基于“數”概念理解的數學實驗開發

萬兆榮

摘 要 數學學習是一種理解性學習，學習應當圍繞概念的層階化理解展開，教師要在技術工具上做好創造性的支持。以整數、分數、負數的認識為載體，開發驗證型、探索型、理解型數學實驗，為學生搭建數學思維支點或模型，引導學生建構“數”概念理解的框架，讓靜態內容動態化、系統化，進而促進深度學習的有效開展。

關鍵詞 “數”概念理解 數學實驗 驗證性 探索性 理解性

“數”概念是人們在實踐中，從數學對象的眾多屬性中概括、抽象出本質屬性，其高度抽象性則是“數”概念教學的重點與難點。數學實驗是以學生動手操作為支架的數學教與學的活動方式，通過實際操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種發現數學結論、理解數學知識、驗證數學結論的思維活動[1]。數學實驗能夠將“做、學、思”合一，讓學生在猜想（或假設）、驗證、歸納等活動中提煉出“數”概念產生的現實意義、文化背景和思想方法等，有利于學生對概念本質的探索和理解。

一、開發驗證性數學實驗，讓“數”概念的理解可視化

驗證性數學實驗作為促進數學概念理解的一種具身認知工具，是基于自身經驗對學習對象的起始性理解，讓學生通過動手操作、觀察模型、試驗分析等手段，檢驗自己得出的數學結論（或猜想）的正確性的一種實踐活動[2]。在“數”概念教學中，驗證性實驗可以使學生在物、圖與數的對應關系中多感官參與活動，擺脫經驗性理解的束縛，逐步向數學化符號表征轉化，抽象出概念的本質屬性。如“11～20的認識”教學難點在于怎樣突破位值制和十進制，教學中可借助驗證性實驗，幫助學生突破學習難點。

本課可準備11個無序排列的蘑菇圖、磁性小棒、長方形磁片等實驗材料。實驗步驟可以這樣展開：第一步，猜想。出示數“11”，11為什么會寫成這樣，有其他寫法嗎？這里的兩個1意思一樣嗎？第二步，驗證。（1）圈11。要求學生用不同的方法圈數圖片中蘑菇的數量，如一個一個圈、五個五個圈、十個一圈等方法。（2）擺11。要求學生用小棒拼擺出蘑菇的數量，方法有10個小棒擺一排，1個小棒單獨放的;10個小棒捆在一起，1個小棒單獨放……（3）寫11。方法有：兩個1中左邊特別胖，右邊特別瘦;左邊寫得高，右邊寫得矮;左邊寫得大，右邊寫得小……學生嘗試用不同的方法表示10個1和1個1，即探討“11”的表示，區別11中兩個1的不同意義。第三步，歸納。任意選取（10+幾）個長方形磁片，用十個十個圈數的方法，探究10個長方形磁片疊加表示十位上的1，這里的1放在哪里合適？通過位置關系證明十位上的1與個位上的1的區別。第四步，應用。繼續利用長方形磁片在黑板上展示，學生自主增加磁片數量、確定擺放位置，表達對12～19的理解。

實驗結果顯示，通過數學實驗活動，能夠使學生在實驗操作中發現知識生長的原點。學生最早對數的認識，正是其觸摸、點數（shǔ）物體的動作經驗的內化。學生從實驗現象獲得數的感性認識，再經過理性分析，對結論的真偽作出判斷，這種差異性和多元性，充分反映了每位學生不同的已有經驗和理解起點。從實驗前對11的猜想到“圈”“擺”“寫”，學生在實物直觀的基礎上理解十位上1的意義，經歷經驗性理解的修正、再創造過程，有效還原“11”原本的形態，充分獲得體驗“十進制”的經驗。在理解“十進制”的數學原理、數學方法的基礎上，學生逐步建立位次感、位值感，從工具操作的具象，到表象歸納，再到抽象的符號演繹，運用物、圖、形等多元表征，對數的關鍵屬性與本質的獲得奠定基礎。

二、開發探索性數學實驗，讓“數”概念的理解結構化

探索性數學實驗是學生在教師設置的問題情境中，通過動手操作、觀察、驗證、類比、歸納等方式，發現全新數學結論的實踐活動，特點是過程開放、探索性強、生成度高[3] 。在探究現實問題、揭示數學現象背后的數學原理、理解可推廣的數學結論等方面，探索性數學實驗發揮著重要的作用。如“分數的意義”教學中，分數具有“份數、商、測量運算以及比”等不同層次的意義，如何突破對整體的等分，體現分數的價值？這里，可以借助探索性數學實驗重點突破兩個學習難點：第一，整體等分，包括對具體“1”的等分以及許多合并成的整體的等分;第二，分數兩種量的比較，也就是比的意義，所以分數在某種意義上來說也是比，它主要是兩種量比較的時候，這兩種量可以相互作為單位度量的意義，體現在應用當中。

本課準備的實驗材料有兩種大小不同的圓形紙片若干個，彩色筆、剪刀、粘膠。實驗可以這樣展開：第一步嘗試畫圖表示分數。在1個圓形紙片中畫圖表示出 。要求學生獨立操作后集體交流想法。第二步，再試。依次出示2個、3個、4個圓一組的圖形，畫圖表示出一組圖形的 。在學生獨立操作后集體討論不同方法并想辦法驗證。第三步，驗證。借助剪刀現場剪下并展示在黑板上，理解多個圓片的? 的表示方法。第四步，列表對比。出示多組圓的 ，討論、歸納不同數量圓片用相同分數表示，并能從自然數1過渡到整體“1”，逐步理解單位“1”的喻意。

從實驗結果可以看出：

首先，從“一個圓”開始，學生在等分的變化中感受分數中核心知識的整體性與關聯性，進而加深對分數的理解。兒童早期在分割幾何圖形時采用的是“分半”的策略，并重復分半。因此，使用“偶數等分”認識分數，正是學生等分物體動作經驗的內化。一個實驗中學生要想得到圓片的? ，通常需要以兩次對折的方式得到? ，這一活動順應學生的認知過程，激活學生已有的知識經驗，在等分的過程中直觀感知部分與整體的關系，即其中的1份為? ，任意的3份為? ，在直觀操作中感知一個圓的? 的大小。同樣，如果圓片的大小不同，其? 的大小均是不同的，但是其中的1份都是? 。這里，實物紙片均分實驗使知識存在于具體的、情境性的、可感知的活動中，將抽象的分數概念具體化，使得學生的經驗化理解逐步升華為數學的形式化理解。

其次，“多個圓”驗證能夠有效聯結分數的多層意義。對2～4個圓片 的探討，學生最易表示出4個圓片的? ，直接涂出3個即可;其次是2個圓的? ，第一種情況，有80%的學生將兩個圓看成一個整體，平均分成4份，每半個圓表示1份，第二種情況，少數學生將2個圓分別看成一個獨立的個體，將每個圓平均分成4份，分別表示出? ;對學生來說，將3個圓看作一個整體均分四份是最困難的，一個一個均分雖能達成目的，但比較復雜。那么，使用怎樣的方式更加簡單呢？學生通常是將3個圓疊加，累積成一個整體再均分4份。既含有3平均分成4份，又蘊含3除以4的除法意義，除法與分數意義的聯結，促進學生多層級理解分數。

最后，列表分析歸納則有利于整體建構分數綜合意義。列表對比將知識過程與結果、操作活動與思維參與、實驗論證與主動探索有機融合，逐步從形式化向理解走向結構化理解。從1個圓到多個圓均看成一個整體，為整體建構分數意義提供了綜合性載體。從現實情境過渡到數學意義上來，體現為一種逐步豐富、精細化的發展趨勢，實現數學學習過程的可見。從自然數1過渡到整體“1”，兩個“1”的變與不變融通建構單位“1”，一方面讓學生感受被平均分對象的廣泛意義，深刻體會分數部分與整體的含義，另一方面滲透集合均分思想，能夠用“部分—整體”表示 的分數意義，實現了由實物走向模式的角色轉換，逐步建立符號、模式、言語的聯結。

三、開發理解性數學實驗，讓“數”概念的理解系統化

理解性數學實驗是一種文化理解、外顯知識的生成過程，為抽象架起直觀理解的橋梁，使學生能從抽象的角度看待知識，理解數學問題產生的機理，根據數學問題的規律推測問題產生的變化，使得靜態知識動態化、學術知識生長化。如“認識負數”是在學生認識了自然數、整數，初步認識分數和小數的基礎上學習的。如何借助實驗幫助學生理解負數的本質意義？筆者借助理解性實驗展開教學。

課前準備玻璃瓶、水、較粗的花莖、標簽、溫度計貼圖、繪圖筆等實驗材料，并要求學生利用實驗材料，通過插花看水位，發現起點、上升與下降的位置變化。第一步，猜想記錄。由怎樣記錄水位變化引入新課，學生通過觀察插花后水位向上和向下的相反方向移動想到，用0刻度作為原來水位的標準。第二步，畫圖驗證。逐步完善溫度計上的數字，繼而聚焦知識結構難點，理解負數具有相反意義，并明確正負數的相互依存與相對性。從溫度計模型上的無刻度到畫出刻度，再到細分畫刻度（如圖1），在推理、概述中用現實原型概括出了負數模型。在探究體驗和直觀模型圖的幫助下，掌握正負數在數系中的排列，深刻、準確地把握了概念的意義，體會正負數的相對性這一核心概念。第三步，應用推理。借助溫度計方向變化，建立數軸意識，用數軸上的數“距”促進負數意義的相對性理解（如圖2）。從實物抽象出核心元素，在線段上繪制刻度，使數軸形成完整樣態，在確定的兩個點之間進一步認識正負數。可以借助A、B、C三個字母所表示的數字來描述，如以字母A為觀察點，描述C的相對位置;以字母B為觀察點，描繪數字3和5的相對位置;以字母C為觀察點，表述右邊數據、推想左邊數據，試想一下C左邊會有多少個負數。實驗中學生經歷觀察、質疑、推理、比較、抽象概括的認知全過程，深度理解負數的意義。

數學實驗的開發，需要教師準確定位實驗目標，明確知識之間具有什么樣的數學抽象關系，將知識點和技能點穿插在實驗中，并以任務為驅動，整合實驗步驟，在完成任務的實驗過程中讓學生對所學知識進行意義建構。

參考文獻

[1] 喻平，董林偉.初中數學實驗的本質解析[J].課程·教材·教法，2016，36（08）：89-95.

[2] 齊雪林，王寧，趙儀娜.在《概率論與數理統計》課程中增加數學實驗內容的探索與實踐[J].高等數學研究， 2016，19（06）：55-60.

[3] 趙維坤，章建躍.初中數學實驗的教學設計[J].課程·教材·教法，2016，36（08）：102-107.

[責任編輯：陳國慶]