優化單元結構促進深度遷移
——以《兩位數乘兩位數》單元為例

文|楊明嵐

“單元”是教師進行教學的基本單位。數學單元教學都是由多個具有內在聯系的知識點組成的。用系統論的觀點看，它是一個有機的整體，不是各個部分的機械組合或簡單相加。在核心素養視域下，若只關注教材單個課時的內容與細節，而忽視對單元內容的整體把握，學生的思維就會變得簡單和碎片化。關注單元的整體性，將數學結構與學生認知有效鏈接，才能讓學習深度發生。那么，在單元教學中我們應該如何基于學生現實，優化教材結構，促進深度遷移呢？本文以《兩位數乘兩位數》教學為例做一些探討。

一、基于學科邏輯，“思”整合切入點

1.從教材角度分析。

研讀教材，《兩位數乘兩位數》教學單元學習采用“口算乘法（進位和不進位）、兩位數乘兩位數筆算（不進位、進位）、解決問題（連乘、連除）”的單元學習活動序列。本單元的教學重點是探究“兩位數乘兩位數”的筆算算理和算法。在實際教學中我們發現“兩位數乘兩位數”和“三位數乘兩位數”的算理算法是相通的，乘法教學的內隱思想是轉化，其原理是拆分，拆分成幾步積，再求其和，這也正是后續乘法分配律的核心，也是整個單元教學的內核。從知識間的前后聯系可以看出“兩位數乘兩位數”是學習整數乘法的一個轉折點，也是一個關鍵期，乘法豎式的樣子從以前的“一層”跨入了“二層”，而筆算乘法的本質就是計數單位的累加，筆算乘法就是拆分成幾個幾、幾十個幾、幾百個幾……及其和用豎式加以外顯記錄，因此本單元的豎式計算可以遷移至“三位數乘兩位數”，增加學生學習的挑戰性。

2.從學生角度分析。

如何整合？我們除了分析教材，還要研究學情。教師最需要了解的是：學生在學習這個單元之前，已有了什么？還缺什么？需要拓展提升什么？如何依據學生單元學習實際整合設計教學，讓教師的“教”與學生的“學”真正發生？

學生之前已經學習了《多位數乘一位數》，能否將之前對乘法豎式的經驗遷移到本單元，為了更精準地了解學生的認知起點，我們做了一次教學前測——嘗試用你的方法計算下面5 道題（畫一畫、寫一寫、算一算）：

15×3 150×3 15×30 12×14 48×37

結合調查問卷、訪談，通過數據分析我們發現：首先，學生對“整數乘法”有著較高的學習起點。學生對“兩位數乘兩位數”的相關學習方法、現實經驗有豐富的認知儲備。其次，部分學生只關注計算“結果”，忽視“過程”。部分學生受多位數乘一位數筆算豎式及加法豎式“一層”負遷移，“知道”豎式的結果，卻不能正確表征過程。還有部分學生出現對第二部分積的書寫位置錯誤及漏乘現象。因此，本單元教學強調算理的理解需要與直觀具體結合，幫助學生理解每一步積的意義，從而真正掌握豎式的算法和寫法。

二、基于單元整體，“布”整合思路

基于以上分析，在實踐教學過程中，我們將部分內容進行了整合，并對教材做了相應的拓展補充。

1.設定單元活動學習模塊。

“兩位數乘兩位數”學習的重要基礎內容有：“乘法的意義”“表內乘法”（二年級第一學期）和“多位數乘一位數”（三年級第一學期）。要具體展開的新內容線索如下：“口算乘法”“看圖計算（橫式計算）”“筆算乘法（不進位與進位的豎式計算）”“找規律（兩位數乘兩位數拓展）”“連乘、連除解決問題”。

2.重設單元活動學習目標。

進行本單元活動群的設計時，不是簡單地將教材原先編排的單元課時內容進行簡單疊加，我們在整體遵循教材編排的同時，重新整合設計了各學習主題活動，讓各活動間相互承接、有機融合。如本單元，我們設計了如下活動內容及目標：活動一，兩位數乘兩位數（口算）。掌握兩位數、幾百幾十數乘一位數的口算乘法及兩位數乘整十、整百數?；顒佣?，看圖計算。借助點子圖探究兩位數乘兩位數的算理和算法?；顒尤辔粩党藘晌粩档墓P算。理解兩位數乘兩位數（不進位和進位）和三位數乘兩位數的算理，掌握多位數乘兩位數的筆算算法?；顒铀?，找規律（兩位數乘兩位數拓展）。探究兩位數乘兩位數中存在的規律和算理，體驗乘法計算的內在原理?；顒游?、六，連乘、連除。通過編故事的具體情境，建立用連乘解決問題的模型，學會用兩步計算和不同的方法來解決問題。理解連乘、連除之間的關系。

此單元活動群一共設計六個活動，單元中各活動彼此之間呼應、遞進，其內在關聯保障有機整體地達成相應的單元教學目標。整數乘法起始于乘法意義，止于多位數乘兩位數，而這個單元的教學活動序列是整個小學階段的“中央序列”，有了來自于乘法意義的支撐，活動內涵就變得更豐富，更有整合、拓展的意義與價值。

三、基于單元實踐，“促”理解與遷移

對單元活動內容進行結構化布局后，我們要思考各主題活動的課堂結構，力求結構化的課堂教學賦予學生可持續發展的最強勁學習力和遷移力。因此我們著重考慮了兩個方面：一是設計具有結構性的一組學習材料。二是實施具有挑戰性的活動任務。如此，才能使學生真正看到數學思維的力量，促進學生對知識的深度理解并實現遷移。下面重點闡述以下“筆算乘法”板塊3 個課時的整合拓展的實踐。

【活動二】看圖計算——關注算理的深度理解

新增拓展課：看圖計算——12×13。教材中并沒有安排本課時，《看圖計算》活動內容是原教材中學習兩位數乘兩位數筆算乘法例1 的一個學習材料。根據整合思路，為了讓學生更好地理解算理，為學習筆算乘法做鋪墊。本節活動課將這一學習材料單獨作為一個課時進行教學，既鞏固了口算乘法算理，又為后面學習筆算乘法做好鋪墊，起到了承上啟下的作用，也是整個單元的內核。

任務：在點子圖中畫一畫、找一找、算一算“12×13”。

學生材料（如下圖）：

討論1：（整理）你能給這些作品分分類嗎？

討論2：（轉換的理由）觀察分12 的作品，你有什么發現？分13 的作品中，能不能寫出一些連乘算式呢？為什么？

討論3：（優化）同樣拆“12”，你更喜歡哪一種？為什么？

討論4：（編題）你能列舉一個兩位數乘兩位數的算式，并說一說計算方法嗎？

如上教學，比原教材編排筆算乘法兩課時的教學內容更加豐富，研究了本單元最重要的計算中“‘式’‘形’結合、以形析理”的問題，也為筆算乘法打下了堅實的基礎。教學中讓學生自主遷移學習，如學生認識到分拆一個因數是一個通法，可以舉一反三，實現遷移，由教師給學生一道題，學生能想到更多的題，能自主解決計算其他更多的兩位數乘兩位數其他題型。

【活動三】多位數乘兩位數的筆算——“式”“形”結合，知其理

基于上一節“看圖計算”活動課中將點子圖放大，借助直觀手段（點子圖）與算式相對應，“式”“形”結合，使學生在活動中得其形、知其理。本節課重點引導學生理解兩步乘積和四步乘積的道理和聯系。

任務：筆算“12×14”。

呈現學生材料：

討論1：黑板上5 種豎式，你認為哪些是錯誤的？為什么？（統一認為正確和有爭議的分類貼開）

討論2：你能在圖中找到豎式中每一步的積嗎？

討論3：第2 個豎式得數是108 的方法少了的部分在哪？請畫一畫、找一找。

討論4：你能不能試著觸類旁通，三位數乘兩位數怎么計算？你會用剛才習得的方法嘗試解決“112×14”嗎？

如上教學，通過一組診斷性學習材料，充分暴露了學生的學習起點，教師以此為基礎提出了“這5 個豎式都正確嗎”“你能在圖中找到每一步的積嗎”“得數是108 的方法少的部分在哪兒？請畫一畫、找一找”三個核心問題，使學生對兩位數乘兩位數筆算的算理與算法有了更清楚的認識。最后拓展到三位數乘兩位數，應用已有的知識經驗進行新情境下的拓展遷移，從而理解多位數乘兩位數計算算理的本質是一樣的。

【活動四】找規律——用結構促進“理解與遷移”

根據前面兩節課對兩位數乘兩位數扎實的教學后，我們再設計一節拓展課，讓學生通過編算式，找得數相等的算式，嘗試探索某一些特殊乘法算式得數相等的道理。在這樣一個嘗試探索的過程中經歷想一想、找一找、算一算、畫一畫、說一說等過程，豐富學生解決問題的策略和方法，拓展數學思維。在不同方法的比較過程中，鞏固理解兩位數乘兩位數計算背后隱含的原理，培養學生的觀察、分析、推理能力。

任務：用1、2、3、6 編一道□□×□□乘法算式；找得數相等的算式。

呈現學生材料：

12×36 12×63 13×62 16×32 16×23 31×26

21×36 21×63 23×61 26×13 31×62 32×61

討論1：仔細觀察，哪種方式你能一眼看明白這其中的道理？這些積分別是怎么乘得的？

討論2：對比第③種方法的兩道豎式，想一想每一塊相等的積分別是什么位上的數乘什么位上的數所得的積。

討論3：你能分別在第④的兩幅圖中找到四塊相等的積嗎？誰上來用箭頭畫一畫？

這節兩位數乘兩位數的單元拓展課，教師充分利用生成資源，結構化反饋推進教學，探討相等算式背后的道理，促使學生的思維從直觀形象層面上升到合情推理階段。同時通過不同方法的對比求同，建構豎式直觀與圖式模型之間的關聯，理解圖式是筆算方法的另一種直觀表達形式，借助圖式表征有助于深入感知有趣規律背后的計算原理。

以上我們通過對一個單元重點課例的思考與實踐闡述了基于結構化進行單元整合計算教學的思路。在核心素養視域下，數學單元教學是在學科大觀念的統領下進行的，我們基于學生立場，通過調整教學順序，增減單元內容，發揮結構的力量，將知識有機地聯系起來，幫助學生逐步感悟到知識背后蘊含的道理與方法，并將其遷移應用于新的情境中，以促進學生對知識的意義理解和遷移應用。