方法，引導學生化錯、消錯、融錯。

教學中，教師可以啟發、引導學生認識錯誤點；可以從另一個向度對學生旁敲側擊；可以將正確的答案告知學生，然后讓學生對準正確目標重新思考，等等。這些方式、方法，都能讓學生有效地反思錯誤、化解錯誤。

比如，教學“平行四邊形的面積”（蘇教版五年級上冊）時，有學生根據平行四邊形可以推拉成長方形，且平行四邊形的底相當于長方形的長、平行四邊形的斜邊相當于長方形的寬，而長方形的面積等于長乘寬，由此推導出平行四邊形的面積等于底乘斜邊。乍一看，這樣的邏輯推理似乎無懈可擊。為此，筆者這樣啟發、引導學生，讓學生反思錯誤：將平行四邊形的面積轉化成長方形的面積，要注意什么？一石激起千層浪，學生對錯誤展開深度思考，進而找出了錯誤的根源，即平行四邊形推拉成長方形的過程中，面積發生了變化，所以不能用“推拉法”來推導平行四邊形的面積。據此，學生再次展開推導，將平行四邊形用剪拼法轉化成長方形，進而推導出平行四邊形的面積。

“容錯”是對錯誤的一種態度，而“融錯”則是對錯誤的一種方法。在數學教學中，教師無須未雨綢繆、防患未然、防微杜漸，而應當讓學生的迷思概念、相異構想呈現出來，從而把脈學生的認知路向、認知動態。這實際上是一個將學生出錯的思路融合到正常的教學過程中的努力。這樣在面向學生的課堂教學中，對正確學習思路的建立與對錯誤學習思路的規避，就成為學生建構數學知識、形成數學能力的兩條主線。有了這兩條主線，課堂教學就會呈現出更加生態的一面，也只有把握了學生的錯誤發生的根源、樣態、成因等，才能有效地化錯。

三、對待錯誤的旨歸——“榮錯”

在數學教學中，教師要通過學生生成的錯誤，提升學生的獨創性經驗，通過分析學生的錯誤，提升學生的反思經驗。在數學教學中，要慶幸學生發生錯誤，要以學生的錯誤為榮，尤其是高質量的錯誤。其實，在學習中，“正確”往往只是一種模仿，而錯誤則包含著一定成分的創新。在犯錯的過程中，學生的認知得到提升，思想得到升華。在某種意義上，教師不僅要允許學生犯錯，更要創造機會、平臺讓學生犯錯，甚至面對錯誤，教師還要故意示弱，盡量讓學生化解錯誤。

在數學教學中，教師要善于放手，而不能始終牽著學生，更不能包辦代替。當學生犯錯時，教師可以這樣認為：促進學生成長的機會來了；當學生犯錯時，可以引導學生這樣想：幸好這個時候犯錯誤，否則錯誤還不知道要隱藏到什么時候呢！有了這樣的錯誤觀、錯誤意義觀、價值觀，學生就不再懼怕錯誤、逃避錯誤，而是能正視錯誤、沉思錯誤、考量錯誤、思考錯誤，進而探究錯誤。比如，教學“圓錐的體積”（蘇教版六年級下冊）時，學生在初始計算的時候，總是會忘記了乘三分之一；在已知體積、高求底面積或者已知體積、底面積求高的計算過程中，總是忘記除以三分之一。為此，我們多次提醒學生，并且引導學生反復經歷圓錐體積的探究過程，引導學生比較等底等高的圓柱和圓錐，從而讓學生認識到計算錯誤在于將圓錐視為了圓柱。通過“化錯”“融錯”，將學生的錯誤消除于萌芽狀態，從而讓學生能更為理性地解決問題，在犯錯的過程中不斷進步。

綜上所述，小學數學教學要理性面對學生的錯誤，要認識到對于學生來說，犯錯是成長過程中的一種“營養劑”，是不可回避、無法避免的，靈活、機動地處理錯誤，就能讓錯誤演繹成課堂中的精彩。在數學教學中，讓我們以“陽光的心態”來對待學生的錯誤，用放大鏡來尋找學生數學認知、思維的閃光點。只有這樣，錯誤對于學生數學學習力提升、數學核心素養發展、數學生命發展才具有生長的意義。