指向運算能力的說理課堂“五環五有”探析
——以人教版小學三年級數學《多位數乘一位數筆算乘法》為例

張一平

（永泰縣教師進修學校，福建 永泰 350700）

運算能力是數學課程的核心素養之一，是操作能力與數學思維能力的有機結合，正確運算、理解算理、掌握算法為其三大表現特征。筆者在課堂教學主題調研和教學視導過程中發現，部分教師在計算教學時只關注學生算法訓練，學生“會算”“算對了”便“大功告成”，至于“為什么這么算”“最佳方法”等沒有成為他們的關注點。究其原因，是教師對算理理解重要性存在認知偏差，其自身算理指導能力也欠缺。知名學者曹培英認為，計算教學從記憶走向理解成為過去式，以理解促進記憶掌握才是現在進行時，符合低年級學生生理和心理發育規律。［1］

一、情境創設，讓說理課堂言之有“物”

心理學研究表明，情境可以賦予數字意義，使抽象的數字成為具體的“物”，即形成“學生自己的經驗”；離開了“物”，學生不太容易理解。《義務教育數學課程標準（2011 年版）》提出了“結合具體情境”的要求，力倡教師在數的運算教學中，引導學生借助自身原有經驗，將數的運算與之緊密結合，為理解并掌握數的運算提供“物”的基礎。

創設說理課堂情境必須是基于學生現有認知的情境，避免“陌生”“繁雜”“拔高”的情境給學生“下馬威”；必須是具體情境中的感性經驗，讓學生的思維率先“從具體到抽象”的正向聯系，避免思維率先“從抽象回到具體”的逆向聯系。

例如，在“復習引入”時以運動會入場式場景為情境。在“探究新知”時創設的情境是：后勤組同學為運動員們購買了3 箱礦泉水，每箱12 瓶，后勤組購買了多少瓶水？在“綜合應用”時創設的情境是：超市里筆盒19 元、羽毛球拍31 元、水彩筆22 元、書包42元。張老師帶了89 元錢準備買4 個同樣的獎品，獎勵給表現最出色的4 位同學，她可能買什么作為獎品？本節課以學校運動會為主線，把“多位數乘一位數”的計算教學以問題的形式，巧妙地融入具體的情境之中。讓學生的已有知識經驗與生活情境緊密聯系，為計算說理打下“物”的基礎。

二、理解算理，讓說理課堂言之有“理”

鑒于小學生仍處在具體運算階段，若直接用數學符號和語言符號解釋算理尚有困難，需要借力感性材料的支持。其中，三年級學生處于運算法則描述階段，注重經驗積累，必須讓知識由形轉數，理解算理。教師必須運用教具、語言和符號等進行多元表征，促成在直觀中理解算理。從知識的理解看，在原有計算經驗的基礎上，歷經“乘法的意義”“計數的方法”“位值制”由淺入深的過程；從思維發展看，遵循從“具體形象”到“半抽象”，再到“抽象”逐級遞進的過程。

以教學“12×3”為例：借助鉛筆（含小橡皮筋）、計數器、語言、符號等表征，分別按照具體形象地理解算理、半抽象地理解算理、抽象地理解算理等三個層次，依次層層深入，幫助學生理解算理。首先，借助鉛筆操作，將數字的拆分與不同計數單位的鉛筆一一對應，幫助學生在頭腦中形成表象，從乘法的意義上理解算理。其次，在計數器的十位上撥3 個珠子，表示10×3，在個位上撥3 個2，表示2×3；將數字的拆分與不同計數單位的珠子一一對應，從計數方法上理解算理。再次，用語言和符號抽象表述，把豎式計算過程與鉛筆、計數器的操作過程一一對應，將動作表征與符號表征緊密結合，讓學生理解“乘法運算是計數單位與計數單位的個數相乘”［2］，實現從“位值制”角度理解算理，促進其向抽象思維水平發展。

三、意義內化，讓說理課堂言之有“悟”

知識的傳遞與獲得，是由學習者自己決定與構建的。從學習構建過程角度看，學生要立足自己已有的經驗對新知識建立初步的認識，再理清知識之間的內在聯系，最后抽象和總結知識的內在本質特征，實現“個性化的理解”，達到意義內化。教師可以通過多元表征的表象形成，建構關系，抽象概括，讓學生對算理的意義理解由淺入深，悟出本質，達到深度內化。

在“12×3”教學過程中，教師通過三個步驟，讓學生在感悟中實現意義內化。首先，形成表象，初次內化。教師通過鉛筆的直觀操作、數字的分拆、計數器的演示、豎式計算等多元表征幫助學生理解算理，在頭腦中形成表象，達到初次內化。其次，建構關系，二次內化。將上述四種不同的表征進行關系比較，發現鉛筆的直觀操作與數字的分拆就是“形”與“式”的關系；計數器的“形”的演示與豎式計算的“式”也存在對應關系。這樣，在不同表征之間進行“形”與“式”的關系建構，達到二次內化。再次，抽象概括，深度內化。數學知識是系統的、整體的，從上述四種計算方法中抽象概括出算理的本質，讓學生領悟算法不同但算理一樣，達到深度內化。

四、精準表達，讓說理課堂言之有“序”

學生的認知結構天然具有差異性，不同學生對同一個問題的理解是不同的。如果要讓學生更加全面地理解知識，就要讓學生跳出自己原有的認知體系，與同伴交流，相互了解，交換彼此的見解。因此，教師要給予學生觀察、操作、思考、交流的平臺，給學生充分表達和交流自己想法的機會，并在此過程中“修正”自己的理解。學生能否對算理作精準表達，是學生對算理是否理解的外在表現。

在“12×3”教學過程中，精心實施這三個步驟：一是讓學生通過對鉛筆、計數器等實踐操作，獲得對算法與算理的體驗。本實操包括鉛筆操作促成生活經驗表達、計數器操作促成數形結合表達、豎式分步演算促成數學化抽象表達等內容，結合操作內容說算理，力爭每一項內容都心中有“理”。二是引導學生在小組內傾聽同伴的觀點，做好修正自己或說服同伴的準備，對不同觀點提出質疑，并說出論據，做到言之有“據”；引導學生停止與本話題無關的“說理”發言，適時“糾錯”。三是在全班分享交流發言時，要求做到同伴說過的不重復，并整合同伴的觀點，完善自己的觀點，讓說理“整體化”。學生經歷有理、有據、有序地說理，其精準表達能力在不斷滋養。

五、合理應用，讓說理課堂言之有“法”

新課程理念要求學生不僅要計算正確、理解算理，還要追求方法的合理性、簡潔性。合理應用是讓學生通過對“信息的挖掘、問題的定向、方法的選擇、過程的簡化及自覺的評價”［2］等一系列步驟進行應用，可見，合理應用不是簡單地回顧或重復，不是單純的數字操作，而是學生理解算理后對計算方法與策略的個性化選擇，是學生對學習活動過程的反向思考。這樣，追求計算方法的合理、簡潔，是說理課堂走向優化的高階目標，可以在課內外習題中得以強化運用與檢驗。

譬如，本節課教師設計了利于“算理應用”的習題：超市里每個筆盒19 元、羽毛球拍31 元、水彩筆22元、書包42 元。張老師準備買4 個同樣的獎品，獎勵給運動會表現最突出的4 位同學。如果她帶了89元，她可能買什么作為獎品？面對“張老師可能買什么作為獎品”這個問題，不同的學生信息處理能力不同，對具體問題的定向也不同。學生根據個體的運算能力，分別選擇估算、精算等算法，個性化地解決問題。此后，學生通過“說理”闡明各自計算方法的合理性；教師引導學生對比、分析，對計算過程進行優化。這樣，計算教學從過去的關注技能和技巧，拓展到現在強調計算過程的數學思考，從過去單一的計算范疇拓展到現在尋求合理簡潔的運算途徑。