算思并行：運算單元整體教學的思考與策略

文|徐丹紅 徐曉良

細研《數(shù)學課程標準（2011年版）》，我們發(fā)現(xiàn)從計算能力到運算能力，不只是換了名稱，而是從核心素養(yǎng)的高度進行了重新定位，內(nèi)涵和外延都發(fā)生了變化：運算能力不等同于“計算能力”，不再是單純的“能計算”“會計算”。運算能力是一種綜合能力的體現(xiàn)，是運算技能與邏輯思維能力等的一種獨特的結合。其主要的表現(xiàn)是：正確運算、理解算理、方法合理。也就是說能正確計算只是運算能力培養(yǎng)的基礎，同時要理解計算過程中方法后面隱含的算理，最終達到能靈活選擇計算策略解決問題的目的，所以運算能力也是一種高階能力。

一、以測觀能：學生運算能力現(xiàn)狀分析

通過對四年級學生運算能力的測試，發(fā)現(xiàn)學生單項計算類題型正確率較高，基本算法和算理掌握得較好。但當計算與其他知識融合進行綜合考查時，正確率就明顯下降。問題主要集中在以下幾個方面：一是數(shù)據(jù)敏感程度較低：只計算不觀察，無數(shù)據(jù)分析意識。二是算理深度理解不夠：知技能不明理，無深度理解能力。三是算法靈活選擇缺乏：無要求不選擇，無策略選擇習慣。四是運算綜合能力薄弱：單計算不相聯(lián)，無溝通運用思維。

二、以生思行：教師運算教學問題思考

1.計算教學“獨立化”，不利于學生理解能力和選擇能力的培養(yǎng)。

無論是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)的運算教學，教材均將其清晰地分為口算、估算、筆算、簡算進行獨立編排，以便讓學生清晰地掌握每一板塊的知識。但教材的獨立編排并不意味著教學也是獨立的，特別是面對學生單一能力強、綜合能力弱的情況，教師更應做到知識間的融通。

2.難度設置“小步化”，不利于學生遷移能力和推理能力的形成。

通過課堂我們發(fā)現(xiàn)：運算教學中教師將知識點分解太細，難度設置太小步化。這樣于一節(jié)課的教學而言，容易出現(xiàn)思維的斷層，學生難以形成整體性思考；于單元教學內(nèi)容而言，分割細、課時多，容易形成枯燥、乏味、課與課之間缺乏溝通和聯(lián)系的情況，使得學生遷移、推理能力的形成難度較高。

3.教學目標“單一化”，不利于學生觀察能力和分析能力的養(yǎng)成。

由于教師對運算能力的理解單一，在設計運算內(nèi)容的教學時，常常只將“能算、會算”作為教學的單一目標，忽視了數(shù)據(jù)的觀察、分析能力，影響了學生依據(jù)數(shù)據(jù)分析選擇算法等一系列能力的養(yǎng)成。

4.練習設計“固定化”，不利于學生綜合運用能力的提升。

練習設計形式固化，口算、筆算、遞等式計算……各項練習均有明確的題目要求，“根據(jù)題目要求選擇方法”而不是“根據(jù)實際需求選擇方法”。練習設計內(nèi)容固化，不能通過一道練習聯(lián)系起學生多方面的知識與能力。將“正確計算”作為運算練習的主要指標，而沒有將練習的過程進行綜合評價，不利于學生綜合運用能力的提升。

三、以問擬策：算思并行的單元整體教學

史寧中教授提出運算教學的過程也是推理能力不斷形成的過程。其實，運算的教學不可能、也不應該只是單一的“算”的過程，而同時也應該是“思”的過程。從單元視角整體把握教學，將運算思維能力的培養(yǎng)融合于每一節(jié)課、每一次運算中，以達到計算技能和思維能力培養(yǎng)的雙贏，真正提升學生的運算能力。

1.理法融通，整體架構教學內(nèi)容，凸顯運算本質(zhì)。

熟練基本口算、掌握算法、理解算理，才能靈活選擇運算的策略。深刻算理理解是熟練掌握算法的基礎，靈活選擇算法的保障，以理入法，才能更好掌握運算的本質(zhì)。那么，如何在教學中讓“理”更深入，“法”更靈活，理法融通，進而提升運算思維能力呢？

（1）種子課，建立整體感知。

運算教學與其他教學內(nèi)容一樣，并不是散點式的存在，內(nèi)在的融通、整體的感知是溝通理法、靈活運算、提升能力的前提。如《有余數(shù)的除法》是表內(nèi)除法與除數(shù)是兩位數(shù)的除法的承接課，一是完善表內(nèi)除法中的認知結構；二是為除數(shù)是兩位數(shù)的除法打基礎。以下是《有余數(shù)除法》的教學內(nèi)容安排：

例題具體內(nèi)容例1余數(shù)及有余數(shù)的除法的含義例2余數(shù)和除數(shù)的關系例3有余數(shù)的除法豎式和表內(nèi)除法的豎式例4試商例5解決簡單生活問題，并用“進一法”確定答案例6解決與按規(guī)律排列有關的問題

在本單元的教學中，從例1 至例3，教材都是以“提供直觀圖，圈一圈”的形式呈現(xiàn)，所以學生的學習會遇到兩大難題：一是豎式的學習，余數(shù)的得出都可以通過“圈”而獲得，那么對于豎式本身的作用以及豎式中“商與除數(shù)的乘積”的含義理解就存在困難；二是試商，前面的教學只有“圈”出商和余數(shù)，試商自然也就存在困難。因此，我們整合單元教學內(nèi)容，確定了第一課時的教學內(nèi)容：在“正好分完”和“有剩余”的對比中認識余數(shù)和有余數(shù)除法；在“分物中怎么知道余幾”的問題探尋中知道可以借助畫圖法，也可以采用口訣法；在口訣法中滲透試商，并初步引出豎式的表征。

在這樣的整體架構中，讓學生感知到：分物可能分完，也可能有剩余。找到余幾可以實際操作分一分，也可以借助前面的乘法口訣幫助尋找。而借助口訣法雖快但表征麻煩，因此產(chǎn)生了豎式。作為單元的起始課，為整個單元所學的新知進行了整體的鋪墊，打通了知識學習的脈絡，增強了后續(xù)知識學習的驅(qū)動性。

（2）疑難課，逐步滲透算理。

無論是算法還是算理的教學，大多數(shù)教師的重心都放在了筆算教學中，而筆算的教學更多的是要依賴口算算理的學習，它是口算過程的記錄和體現(xiàn)。所以筆者認為算理的理解更應該從口算開始，重視、加強口算算理，逐步滲透、分解算理的難點，為筆算做好扎實的鋪墊。

如《除數(shù)是一位數(shù)的除法》前5 節(jié)課的內(nèi)容安排如下表：

口算除法內(nèi)容具體安排例1：一位數(shù)除整十、整百、整千數(shù)例2：一位數(shù)除幾百幾十（幾千幾百）例3：一位數(shù)除兩位數(shù)（每一位都能除盡）被除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法例1：首位能除盡例2：首位不能除盡、驗算

筆算除法例1、例2 是本單元教學過程中的一個難點，學生的難點有二：一是格式上的難，第一次出現(xiàn)商是兩位數(shù)的筆算除法，學生往往一次性得到結果；二是算理上的難，能算出結果但沒有清晰的算理，也不能將算理和筆算過程較好地進行匹配。前面雖已完成口算除法例1～例3 的教學，但沒有為筆算做好足夠的鋪墊。因而在整合前面3 道口算例題教學之后，我們新增加了“口算42÷3”的教學。

筆算的算理不是隨著筆算的產(chǎn)生而產(chǎn)生的，始于口算，直觀體現(xiàn)于筆算。將算理的教學前置于口算教學中，可以分散難點，能更“集中精力”理解算理，逐步滲透和強化算理。

（3）算理課，強化多元表征。

三年級下冊《口算除法》片斷：

例1：把60 張彩色手工紙平均分給3 人，每人得到多少張？

列式解決說算法。絕大多數(shù)學生的計算方法都是60÷3，先不看60 后面的0，計算6÷3=2，再在結果中補上0。但為什么這樣算很少有學生能說清，于是將問題集中到：為什么“0”可以不看？你能不能用自己的方式說明理由。

生3：把60 張看成6 個十÷3=2 個十，就是20。

在學生表征的基礎上，教師順勢引導：無論上面哪種方式，我們都把60 看成了6 個十。

6÷3=2，6（個十）÷3=2（個十），利用6（）÷3=2（）還能計算哪些題？

用多種方式表征算理，將說不清道不明的算理直觀地呈現(xiàn)在學生面前，不僅能更清晰地理解算理，同時以一題推一類，建立了整十數(shù)、整百數(shù)……除以一位數(shù)的模型。

其實算理的表征方式有多種，如以12×14 為例：

算式表征：“10 個14”+“2 個14”。

基于學生的認知水平，鼓勵學生用多元的方式表征數(shù)學知識。不同的表征帶給學生不同的感官刺激，借用多種表征，調(diào)動學生多感官參與，在講清算理的同時也讓算理的表象更深刻。

（4）算法課，放慢優(yōu)化腳步。

算法的多樣化與優(yōu)化是計算教學的一部分，算法的優(yōu)化不僅是技能的熟練與提升，同時也是算理強化的過程。但是很多課堂教學在做優(yōu)化時過于著急和匆忙，如筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)14×12 的教學：

我們的教學需要算法的優(yōu)化過程，在對比中優(yōu)化，在優(yōu)化中提升。但算法的優(yōu)化是要在學生具有一定體驗的基礎上進行的，否則很容易演變成對優(yōu)化方法的機械記憶和產(chǎn)生“優(yōu)化方法不理解、自己方法不敢用”的現(xiàn)象。

放慢算法的優(yōu)化過程，不是提倡不優(yōu)化，而是為優(yōu)化做更充分的體驗和鋪墊，給學生細細領悟算理的一個過程，讓學生明白優(yōu)化背后的緣由。

2.算思并舉，基于目標設計練習，提升運算能力。

運算能力的提升，練習是必不可少的一個環(huán)節(jié)。設計帶有不同功能和形式的運算練習，并且以練習形式的改變助推教師評價方式的改變，進而達到以練習助推學生運算思維能力提升的目的。

（1）設計專項性練習，培養(yǎng)數(shù)據(jù)觀察意識。

整體觀察數(shù)據(jù)的意識是能靈活選擇計算策略的基礎，僅憑教師的“先觀察、后計算”口號是不夠的，需要設計專項性的練習來“迫使”學生進行數(shù)據(jù)的觀察。

如在四年級學習了運算定律后設計這樣的練習：

選擇兩個或兩個以上的數(shù)組成能簡便計算的式子（至少寫兩個）。

59 1200 8 41 25

在五年級學習了小數(shù)乘除法后設計這樣的練習：

如下圖，第一塊地和第二塊地的面積之和，比第三塊地大多少平方米？

在六年級綜合練習中設計這樣的限時口算練習：

四年級從做簡便計算到寫能簡算的式子，除了考查學生運算定律的掌握情況外，更需要學生專注于數(shù)據(jù)本身，觀察數(shù)據(jù)的特點；五年級在對比中發(fā)現(xiàn)不先觀察數(shù)據(jù)只能“傻傻地算”；六年級在限時口算中感受到觀察數(shù)據(jù)在計算中的重要性。這樣的數(shù)據(jù)觀察的“專項性練習”，可以逐步改變學生由“拿到就算”向“先看后算”轉(zhuǎn)換。

（2）設計引導性練習，培養(yǎng)估算策略意識。

估算一方面應用于生活，以簡單解決生活中不需要精確計算的問題；一方面也可應用于數(shù)學學習，以純數(shù)學估算解決檢驗、結果范圍等問題。

如二年級學習萬以內(nèi)數(shù)的認識后會出現(xiàn)這樣的練習：

光明小學一年級有學生612 人，二年級有學生595 人，三年級有407 人，報告廳有1500 個座位。三個年級的學生同時去報告廳，能坐得下嗎？

單純地從數(shù)的角度而言612+595+407 估成600+600+400 是非常合理的，但在應用于本題時這樣的估算方法是解決不了問題的，所以估算并不是難在方法上。本題需要將三個數(shù)都估小，特別是595 估成500，然后再和總數(shù)進行比較。明明靠近600 的數(shù)根據(jù)解決問題的需要卻要估成500？估出來的結果與1500 又如何進行比較？這就是估算的“難”。這樣的難往往會讓學生逃避估算而選擇精算。因此需要利用一些“引導性”的練習，讓學生不得不進行估算，如：

1○電影院有1100 個座位，光明小學的老師準備帶一、二年級的學生去看電影，一年級有600 多人，二年級有500 多人，兩個年級的學生同時去，座位夠嗎？

2○電影院有1300 個座位，光明小學的老師準備帶一、二年級的學生去看電影，一年級有600 多人，二年級有500 多人，兩個年級的學生同時去，座位夠嗎？

剛開始仍舊有學生會選擇假設一個數(shù)進行計算，但在對比引導中發(fā)現(xiàn)無論多多少人，第一小題都估小、第二小題都估大就能解決問題。

設置這樣引導性的練習，逼迫學生進行估算，在無法精算的情況下體會估算的便捷，學習估算的策略，提高估算的意識。

（3）設計過程性練習，培養(yǎng)靈活應用意識。

在日常的批改作業(yè)中，對于計算教師常常會有這樣的感覺：簡便計算時我們常常會關注計算的過程、簡便方法運用是否得當，而對于其余的口算、筆算，教師更多的只是看結果是否正確。結果是重要，但也要關注結果的得出過程。

如二年級學習了表內(nèi)乘法后設計這樣的口算題：

7×5+5=（ ）×（ ）= 3+2+1+3=（ ）×（ ）=

三年級學習了口算除法后設計這樣的題型：

四年級學習了筆算三位數(shù)乘兩位數(shù)后設計這樣的練習：

計算“145×67”，數(shù)字“4”ד7”表示的實際大小是（ ）。

A．2.8 B．28 C．280 D．2800

二年級的學生如果能將7×5+5 想成8×5 進行計算，3+2+1+3 想成3×3 進行計算，三年級的學生如果能逆向推算出兩步所解決的口算問題，四年級的學生如果能將“4”ד7”的含義清晰表達，都是進一步深入理解算理并在此基礎上靈活應用算理的表現(xiàn)。如果只是為了得到上述題目的結果，看看結果是否正確就一批而過，就會與這些精彩的想法失之交臂。

這樣“過程性的練習”不以計算結果作為計算教學的唯一標準。善于關注過程、評價過程，也就是更加關注了學生本身、關注了學生的思維，不僅能讓教師更多地抓住引導的契機，也能轉(zhuǎn)變學生對于計算“枯燥”“只要算出結果”的想法。

（4）設計多元化練習，培養(yǎng)方法選擇意識。

在關注過程性練習、引導性練習的同時，也要改單一指向練習為多元化練習，指向多種方法的選擇、指向多種能力的培養(yǎng)……多角度的練習形式，才能給予學生多角度的培養(yǎng)。

在四年級可以設計這樣的解決問題練習：

李叔叔的文具店購買24 包新筆記本，成本價是39 元/包，準備800 元夠嗎？每包12 本，現(xiàn)以每本4 元出售，這批筆記本一共能賣多少元？

第一問是直接利用估算就能解決的，而第二問則需要精確計算。讓學生以題目的需求和“哪種方法能更快更好解決問題”為標準選擇合適的算法，而不是將“大約”“大概”等字、詞作為選擇的標準。

讓這樣的習題變?yōu)檎n堂練習的“常客”，倡導學生去靈活選擇，改變計算只是一種技能的觀念。有思維了、有挑戰(zhàn)了，也就有趣了，學生也就慢慢有了這樣自主選擇的意識。