從學生的一個極值問題引發的思考

鐘宏亮

問題設函數f（x）在 上可導，其導函數為f′（x），且函數g（x）=xf′（x）的圖像如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）

A.f（x）有兩個極值點B.f（-2）為函數的極大值

C.f（x）有兩個極小值D.f（-1）為f（x）的極小值

書中的解析：由題圖知，當x∈（-∞，-2）時，g（x）>0，∴f′（x）<0，當x∈（-2，0）時，g（x）<0，∴f′（x）>0，當x∈（0，1）時，g（x）<0，∴f′（x）<0，當x∈（1，+∞）時，g（x）>0，∴f′（x）>0.∴f（x）在（-∞，-2），（0，1）上是減少的，在（-2，0），（1，+∞）上是增加的.故ABD錯誤，C正確。

反思：感覺書中的解析好像有道理，但問題是選項A為何不對？一時卻較難解釋清楚。

事實上，由g（x）=xf′（x），得g（0）=0×f′（0）=0，故本題圖像顯然不對。

那么，如何構造一個在 上可導且滿足題意的函數f（x）呢？

因為函數g（x）的零點除了-2，1，還應該有0，于是我們不妨構造函數g（x）=x2（x+2）（x-1），其圖像如下：

由g（x）=xf′（x），得xf′（x）=x2（x+2）（x-1），不妨取f′（x）=x（x+2）（x-1），取f（x）=14x4+13x3-x2，此時函數f（x）在 上可導且有三個極值點，故知選項A不正確。

注意：同學們平時做題的時候不應僅僅滿足選對了答案，而應弄明白每一個選項對或錯的原因，多體會出題老師的意圖，思考題目考察了哪些知識點，滲透了哪些數學思想方法等等，若能長期這樣堅持就一定會事半功倍，快速進步.

下面舉幾個典型易錯的極值問題供同學們探究：

例1設函數f（x）在 上可導，其導函數為f′（x），且函數y=（1-x）f′（x）的圖像如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）

A.函數f（x）有極大值f（2）和極小值f（1）

B.函數f（x）有極大值f（-2）和極小值f（1）

C.函數f（x）有極大值f（2）和極小值f（-2）

D.函數f（x）有極大值f（-2）和極小值f（2）

解析：由題圖可知，當x<-2時，f′（x）>0;當-2<x<1時，f′（x）<0;當1<x<2時，f′（x）<0;當x>2時，f′（x）>0.由此可以得到函數f（x）在x=-2處取得極大值，在x=2處取得極小值，故選D。

反思：如何弄明白x=1處的情況呢？我們令g（x）=（1-x）f′（x），則g（1）=0×f′（1）=0，因為函數f（x）在 上可導，所以f′（1）存在，若f′（1）≠0，則x=1不是極值點;若f′（1）=0，由于x （-2，1） （1，2）時f′（x）<0，則x=1不是極值點，所以不管f′（1）是否為0，x=1都不會成為函數f（x）的極值點。

例2若函數y=f（x）存在n-1（n∈ ）個極值點，則稱y=f（x）為n折函數，例如f（x）=x2為2折函數.已知函數f（x）=（x+1）ex-x（x+2）2，則f（x）為（）

A.2折函數B.3折函數

C.4折函數D.5折函數

解析：f′（x）=（x+2）ex-（x+2）（3x+2）=（x+2）·（ex-3x-2），令f′（x）=0，得x=-2或ex=3x+2。

令m（x）=ex，n（x）=3x+2，易知m（x）=ex與n（x）=3x+2有兩個交點。又e-2≠3×（-2）+2=-4，即m（-2）≠n（-2）。所以函數y=f（x）有3個極值點，則f（x）為4折函數，故選C。

反思：在由f′（x）=0的根確定極值點的時候，要注意考慮有重根的情況，比如本題檢驗知m（-2）≠n（-2）就說明方程ex=3x+2的根不可能為-2，從而說明函數y=f（x）有3個極值點。

例3函數 極值點的個數為____.

解析：函數 的定義域為 ， （ ），由 ，得 ，當 時， ， 單調遞增;當 時， ， 單調遞減;當 時， ， 單調遞增;又 ，從而 是函數 的極大值點， 是函數 的極小值點，故函數 有兩個極值點。

反思：本題由于函數 在x=0處導數不存在，同學們容易錯誤判斷只有一個極值點，事實上，導數f′（x）不存在的點也可能成為函數f（x）的極值點。

最后，同學們在使用各種參考書的時候，不一定要完全信書，大家可以提出自己的見解并多和同學、老師交流討論，這樣收獲一定會更大的。