辯證法在解題中的應用

崔榮芳

具體科學培養了我們的定勢思維，很顯然有其優勢的一面，她有助于我們快速解決問題，但是有其局限性。而哲學的思維方式，為我們提供了一個新的視角去看待問題，有助于我們辯證而全面的、連續而發展的看待事物，尊重現實并客觀反映現實，實現快速解題。這也正是我們課題組[河北省教育科學研究“十三五”規劃2020年度立項課題：自然辯證法在理科解題教學中的應用與研究（編號2004191）]所要研究的。我們課題組的主持人高保國老師在其研究成果，也就是他的專著《高中數學解題方法——導數解題講義》當中，處處滲透著辯證法在解題中的應用，下面是我讀這本書的一點兒體會，請大家批評指正。

我們以第42頁例8為例進行說明，本例的第二問的證明提供了三種方法：

我問高老師：“學生們不知道麥克勞林公式，那第一種方法是怎么想到的呢？”高老師說，我們構造函數h（x）=ex-1-x時，不只想它的導數是什么，還應該想想誰的導數是它，即函數f（x）=ex-1-x-? ? x2，再通過我們熟悉的不等式ex-1-x≥0，立知當x>0時f（x）>0，即ex-1>x+? ? x2，后面的證明也就不難了。正如唯物辯證法所指出：聯系具有客觀性、普遍性和多樣性，聯系的客觀性指聯系是事物本身所固有、不以人的主觀意志為轉移的，既不能被創造，也不能被消滅。聯系的普遍性指聯系包括橫向的與周圍事物的聯系，也包括縱向的與歷史未來的聯系。一切事物、現象和過程，及其內部各要素、部分、環節，都不是孤立存在的，它們相互作用、相互影響、相互制約。但另一方面事物又存在著相對獨立性，即任何事物都同其他事物相區別而相對獨立地存在。事物的普遍聯系和事物的相對獨立存在是互為前提的。我們看到本題第二問即證當x>0時? ? ? ? ? >? ? ? ? ? ? ? ? ?，如果我們發現不等式左右兩邊的這種聯系，即把右邊式子中x的的換成ex-1，則右邊式子變成左邊的式子，把左邊式子中的x的換成ln（x+1），則右邊式子變成左邊的式子，那么第二、三種方法也就不難想到了。”

哲學是世界觀的學說，是人們對整個世界的根本觀點和看法，哲學既是世界觀，又是方法論，它是我們認識世界、改造世界的強大的思想武器，同時也給我們以方法論的指導。

一、對立統一

唯物辯證法指出：一切存在的事物都由既相互對立、又相互統一的一對矛盾組合而成。正所謂“物無非彼，物無非是”，矛盾著的雙方既對立又統一，從而推動著事物的發展。因此對立統一規律揭示了事物發展的源泉和動力。在解題中，我們既要往下看，也要往上看，既要往左看，也要往右看。就像前面說的解法1——3一樣。毛澤東主席強調：矛盾存在于一切事物的發展過程中;矛盾存在于一切事物的發展過程的始終。換言之，矛盾無處不在，無時不有。矛盾是事物存在的深刻基礎，也是事物發展的內在根據。從一定意義上說，事物就是矛盾，世界就是矛盾的集合體;沒有矛盾就沒有事物或世界，沒有矛盾就沒有事物或世界的發展。抓住矛盾，就抓住了問題得以解決的關鍵。

二、質量互變

質量互變規律，即從量變到質變，是說處在不斷的變化之中的事物，在其每次由一種性質變化到另一種性質的過程中，總是由微小的變化（即量變）慢慢積累開始，當這種積累達到一定程度就會導致事物由一個性質變化到另一個性質（即質變）。量變是質變的準備，沒有量變就不會發生質變;經過質變，在新質基礎上又開始新的量變……如此循環往復，推動事物無限地發展下去。因此說質量互變規律揭示了事物發展的狀態。比如在立體幾何當中，我們經常運用的數量關系決定位置關系，位置關系決定數量關系就是這一規律的具體體現。

三、辯證否定

馬克思和恩格斯的否定之否定原理來自黑格爾的“正——反——合”三階段論：“正”態事物由于內部矛盾的發展，會過渡到反面，成為“反”階段，這是第一個否定;由反階段再過渡到它的反面，是為否定之否定。經過否定之否定后，事物顯然回到“正”態。唯物辯證法指出：事物的發展是一個過程連著一個過程的，過程的更替要通過否定來實現。在事物發展的長鏈條中，經過兩次否定，三個階段：即肯定、否定、否定之否定——就表現為一個周期。因此說，否定之否定規律揭示了事物發展的趨勢和道路。需要特別指出的是：否定之否定后的狀態并不是原有的肯定的狀態，而是一種更上層樓后的“揚棄”。用列寧的話說就是：仿佛是舊東西在高級基礎上的回復，是“內容的前進、形式的復歸”。就像上面題目解答，并不是得到一種解法解題就結束了，而是繼續探索，深入挖掘題目已知之間、未知之間、已知與未知之間的種種聯系，分析、發現問題的具體特征，進而進行具體分析，使問題得以圓滿解決。

唯物辯證法是人類認識世界的最高度的概括，但它并不能自動地解決具體的數學問題，這里關鍵是要真正理解唯物辯證法，勇于實踐、善于探索，以便解決數學中的疑難問題。只有這樣，才能確保數學研究方向的正確性。