經歷數學抽象過程 培養學科核心素養
——以《認識平行四邊形》教學為例

文|程楚高

數學抽象是數學活動最基本的思想方法，它是指對具有數量關系和空間形式的真實材料進行加工，舍去其非本質屬性，提煉出共同的本質屬性的思維過程。抽象在數學及教學過程中無處不在，數學教材中的每一個概念、法則、公式、定理等的推導和概括都要用到抽象，用任何數學知識解決純數學問題或聯系實際的問題都離不開數學抽象。數學抽象對數學學習具有十分重要的意義，教學中教師應該有意識地引導學生經歷知識的抽象過程。筆者在《認識平行四邊形》的教學過程中，從實物圖片出發，引導學生經歷觀察、操作、比較等學習活動，逐步抽象出平行四邊形的特征。現結合此課教學的幾個片斷，談談在小學數學教學中培養學生數學抽象素養的策略。

一、觀察與感知——建立表象

片斷一：

（課件出示一些實物圖片，這些圖片中含有不同形狀、不同大小的幾種平面圖形，每種圖形2 至3 個）

師：仔細觀察這些圖片，它們中都藏著平面圖形，你能找到它們嗎？

（學生觀察，指名學生上臺描出圖形并作介紹，找出的圖形有三角形、長方形、正方形和平行四邊形這四種）

師：介紹得很詳細。為了方便研究，我們把圖片隱去，只留下描出來的圖形。

（課件顯示出每幅圖片上的圖形，然后逐漸隱去實物圖，剩下平面圖形）

【思考：小學生參與的數學抽象活動，往往不是“純抽象”的數學活動，而是要借助生活情境或實物圖，由“直觀”走向“抽象”。上述教學片斷中，教師通過創設情境，展示生活中的實物圖，讓學生仔細觀察，以喚醒學生的知識經驗，同時引導學生上臺指一指、說一說，從中發現、描出平面圖形，然后隱去圖片，剩下圖形，讓學生經歷了由實物圖片到平面圖形的抽象過程。而且，通過對不同直觀素材的充分感知，抽象出了不同形狀、大小的若干個平面圖形，為下一步的學習奠定了知識、經驗和思維基礎。

與實物圖片相比，平面圖形是很抽象的，如正方形，我們可以把它想象成一個正方形桌面，也可以把它想象成一個正方形開關盒面等。而純粹的平面圖形顯然更為抽象，比如說，生活中的長方形桌面是看得見、摸得著的，而長方形這個圖形本身在生活中是不存在的，只能存在于人的頭腦中，也就是表象。因此，由實物到圖形的抽象是建立表象的過程，也是認識圖形的重要一步。】

二、分類與比較——感悟本質

片斷二：

師：（指著屏幕上抽象出的平面圖形）仔細觀察這些圖形，如果將這些圖形進行分類，你會怎么分？自己先想一想、分一分，再與同桌交流。

（學生在作業紙上按圖形編號進行分類，然后同桌之間交流想法）

生1:我分成兩類。

師：你是怎么想的？能說說你分類的依據嗎？

生1：第一類圖形是三角形，第二類圖形是四邊形。我是根據圖形的邊數來分的。

師：這位同學是從圖形的邊數考慮的。還有更細致的分法嗎？

生2：我把它們分成四類。第一類是三角形，第二類是長方形，第三類是正方形，第四類是平行四邊形。我是根據圖形的形狀來分的。

師：兩位同學的分法都有道理，你們覺得這兩種分法有什么不同？

生3：兩種分法的分類標準不同。

生4：第一個同學分成兩類；第二個同學分成四類，他把這些四邊形又分成了長方形、正方形和平行四邊形三類。

師：同學們都很善于觀察。三角形、長方形、正方形的特征大家已經熟悉。平行四邊形有什么特征呢？今天我們就來進一步研究平行四邊形。

（板書：認識平行四邊形）

【思考：小學生的數學學習主要是在數學活動中進行的。本環節教師設計了適切的數學活動，讓學生經歷了觀察——分類——比較的過程，經歷了從整體感悟到逐步分化。首先，在分類任務的驅動下，學生通過細致觀察和獨立思考，進行了分類和交流，兩種分法都做到了不重復也不遺漏。其次，教師引導學生對兩種分類進行比較，既讓學生感受了不同的分類標準，又讓學生在整體感悟的基礎上把平行四邊形分化了出來。在此過程中，學生經歷了有條理地思考的過程，既把握全局又由表及里，對平行四邊形的特征也有了初步感悟。】

三、舍棄與抽取——形成概念

片斷三：

師：仔細觀察這些平行四邊形，它們有什么不同點，又有什么相同點呢？獨立思考后，小組討論。

（學生有了想法后，進行組內交流，教師巡視指導）

師：先來說一下不同點。

生1：它們的形狀和大小都不同。

生2：邊的長度各不相同，角的大小也不一樣。

生3：有的是平放的，有的是豎著的，也有的是斜著的。

師：它們又有什么相同點呢？

生1：都有4 條邊和4 個角。

生2：它們的兩組對邊分別平行。

生3：它們的兩組對邊分別相等。

師：是這樣嗎？誰能上臺用學具演示驗證一下，在這些平行四邊形中，每個圖形的兩組對邊是否平行，是否相等？

（學生上臺操作，發現得到驗證）

師：像這樣，兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（板書:平行四邊形）

【思考：本環節的教學，聚焦到對平行四邊形的研究，引導學生經歷了觀察比較——發現不同——發現相同——提煉概念的抽象過程。學生觀察圖形首先是對圖形的整體感知，教師引導學生在觀察比較的基礎上先發現不同點，學生發現了圖形形狀、大小以及邊的長短、角的大小、擺放位置等不同，這些都是平行四邊形的非本質屬性。此后，引導學生發現相同點，學生通過獨立思考、組內交流、匯報表述發現了平行四邊形兩組對邊分別平行且相等的特征，而這正是所有平行四邊形的共有屬性與本質特征，至此，平行四邊形的概念也水到渠成。這一環節的教學，學生在尋找不同與發現相同的過程中，舍棄了圖形的非本質屬性，抽取了圖形的本質屬性，對圖形的認識從表面走向本質、從外延走向內涵。】

四、聯結與統整——完善認知

片斷四：

師：（出示課始的第二種分類中屬于四邊形的一些圖形）我們以前學過的四邊形有長方形和正方形，今天又認識了平行四邊形。仔細觀察，它們有哪些相同點呢？

生1：都有4 條邊、4 個角、4 個頂點。

生2：三種圖形的兩組對邊分別平行，而且相等。

師：那么，長方形和正方形屬于平行四邊形嗎？為什么？

生1：不屬于，因為看上去平行四邊形的角都不是直角。

生2：屬于，因為長方形和正方形的兩組對邊也分別平行，符合平行四邊形的概念。

生3：長方形和正方形是特殊的平行四邊形。

師：特殊在哪里呢？

生：長方形4 個角都是直角；正方形4 個角都是直角，并且4 條邊都相等。

師：它們三者是什么關系呢？你能在集合圖中表示出來嗎?小組討論一下。

（學生交流、匯報，完成集合圖）

【思考：在抽象出數學概念的基礎上，進一步將數學概念與學生原有認知結構中的有關知識聯系起來，形成系統化、結構化的認知結構，有利于提高學生對知識的掌握和運用水平。這個環節將新知與舊知聯系起來，引導學生把平行四邊形與長方形、正方形進行比較分析，找出相同點，讓學生發現長方形、正方形同樣具有平行四邊形的特征，屬于特殊的平行四邊形。其實，這也是一個弱抽象與強抽象相結合的過程。在集合圖中表示出三者之間的關系，形象地變散狀認知為整體認知，深化了學生對平行四邊形知識的整體把握，完善了學生的認知結構。】

從上述幾個片斷教學與思考中，我們可以感受到在課堂教學中對于學生數學抽象素養的培養，教師應該力求做到以下幾點：

1.提供豐富感知素材。

數學來源于生活，數學知識首先是從現實生活中的數量關系和空間形式中抽象而來的，因此教學中應該依據教學內容為學生提供相應的生活素材，如實物、錄像、實物圖片等，這既符合知識形成的規律，也符合學生的認知規律，因為小學生是以直觀形象思維為主的，其認知是由直觀到抽象逐步過渡的。比如上述片斷一中，教師為學生提供了蘊含不同圖形的實物圖片讓學生觀察，就體現了這一觀點。此外，數學抽象是要從不同對象中抽取共同本質屬性的，要使本質屬性提取得準確完整，提供的研究對象既要有一定數量又要形態各異，以豐富概念的外延，這樣才能有助于抽象出數學本質。如片斷三中，提供觀察的若干個平行四邊形形狀不同、大小不同、擺放位置不同，就便于學生在比較中抽象出圖形的本質特征。

2.引領學生自主學習。

教學中有兩種誤區，一種是直接呈現結論的“直奔主題”式，另一種是教師講授過程學生當聽眾的“滿堂灌”式，這兩種教學方式都是不可取的。數學抽象是一種逐步逼近知識本質的過程，教學中教師必須留給學生充分的時間和空間，讓學生在觀察、操作、分類、比較、猜測、驗證、交流、表達等一系列數學活動中，經歷知識抽象的過程，這樣學生才能產生真切的感悟，才能真正理解、掌握和運用數學概念，發展抽象思維。

3.設計多輪抽象活動。

雖然存在直覺型抽象，但一般來說，數學抽象不是一步就能實現的，從生活情境到數學概念、命題的抽象都需要經歷一個從橫向數學化到縱向數學化的過程。如平行四邊形概念的形成，上述教學中先后經歷了三輪抽象：第一輪是實物圖片到平面圖形的抽象，第二輪是在平面圖形內部分化出平行四邊形，第三輪是抽象出平行四邊形的本質屬性并形成概念。在多輪抽象中，逐步剝離圖形的非本質屬性，提煉出圖形的本質屬性并形成概念。

總之，數學抽象與學生的數學學習息息相關、時時相伴，直接影響著學生的數學素養和學業發展。數學抽象素養的培養不是一蹴而就的事，需要教師長期堅持，在每一節課中讓學生充分經歷數學抽象的過程，從而促進學生抽象思維的發展，使學生逐步學會用數學的眼光觀察世界。