深度學習，由“經歷”走向“經驗”
——《釘子板上的多邊形》教學與思考（一）

文|孫麗燕

【教學內容】

蘇教版五年級上冊第108、109 頁。

【教學過程】

一、激活探究活動經驗，從“要我學”到“我要學”

1.激活經驗，故事趣導。

師：同學們，釘子板大家都很熟悉了，如果把釘子板抽象成點子圖，相鄰2 枚釘子的距離是1厘米，每相鄰的4 枚釘子構成的正方形面積就是1 平方厘米。

師：這些圖形面積是多少？你是怎么知道的？

（學生活動并口答）

師：真棒！用面積計算公式或割補數方格的方法，很快找到了這些圖形的面積。有個奧地利數學家叫喬治·皮克，他發現除了用割補數方格、公式計算多邊形的面積，還有一個實用且有趣的數學規律。我們今天來一起研究。（板書：釘子板上的多邊形）

2.深入溯源，引發猜想。

師：（指其中一個圖形）同學們，這一位置的釘子就叫多邊形邊上的釘子。圖形內部的釘子就叫多邊形內的釘子。數一數，邊上的釘子、形內的釘子數各是多少？猜想：釘子板上多邊形的面積大小可能會與哪些因素有關？如果不用公式計算，有什么規律呢？

（學生討論后交流）

生1：多邊形邊上的釘子數越多，面積一定越大。

師：有點道理，你們同意他的意見嗎？按照你的猜想，如果邊上的釘子數相等，面積是不是一定相等？請看第②、⑤、⑧圖，邊上都是8 枚釘子，面積怎么樣？

眾生：不同。

生2：說明面積的大小，肯定不光是由邊上的釘子數決定的。

生3：我同意，多邊形的面積應該與形內的釘子數也有關。

生4：老師，形內的釘子數越多，面積可能越大。

生5：不一定，你看第②、⑥圖，形內都是2 枚釘子，但面積不同。

師：真棒，你們學會了反思。通過觀察，發現邊上的釘子數相等，面積不一定相等；形內的釘子數相等，面積也不一定相等。那釘子板上的多邊形面積到底與什么因素有關呢？大家可以交流一下。

生：我認為應該與邊上的釘子數和形內的釘子數都有關。

小結：很有道理，那么釘子板上多邊形的面積，與邊上的釘子數和形內的釘子數，到底有怎樣的關系？我們一起深入研究。

3.整體思考，把握方法。

師：多邊形邊上釘子數是一個變量、形內釘子數是另一個變量，這個問題似乎有些復雜，你準備怎樣研究？

生：先從簡單的開始研究，可以先研究形內1 枚釘子的情況。

師：是啊，有兩個變量，要先確定一個變量——形內的釘子數，從只有1 枚的情況開始研究，再研究更多的情況。那我們是不是要對這八個圖形分分類？

明確：按照形內有1 枚釘子（第①③④⑤圖）、2 枚釘子（第②⑥圖）、3 枚釘子（第⑦圖）、4 枚釘子（第⑧圖）的圖，分成四類。

【思考：激活探究活動經驗，明確“學什么”“為什么學”“為什么這樣學”，從“要我學”自然變成“我要學”。本內容是一種既有趣又有挑戰性的活動，要解決“釘子板上多邊形的面積大小可能會與哪些因素有關？有什么規律呢？”的問題，有兩個變量，先確定其中一個變量進行探究規律是學習難點。過程中制造認知沖突，激發相互評價，用“疑”激發說理“欲”，在“辯”中啟發說理“智”。學生通過動口說理，把每一次思考中蘊含著的個體的數學理解、個性化見解進行傳遞。解惑中清晰，解疑中深化，積累確定某變量的情況下探求其余變量規律的科學探究經驗。】

二、積累問題解決經驗，從“點狀”到“結構”

1.嘗試探究，形成結構。

活動1：探索形內只有1 枚釘子的多邊形面積。（第①③④⑤圖）

活動要求：（1）填一填，把多邊形的面積和邊上釘子數記錄在《研究單》上；（2）想一想，形內只有1 枚釘子時，多邊形的面積可能與邊上釘子數有怎樣的關系？

師：哪個小組來交流一下你們的發現？

生：①號多邊形面積是2 平方厘米，邊上釘子數是4 枚；③號多邊形面積是3 平方厘米，邊上釘子數是6 枚……

生：我發現在形內都是1 枚釘子的情況下，多邊形邊上的釘子數越多，面積越大。

生：當多邊形內只有1 枚釘子時，多邊形的面積是多邊形邊上釘子數的一半，你看4÷2=2，6÷2=3，7÷2=3.5，8÷2=4。

師：同學們真厲害，從不同的數據中找到相同點，發現了關系。但我們只是通過四個例子有所發現，這個猜想是不是對所有的多邊形都適用呢？（板書：猜想）還需要怎么樣？

生：舉更多的例子來驗證。（板書：舉例驗證）

師：在點子圖上任意畫幾個形內只有1 枚釘子的多邊形，迅速驗證，看看是否符合剛才的發現，并找找有沒有反例。

（學生舉例并交流）

師：如果多邊形的面積用S 表示，多邊形邊上的釘子數用n 表示，剛才發現的關系你能用一個字母式子表示嗎？寫一寫。

（學生回答并板書：S=n÷2）

師：回顧探索過程，咱們是怎樣找到這個規律的呢？（板書：仔細觀察、提出猜想、舉例驗證，歸納結論）

【思考：問題解決經驗不是一蹴而就的，逐步積累是問題解決、經驗生長的關鍵。這一過程，看似內容單一，線索簡單，但確是整節課中規律探究方法的形成結構階段。“語言是思維的外殼，是思維的工具”，教學過程中，請學生上講臺匯報研究成果，“想得清楚，才能說得明白”，有效促進其規律進一步內化，思維進一步清晰。同時引導學生經歷了規律探索的完整過程：觀察分析——提出猜想——舉例驗證——得出結論，并滲透了數形結合思想和符號化思想，形成規律探究的一般結構和方法，為探究提供研究參照和方法導引。】

2.運用結構，合作學習。

活動2：探索形內有2 枚釘子的多邊形面積，（第②⑥圖）與邊上的釘子數又會有怎樣的規律呢？

活動要求：（1） 把形內釘子數、多邊形面積和邊上釘子數填入表格中，認真觀察，有什么猜想？（2）自己設計兩個符合形內釘子數是2 枚的多邊形，找到多邊形面積和邊上釘子數驗證你的猜想；（3）把你的發現和同伴交流。

（生1 呈現作業并逐個交流數據，其他學生校對數據）

生2：我們還舉了這樣幾個例子，都發現同樣的結論，沒有反例。

生3：我們發現的規律是，當多邊形內2 枚釘子時，S=n÷2+1。

師：通過觀察、猜想、舉例、驗證的研究方法，發現了多邊形內有1 枚釘子時，S=n÷2；多邊形內有2枚釘子時，S=n÷2+1。這兩個規律相比，有什么相同和不同之處？

生：都有n÷2，不同的是一個還要加1。

師：是啊，當多邊形內有2 枚釘子時，為什么再加1 呢？數形結合，我們看釘子板上的圖。

師：（操作）原來邊上的釘子就變成了形內的釘子。現在形內有2 枚釘子，面積有什么變化？

生：形內釘子數多1，面積增加了1 平方厘米。

師：另外兩個圖形也來變一變，看看面積有什么變化？

生：（操作）當形內由1 枚釘子變成2 枚，面積都比原來增加了1 平方厘米。

師：（繼續操作）你接著又能聯想到什么？（當多邊形內3 枚釘子時，S=n÷2+2）繼續想，再往下拉。S 和n 會有什么關系？（當多邊形內4 枚釘子時，S=n÷2+3），再往下拉呢？（當多邊形內5 枚釘子時，S=n÷2+4）

師：這三條規律（多邊形內3、4、5 枚釘子時）都是我們的猜想。有了猜想，你準備怎么做？

【思考：研究形內有2 枚釘子數的情況是教學的難點，要能知其然且知其所以然。本次活動不僅停留在找到S=n÷2+1，形內釘子數看似僅是數量上增加了1，實際卻是增加變量的一種研究，是更高層次的思維。學生主動調用活動1 的經驗自主展開獨立探究，學得積極，獲得了深度理解的學習。從“點狀”到“結構”，培養學生科學嚴謹的態度、深入探究的精神、細致觀察的習慣，強化研究中的前提意識。】

3.巧用推理，充分驗證。

活動3：探索內部是3、4、5 枚及以上釘子的多邊形面積。

活動要求：（1）每個小組確定一個研究主題；（2）在點子圖上再任意畫一至兩個符合主題的多邊形；（3）算一算你畫的多邊形的面積，再用猜測的規律進行計算，看看結果是否相同；（4）小組成員間交流你的例子和發現，請組長匯總數據，匯報成果。

（學生活動交流）

師：多邊形邊上的釘子數仍用n 表示，當多邊形內有100 枚釘子時，S=？再往下推想，多邊形內有1000 枚釘子時，S=？如果形內的釘子數是a 枚呢？同桌交流。

生：S=n÷2+a-1。

師：當a＝1 時呢？符合這個規律嗎？后面沒有加上數啊？

生：當a＝1 時，就是S＝n÷2＋0。

師：研究形內有釘子的情況，我們了解了。形內沒有釘子的時候，面積與邊上釘子數有什么關系呢？你會研究嗎？

（學生猜想）

師：為什么要減1？是這樣嗎？自己選一個圖形口頭驗證一下。

（學生相互驗證）

師：看來，當a＝0 時，S＝n÷2－1也符合這個規律。

小結：這個發現被稱為皮克定理，該定理被譽為有史以來“最重要的100 個數學定理”之一。

三、提升思維活動經驗，從“聯”到“悟”

師：今天我們一起探索了釘子板上的多邊形，回顧探究和發現規律的過程，你有什么體會？

生：釘子板上多邊形的面積與形內釘子和形上釘子數之間都有關系。

生：多邊形內釘子數用a 表示，邊上釘子數用n 表示，我能總結成一個公式：S=n÷2+a-1。

生：我有補充，遇到復雜的問題，可以從簡單想起。

生：要學會從不同的多邊形中找到它們的相同點。

師：同學們真棒！恭喜大家通過自己的努力發現了規律，那么發現規律的過程中，讓你感受最深的是什么？

生：要認真觀察、反復比較。還要不斷反思，不斷驗證。

師：是啊，發現規律是了不起的，能體會到發現規律的方法更厲害了，以后碰到新的規律，你會獨立探索了嗎？自主評價一下今天的表現：

理解規律（4 分）知道怎么探索規律的一般過程（4 分）遇到復雜問題會確定變量，從簡單想起（3 分）認真傾聽（3 分）思維活躍（3 分）積極回答（3 分）總分（20 分）

【思考：深度學習，不僅是教師的感受，更是學生的切身體會。探索活動可以掌握知識，回顧反思則能夠將知識內化為自己的理解和思想。同時“多元收獲”的有效引導，生生間的相互評價、補充，不僅讓學生高屋建瓴把握規律，還幫助學生總結所經歷的規律形成的過程，深切感悟了從簡單想起等數學思想，提升了思維活動經驗。最后讓學生自主評價，促進學生學會自我反思、自主建構，并為后續的學習作經驗的支撐。關注師生、生生評價，關注他評、自評，正因課堂中有實實在在的親身體驗，學生學得積極主動，自信滿滿。】