“數的運算”教學中學生數學思維能力的培養

王倩

摘 要 “數的運算”是數學教學的主要內容之一，在義務教育第一、二學段的數學內容中占有重要的地位。在“數的運算”教學中可以從運算方法探究中培養學生的遷移能力、分析能力和概括能力，從運算題組練習中培養學生的比較能力、綜合分析能力和類推能力，從運算知識應用中培養學生算法的選擇能力、建模能力和推理能力。

關鍵詞 小學數學 數的運算 思維能力

數學是思維的體操，數學在培養人的思維能力方面有著其他學科不可替代的作用。數的運算是數學教學傳統內容之一，在義務教育第一、二學段的數學內容中占有重要的地位，在數的運算教學中不僅可以發展學生的運算能力，還可以有效培養學生的數學思維能力。林崇德指出，思維能力主要包括數學概念、判斷、推理等基本思維形式，以及比較、分類、概括、類比、歸納與演繹、分析與綜合等思維方法。下面筆者結合自己的教學實踐談一談如何在數的運算教學中培養小學生的數學思維能力。

一、在運算方法探究中培養學生數學思維能力

1.在運算方法探究中培養遷移能力

遷移是指學生將以前獲得的知識、技能、經驗和方法對新的學習情境中的知識與技能的獲得、經驗的積累和方法形成造成的影響。數學知識的特點之一是聯系性緊密，前后數學學習內容保持著一定程度的連續性，學生在學習新的運算時，容易將已有的知識、經驗和方法遷移到新的學習活動中來。如學生在學習整十數乘一位數口算20×3時，想到一位數乘一位數2×3=6，根據2×3的積得出20×3=60，這樣的算法就是一種遷移，不僅如此，接下來會繼續把這種算法再遷移到200×3等整百整十數乘一位數的口算中，最后總結出算法。再如在學習加法運算律時，當學生根據5+6=6+5、84+16=16+84、845+23=23+845這幾個加法算式總結出加法交換律之后，學生會把相關的經驗再遷移應用到乘法交換律的規律總結上。因此，學生在進行新知運算學習時，只要新的運算與舊有的運算在結構形式上有相似的地方，教師就不妨讓學生嘗試探究算法，學生經歷自主嘗試探究的過程就能較好地培養遷移能力。

2.在運算方法探究中培養分析能力

分析原本是將研究對象的整體分為各個部分，并分別加以考察的認識活動。在數的運算教學中可以結合適當的內容培養學生的分析能力。如學生在學習兩位數乘一位數的筆算方法時，借助小棒把12×3進行分拆計算。學生結合小棒圖，有的先算3捆一共有多少根，算式是10×3=30，再算3個2根是多少根，算式是2×3=6，然后把兩次運算的結果加起來;有的學生則是先算3個2根是多少根，算式是2×3=6，再算3捆一共有多少根，算式是10×3=30，最后把兩次運算的乘積相加。雖然對于兩位數乘一位數的運算的先后順序不同，但是都能夠清楚地表達算式的算理。再如學習兩位數除以一位數46÷2時，借助小棒圖分一分，先分4捆，把4捆平均分成2份，每份是2捆也就是20根，算式是40÷2=20;再分6根，把6根平均分成2份，每份是3根，算式是6÷2=3，然后把兩次分得的結果相加。也可以先分6根，平均每份是3根;再分4捆的，平均每份是2捆，也就是20根，然后再把兩次分得的結果相加。學生在這個過程中就是把乘法的運算分析過程遷移到了除法的運算中來，而后教師引導學生把橫式分拆運算與豎式運算對應起來幫助學生理解總結豎式算法。教師引導學生針對算法過程進行分析，培養了學生的分析能力。

3.在運算方法探究中培養概括能力

概括是人腦在比較和抽象的基礎上，把抽象出來的事物的共同本質特征綜合起來，并推廣到同類事物的過程。學生在學習數的運算的過程中，需要總結概括運算方法，如學習小數乘小數時，在例題中呈現了兩個乘法算式3.8×3.2和1.15×3.2，學生根據小數乘整數的算法進行探究轉化成整數乘法進行計算，從3.8×3.2轉化成38×32這個乘法算式中發現每一個乘數都乘10了，所以得出的乘積就是原來積的100倍，要把現在的乘積除以100才能夠得到原來算式的結果，所以在整數乘積中按照從右向左數出兩位點上小數點，而后用同樣的思考方式得出1.15×3.2的乘積，教師接著引導學生觀察兩個算式，提出問題：兩個乘數的小數位數與積的小數位數有什么聯系？小數乘法應該怎樣運算？學生在教師的問題引導下對算法進行概括，學生經過討論概括出小數乘法的運算方法：先按照整數乘法的運算方法進行運算，乘數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點，學生在這樣的算法探究過程中培養了概括能力。

二、在運算題組練習中培養學生數學思維能力

1.在運算題組練習中培養比較能力

比較是把多組事物放在一起辨別事物的相同屬性或者尋找不同差異的思維過程。在數的運算練習中經常會出示幾組算式，讓學生進行比較，從題組中發現、總結運算規律。如學生在學習了三位數除以一位數的整數除法，在練習中就出現了算一算、比一比的一組練習，第一組：423÷3，423÷4，423÷6;第二組：672÷6，620÷6，602÷6。第一組的三個練習主要是讓學生通過比較發現：（1）被除數相同，除數不同，商就不同，除數越大，商越小;反之，除數越小，商越大。（2）都是三位數除以一位數，如果被除數的最高位上的數字大于或等于除數，商就是三位數;反之，商就是兩位數。第二組的三個練習主要讓學生通過比較發現：（1）除數相同，被除數不同，被除數越大，商越大;被除數越小，商越小。（2）被除數的百位數字是除數的倍數，十位數字如果大于除數，商的中間就沒有0;十位數字如果小于除數，商的中間就有0。如果十位數字是0，個位數字小于除數，商的十位數字和個位數字也都有0。通過這樣的一組算式的比較，發現除法算式的特點以便于準確判斷商，提高試商的速度和準確率，培養小學生的數學思維能力。

2.在運算題組練習中培養綜合分析能力

數的運算中有一類練習是算式謎，也叫蟲食算，這類練習是一種含有一些字母、符號或有空缺數字的算式。算式謎因為數學思維含量比較高，難度比較大，所以一般都是出現在思考題中，在數的運算教學中呈現算式謎題組可以有效幫助學生提高綜合分析算式的能力。如學生學習了兩三位數除以一位數的除法之后，在復習中就出現了如圖1的算式謎。教師引導學生學會分析：圖1的第一個算式，根據商的十位數字6知道第一次與3的乘積是18，這樣被除數的前兩位數應該是18加2得20，然后從最后的差2是2□與□7相減得來的，可以推斷出2□的個位數字9，那么這個被除數的個位數字也是9，□7的十位數字是2。

算式謎既包含除法的相關知識，又包含了乘法、加法和減法的相關知識，除此之外，更是注重學生對運算過程性學習的一種檢測，通過算式謎這樣的練習有效培養小學生綜合應用知識有序分析的能力。

3.在運算題組練習中培養類推能力

類推就是根據已有的一些事物的性質、特點、規律推理出和它同類的其他事物的性質、特點、規律。在數的運算中經常有這樣的練習，先找出規律再直接寫出后面算式的商，其本質上就是找出幾個算式的共同特點以及內在規律，然后進行類推。從圖2習題的第一組算式中發現它們的第一個乘數都是37，第二個乘數都是3的倍數，積都是111的倍數，這是算式的特點，找到了這些算式的特點后還要找算式之間的內在規律，如第二個乘數是3的幾倍，積就是111的幾倍，教師再引導學生進行深層次的總結：在乘法算式中，一個因數不變，另一個因數乘幾，積也就乘幾，總結出積的變化規律。當學生發現了算式的特點和內在規律后就可以繼續進行類推，通過這樣的題組練習，有效培養了小學生的類推能力。

三、在運算知識應用中培養學生數學思維能力

1.在運算知識應用中培養算法選擇和靈活運用能力

靈活性是指思維活動的靈活程度，是學生在數學思維活動中，思考的方向、過程與思維技巧的即時轉換水平的集中體現[1]。算法選擇的靈活性就是根據問題解決的需要靈活選擇算法進而快捷、正確解決問題。因為在實際解決問題中常常會用到多種算法解決問題，有的需要精算，有的可以口算，有的需要估算，有的還可以使用計算器進行運算，這就需要學生面對實際問題時能夠根據問題中的數據信息以及所要解決的實際問題對算法進行靈活選用。如蘇教版六年級下冊第74頁的一組問題：解答下面的問題，各適合口算、筆算、估算，還是使用計算器計算？先想一想，再解答。（1）一個階梯教室有15排座位，每批20個，一共有多少個座位？（2）電影院樓下有698個座位，樓上有219個座位，這個電影院能夠同時容納1000人看電影嗎？（3）在一個能容納5萬人的體育館里，一場足球賽的上座率大約是75%，大約有多少人看了這場足球賽？（4）據第六次全國人口普查統計，上海市有2301.91萬人，其中65周歲以上的約占10.1%，65周歲以上的有多少人？出示這組問題后，先讓學生獨立思考，然后個別交流，引導學生注意傾聽準備評價。第一個問題，需要計算出具體個數，而且數目不是很大，因此口算就可以了;第二個問題是一個典型的估算問題;第三個問題需要進行筆算;第四個問題用計算器計算比較方便。當學生解答完這組題目之后，教師還要引導學生對問題進行比較，引導學生明確要根據題目的具體情況靈活選擇算法，通過比較明晰各種算法的特點，以便于學生靈活選用。

2.在運算知識應用中培養算法模型的建立和解釋能力

算法模型就是在運算過程中應該遵循的基本運算程序以及規律，混合運算中的乘加模型、三步混合運算模型等就是對運算程序和算法法則的一種模型建立。如整數乘法運算律的模型應用，當學生解答兩步連乘問題“一部電視劇每天播放2集，每集35分鐘，一共播放了15天。這部電視劇全長多少分鐘？” 用這樣的兩種方法35×2×15或35×（2×15）時就是對乘法結合律模型的一種建立。再如學生解答行程類相遇問題“甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，甲車每小時行駛86千米，乙車每小時行駛114千米，經過3小時兩車相遇。A、B兩地相距多少千米”用兩種方法86×3+114×3和（86+114）×3時就是對乘法分配律模型的應用和解釋。小學生在這樣的運算應用中初步感悟建構、解釋算法模型。

3.在運算知識應用中培養推理能力

小學數學運算多是滲透在問題解決中的，所以，問題解決中也往往伴隨著學生推理能力的培養。一年級百以內的加減法的運算解決的多是一步運算的問題，而一步運算的問題多屬于直接推理。如學生在解決一1班第一組有12名同學，其中有7名男生，女生有幾人？因為題目中的兩個條件是直接關聯的，所以可以直接用12-7進行運算，在解釋的時候，12是兩個數的和，7是其中的一部分，求另一部分是多少，用減法。到了中年級的時候，學生學習了更多的運算，隨之應用解決的問題難度也有所增加，最關鍵的是條件與問題不是直接關聯，所以增加一步或兩步，這樣在數的運算應用解決問題就是屬于間接推理，如學生學習兩位數乘兩位數之后，安排了兩步連乘問題，在這樣的運算應用中提升學生的間接推理能力，實現培養思維能力的目標。

總之，教師應該有目的、有計劃地開展運算教學，使小學生的數學思維能力在數的運算的各個教學環節得到有效發展。

參考文獻

[1] 林崇德.智力發展與數學學習[M].北京：中國輕工業出版社，2011：141.

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