數學教學中提取“大概念”的策略與路徑

● 江蘇省南通市海安市南莫鎮中心小學 劉海明

所謂“大概念”，就是指“在一組概念群中或在一組事實中發揮著核心作用的概念”。在一個單元之中。“大概念”往往居于上位、中心、深層的位置，發揮著指導性、遷移性的作用。“大概念”之“大”，不是指“廣延”意義上的“大”，而是指“具有廣泛遷移性、普適性、基礎性、核心性的意義和作用”。“大概念”從廣義上說，既包括學科大概念，也包括跨學科大概念；從狹義上說，就是指學科大概念。相比較于一般概念，“大概念”更高端、更具有一種指導性、引領性、驅動性的品質。在小學數學教學中，教師要善于從相關知識中提煉“大概念”，從而促進學生數學學習的高路遷移，進而讓學生深度理解數學知識。本文所探討的“大概念”提取，是立足于學科特質的，是在狹義上展開的。

一、掛靠式提取：探尋任務主旨

數學知識是相互關聯著的，而“大概念”往往位于知識的核心位置，體現著數學知識的本質，蘊含著數學知識的基本思想方法，反映著數學知識的結構和脈絡等。作為教師，要善于找尋相關知識的“鏈接點”，并能對之進行抽象、提煉，從而形成“大概念”。這樣的一種“大概念”的提取方式，筆者稱之為“掛靠式提取”。通過“掛靠式提取”，其他相關知識都能以這樣一個“大概念”為掛靠，從而形成一個穩固的掛靠結構。

以《平行四邊形的面積》（蘇教版五年級上冊） 一課的內容教學為例， 《平行四邊形的面積》屬于“多邊形的面積”的第一課時內容，具有“種子課”的課程性質，有奠基性的意義和價值。在設計 《平行四邊形的面積》一課的具體任務時，教師不僅僅要著眼于“這一節課”的內容，更要著眼于“這一單元”的內容，要讓問題、任務等具有一種普適性的思考、探究意義。只有著眼于單元整體，課時教學才具有整體性價值。顯然，著眼于《多邊形的面積》設計教學任務，應當將“轉化”這一數學思想方法作為“大概念”。過去，很多教師在教學這一部分內容時，往往將“轉化”這一思想隱藏起來，用一種類似于春風化雨、潤物無聲、潛移默化的，所謂“濡染”的方式，去促進學生感悟。這種教學方式未嘗不可。但著眼于單元整體，筆者更傾向于、更提倡“化隱為顯”，即要讓學生形成清晰的“轉化”意識，用一種清晰的“轉化”思想方法去認知、思考、探究，進而提升學生的“轉化”能力。為此，筆者在教學中設計了這樣幾個問題和任務：平行四邊形的面積可以轉化成什么圖形的面積？怎樣進行轉化？為什么要這樣進行轉化？轉化時要注意什么？這樣的問題鏈、任務鏈，凸顯了問題的主旨、任務的主旨，即將一個陌生的圖形的面積轉化成熟悉的圖形的面積，將一個未知的圖形的面積轉化成已知的圖形的面積。

掛靠式的提取，是對一類數學知識“畫龍點睛式”的提取。借助于問題驅動、任務驅動中的相關的“大概念”的提取，能有效地促進學生認識、理解、把握“學什么”“怎樣學”“為什么這樣學”等問題。通過掛靠式提取出的“大概念”猶如一只“牛鼻子”，牽住這個牛鼻子，學生的數學學習就能游刃有余。

二、融合式提取：探尋共同結構

“融合式提取”是“大概念”提取的重要方式。在小學數學教學中，許多看似不相關聯的知識，其本質卻是相同的。為此，教師在教學中可以將相關的概念集中在一起進行深度研究，從中提煉出具有深層內涵的“大概念”。相比較于一般性的概念，“大概念”的包攝性更強、適應性更廣。

一般來說，“融合式提取”有兩種方式：其一是從諸多概念中直接提煉出具有終極意義和價值的“大概念”；其二是從諸多概念中提煉出一個包攝性更強、更廣、更大的“大概念”，這個“大概念”不具有終極的性質，但卻比原來的概念更大、更廣、更強，在后續的學習中將還有更大的概念來統攝這樣的一個概念。換言之，“融合式提取”的概念既有相對性的“大概念”，也有絕對性的“大概念”。

比如，在教學《認識厘米》《角的度量》等相關內容時，教師已經認識到了要讓學生經歷數學知識的誕生、形成、發生、發展的過程，因而都進行著這樣的一些設計，讓學生創造“厘米尺”、創造“量角器”等。當學生經歷了這樣的創造之后，不僅能認識“厘米”、認識“角”，能用厘米尺測量物體的長度、圖形的邊的長度，用量角器測量角的大小等，而且還能認識到測量厘米、角的度量的本質，即都是用一個“單位”去衡量一個對象，看這個對象之中包含有多少個這樣的“單位” 。這里，通過對諸多內容的學習，教師可以引導學生“融合式提取”出“包含除”的大概念。有了這樣的一個“大概念”，學生就能對相關內容進行自主性、自能性的學習。如“長方形的面積就是看該長方形中能包含有多少個面積單位”“長方體的體積就是看該長方體中包含有多少個體積單位”“質量的測量就是看該物體中包含有多少個質量單位”等。至此，學生就會理解貫穿于整個的“量與計量”這一部分內容學習始終的一個“大概念”——“包含除”。這樣的一種認知，是一種“高觀點”的認知，所提煉、形成的概念，就是這一部分內容的“大概念”。一旦學生認識并且掌握了“大概念”，在數學學習中就能達到舉一反三、觸類旁通的效果。

“融合式提取”大概念，關鍵是要求教師能引導學生尋找一類知識的共同的本質、結構、屬性等。正如瑞士著名教育心理學家皮亞杰所說的那樣，“一切的知識都是按照結構的建構來展開的，這種結構的建構是完全開放性的…… 通過不斷對結構的建構，形成更強的結構，或者說是用更強的結構來予以結構化”。

三、溯源式提取：探尋知識本源

在數學教學中，還有一種抽象提煉數學“大概念”的路徑、方法、策略，就是“溯源式提取”。所謂“溯源式提取”，就是從知識的終端開始，往前追溯知識的本源。一般來說，知識的本源往往能發現知識所蘊含的大思想、高觀點，從而便于教師提取“大概念”。在通常情況下，“溯源式提取”有兩種方式：其一是返回生活的本源、經驗的本源；其二是返回最原初的知識。

比如，教學《分數的初步認識》《小數的初步認識》《負數的初步認識》等相關內容時，教師就可以從“數的誕生”的源頭來引導學生認識，并幫助學生提取“大概念”。如在教學《小數的初步認識》這一部分內容時，筆者采用一種“發生時教學法”，即讓學生用沒有刻度的米尺測量物體的長度，在測量的過程中，引導學生發現，有些物體的長度用米尺測量正好，有些物體的長度用米尺測量會出現不夠或多余的情況。這樣的“不夠”或“多余”，會激發學生的認知沖突，催生學生產生將“米”進一步“平均分”的數學猜想，教師進而引導學生操作實踐，認識“0.1米”。在引導學生初步認識小數、會讀寫小數之后，筆者將“數軸”“十進制計數法”等相關內容引入其中，并引導學生比較整數、小數。通過比較，讓學生認識到“整數”和“小數”的生活源頭、構成結構等內容的一致性。即“整數和小數，在數軸上都是向右不斷地增大，向左不斷地減小，滿足‘十進制計數法’”。通過溯源式教學，學生深刻感悟到，小數的產生與整數的產生的內在道理是相同的，進而形成“數源于數”“量源于量”的高位認知。這樣的一種高位認知，應當就是學生在學習“數”這一部分內容時，所形成的“大概念”。有了這樣的“大概念”，學生就能理解整數、小數、分數乃至于正數、負數等的數的本質。

“溯源式提取”是一種向下的追溯，是一種向著本源、原點、原初等的追溯。通過這樣的追溯，不僅能讓學生認識到數學知識的“源”與“流”，更能讓學生提取相關的數學核心概念、關鍵概念，進而抽象提煉成“大概念”。回溯本源，可以從知識上回溯，也可以從方法上回溯、從思想上回溯等。通過溯源，能夠引導學生大膽突破單元局限，突破單元框架，讓學生站在“大概念”上俯瞰知識整體。

四、貫通式提取：探尋對應素養

“貫通式提取”是一種和“溯源式提取”相反的路徑、方式和方法。“溯源式提取”是追溯知識本源、發端的一種提取方式，而“貫通式提取”則是學生在學習了諸多數學知識之后（通常是同類知識具有一定的類的屬性的知識），從中提煉出某一方面的共同屬性。“貫通式提取”能有效地發展學生的“同中辨異”和“異中求同”的本領，能讓學生生成一種辨別異同的本領。

“貫通式提取”的路徑通常是這樣的：從事實到觀點再到大概念、大觀念。“貫通式提取”，可以讓學生的數學認知逐漸明晰、明朗。“貫通式提取”通常采用一種“揭示”的方式，即從諸多同類知識中揭示出該類知識的相同屬性，即該類知識在某一方面的本質。在數學教學中，有時候，學生總是喜歡教師歸納出一類知識的所謂的“通則通法”，這種“通則通法”說到底就是“大概念”。但這種“大概念”往往隱藏在數學知識之中，并且是貫穿于數學知識之中的，是隱性的、隱蔽的，需要教師將之敞亮、澄明，需要“揭示”。比如，教學《異分母分數加減法》 （蘇教版五年級下冊），在引導學生通過“通分法”“化小數法”“畫圖法”等探究異分母分數加減法的法則之后，教師有必要將“整數加減法”“小數加減法”等不同形態的知識引入其中，并讓學生對這些不同形態但同類的知識進行比較。通過比較，揭示“整數加減法”“小數加減法”“分數加減法”背后的“一致性算理”，即“只有計數單位相同，才能直接相加減”。其中，“計數單位相同”就是“大概念”。通過這樣的揭示，一方面，讓學生認識“計數單位”，包括“整數的計數單位”“小數的計數單位”“分數單位”“百分數單位”等等；另一方面，讓學生認識到“直接加減的充要條件”。

從相關的數學知識提煉出“貫通式”的大概念，有助于學生俯瞰知識整體，洞悉數學知識的結構、關聯等。在小學數學教學中，教師提煉、抽取“大概念”，有助于學生突破傳統的圍繞知識鏈而展開的線性學習，進而形成以“大概念”為節點的塊狀、散狀等多種全方位、立體式的學習模式。

“大概念”是學生數學學習的重要“錨點”。基于“大概念”的數學教學，具有層次性、結構性、系統性、整體性等特性。進行提取“大概念”的數學教學，有助于學生的數學認知從低階向高階躍遷，有助于學生形成一種“專家思維”，這是核心素養導向下的數學學科育人的根本價值追求！