從芝諾悖論看極限理論存在的問題

四川省攀枝花市老年科技工作者協會 張喜安

教師對芝諾悖論對經典微積分的極限理論的正確性提出了疑問，為了探索上述問題，下面把與上述疑問密切相關的幾個問題敘述如下：

一、 芝諾悖論產生的原因

夏基松和鄭毓信在兩人合著的《西方數學哲學》一書中認為，對于芝諾悖論，黑格爾曾作過如下的分析：“量是分立（即離散——注）與連續兩者的單純統一，關于空間、時間、物質等無限可分的爭論或二律背反都可以歸結到這種性質里去。”（黑格爾邏輯學上卷，第199 頁即“這種二律背反完全在于分立和連續都同樣必須堅持。片面堅持分立，就是以無限的或絕對的已分之物，從而是以一個不可分物為根本，反之，片面堅持連續則是以無限可分性為根本，這正是芝諾關于阿基里斯的悖論的根源所在。” （黑格爾邏輯學上卷，第199 頁） “總之，黑格爾關于芝諾悖論的分析是正確的，它既不膚淺，也沒有過時。”

眾所周知，實數理論和極限理論是經典微積分的理論基礎。在實數理論中，連續性是實數理論的重要性質。實數的這種連續性被看作是絕對的，即實數不可能在具有連續性的同時還具有分立性，或者離散性。但是如果我們根據上面夏基松和鄭毓信關于芝諾悖論的觀點，實數的連續性和分立性必須同時承認，否則就是片面的，違背辯證法的觀點。因此在芝諾悖論中，用實數表示距離的時候，就是因為只承認距離的連續性而不承認距離同時也具有分立性才，產生了芝諾悖論。

如果按照夏基松和鄭毓信的觀點，從芝諾悖論和無窮小量的極限定義的關系來看，根據極限理論定義的無窮小量的定義存在悖論則是完全可以理解的。如果我們認為夏基松和鄭毓信關于芝諾悖論的看法是正確的，則經典微積分關于實數理論的連續性觀點就是片面的，這樣，不僅根據極限理論定義的無窮小量的定義存在悖論，而且導數的定義也存在問題了。也就是說，根據夏基松和鄭毓信關于芝諾悖論的觀點，經典微積分理論就有了疑問。

二、歐拉對經典微積分的無窮小量定義的否定

歐拉是歷史上成果最多的數學家，生前發表的著作和論文560 余種。美國數學家塞蒙斯提出：自1748 年以來，所有的微積分教材基本上都是抄襲歐拉的。

歐拉拒絕無窮小的概念，這里所謂的無窮小是指非零而又小于任何指定大小的量（即經典微積分使用極限理論定義的無窮小量）。在他1755 年的“原理”中提出：毫無疑問，任何一個量可以減小到完全消失得無影無蹤的程度，而一個無窮小量無非是一個正在消失的量，因而它本身就等于0。這與無窮小量的定義也是協調的，按照無窮小量的定義，它應小于任意指定的量；它無疑應當就是無，因為除非它等于0，否則總能給它指定一個和它相等的量，而這是與假設矛盾的。

歐拉上面的論述最可貴的地方是，他指出了經典微積分使用極限理論定義的無窮小量是自相矛盾的。如果根據歐拉的觀點，經典微積分使用極限理論定義的無窮小量是一個自相矛盾的命題，那么經典微積分使用極限理論定義的無窮小量本身就是一個悖論。

三、黑格爾對經典微積分的無窮小量定義的否定

有一些經典微積分的教科書把莊子的一句話“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”作為經典微積分的無窮小量的典型例子，但是不管取100 次、1000 次還是10000 次，每一次所得到的數都是一個有限的數，雖然數變得越來越小，但是本質上沒有變。對于這一點，黑格爾指出：“亞里士多德所引芝諾的話說得好，對于某物，只說一次，與永遠說它，都是一樣的。”黑格爾又說，這樣的無限進展并不是真正的無限，因為它仍然停留在有限之中。針對無限物，黑格爾認為，有限物超出自身，否定其否定，變為無限，仍是有限物的本性。對此，黑格爾給出了無限小量的定義：量的質的量的規定性就是無限小量。黑格爾關于無限小量的這個定義，充分體現了上述黑格爾關于無限物的觀點，雖然對于熟悉辯證法的人來說，上述黑格爾的無限小量的定義是可以理解的，但是要把這個定義清楚，并且應用它把微積分的理論表示出來，卻是一件很困難的事情。我的一篇即將發表的論文“從黑格爾的無限小定義看微積分存在的問題”對黑格爾的上述定義給出一些個人的理解與說明，感興趣的同志可以查閱，并歡迎批評指正。