有限元分析及混合教學法在材料力學課程中的教學研究

周騰 吳之豪 史留勇

摘? 要：在材料力學課程中引入有限元分析，為材料力學教學帶來更多的形式，與此同時采用混合教學法讓學生對材料力學產生濃厚的興趣，使得材料力學課程更深層次的基礎理論變得通俗易懂，幫助學生理解材料力學中關鍵工程實際問題，從而獲得更好的教學效果。文章從材料力學教學改革的意義出發，探討了有限元軟件COMSOL Multiphysics在材料力學教學中的角色、改革途徑和方法。實踐證明，通過在課程教學中插入COMSOL Multiphysics仿真教學并采用混合教學方法可以幫助學生更好地掌握相關的材料力學知識，并增強學生的創新思維和創新意識。

關鍵詞：材料力學;COMSOL Multiphysics;混合式教學;教育改革

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2021）35-0082-06

Abstract： The introduction of finite element analysis into the course of Material Mechanics brings more forms to the teaching of Material Mechanics. At the same time， the hybrid teaching method enables students to have a strong interest in Material Mechanics， makes the deeper basic theory of Material Mechanics easy to understand， and helps students understand the key engineering practical problems in material mechanics， so as to obtain better teaching results. Starting from the significance of Material Mechanics teaching reform， this paper discusses the role， reform ways and methods of finite element software COMSOL Multiphysics in Material Mechanics teaching. Practice has proved that by inserting COMSOL Multiphysics simulation teaching into the course teaching and adopting the hybrid teaching method， students can better master the relevant knowledge of Material Mechanics and enhance their innovative thinking and innovative consciousness.

Keywords： Material Mechanics; COMSOL Multiphysics; mixed teaching; teaching reform

材料力學（mechanics of materials）是研究構件的外部荷載和由此產生的撓度、應變和應力之間的關系。由于材料力學是理工科各專業的一門技術專業學習基礎課，且它是一門理論性、實踐性和應用性都極其強的課程，對后續專業課的學習和工程實踐應用都有重要意義，海南大學機電工程學院將材料力學列為相關專業的大學生必修課程。材料力學所研究的對象十分豐富，有不同的桿件，橋梁以及各種各樣的軸。在具體的工程實踐中，人們對于材料在加工制作與后期應用過程中實際可承受的能力范圍以及內部應力應變的情況需要進行深入的探索與研究，這就產生了材料力學。我們可以通過材料力學對機械工件與材料進行一系列的分析與應用，比如：通過分析工程實踐所使用材料的強度、剛度和穩定性，可以迅速找到符合實際工況的材料;還可通過分析材料內部結構的應力應變，對機械工件的設計進行優化，在保證強度夠用的情況下盡量減少材料的用量，節省成本;還可將復雜實際工程進行簡化分析，得出最合適的研究結果。

材料力學課程主要介紹了拉、壓、彎、扭四種基本變形的應力應變，以及相應的強度和剛度校核，通過學習需要掌握各類形變的機械工件的應力計算公式以及分布規律，在學習中駕馭分析機械工件的強度、剛度以及穩定性的能力，可以在以后的工程實踐中為機械工件的合理性增添一份保障以及提供必要的計算方法。為學習其他后續課程，如機械設計，從事工程部件設計等相關工作打下基礎。本文將結合有限元分析與混合教學法，通過使用COMSOL Multiphysics軟件模擬分析承受大撓曲懸臂梁的撓度，與課本理論知識相輔相成，與此同時采用混合教學法，讓課堂變得更加豐富多彩，更好地闡述了在材料力學課程教學過程中有限元分析方法與混合教學法結合的應用特色和優點。

近幾年，混合教學法在工科專業課程中得到了越來越多的應用，但是在材料力學課程中的應用還不是特別突出，尤其是材料力學與有限元分析結合方面。混合教學法，也被稱為翻轉課堂，混合學習，反向教學，通過結合在線材料和面對面的教學對學生進行材料力學課程的有限元分析教學。通常情況下，學生在材料力學上課前和上課期間觀看在線有限元分析的講座視頻，教師回答學生有限元分析在材料力學課程中的應用，并帶領他們進行材料力學課程活動，這些活動需要從觀看有限元分析相關視頻中獲得的如何在材料力學中使用有限元分析的方法與步驟。因為部分講座內容都是在課堂之外提供的，教師可以利用課堂時間對學生進行針對性培養，讓學生能夠更好地舉一反三，將有限元分析應用在材料力學課程中。鑒于這種教學方法的實用性，未來幾年混合工程課程的數量將會增加，為了滿足不斷變化的教學需求與教學方式多元化，且為了讓學生更好地掌握略顯枯燥的專業性工科知識，將本科生專業性工科知識從傳統的授課形式轉變為混合模式。

一、有限元分析

有限元分析（FEA）是通過使用數學方法來近似模擬真實的物理系統（幾何和負載條件）。利用簡單和交互的元素（即單位），我們可以通過運用有限數量的未知數來逼近具有無限未知數的真實系統。通過有限元模型剖析研究方法，我們可以將一個復雜的工程類問題轉換成一個較為簡單的可研究的問題，并得出該問題的近似解。

有限元分析是通過在空間維度上進行特定的空間離散化來實現的，該離散化是通過構建對象的網格實現的，解決方案的數值域具有有限數量的點。邊值問題的有限元分析公式化最終形成了一個代數方程組，該方法在域上近似未知函數。接著，將這些有限元建模的簡單方程式組合成一個對整個問題進行建模的較大方程式系統。然后，有限元分析通過最小化關聯的誤差函數，使用來自變異演算的變異方法來近似求解。有限元分析將整個物理系統細分為更簡單的部分具有以下優點：（1）精確表示復雜的幾何形狀;（2）可以描述多樣的材料特性;（3）輕松表示整體解決方案;（4）精確描述局部現象。

COMSOL Multiphysics是一套跨平臺的有限元分析、求解器和多物理場模擬軟件。通過用數學教學研究的方法對真實生活世界中的物理實驗現象進行求解，COMSOL Multiphysics以高效的計算技術功用和卓越的多場雙向直接耦合問題剖析研究能力能夠完成高度精確的數值模擬仿真。現如今已廣泛應用于結構力學、電磁學、流體動力學、燃料電池等許多領域。

二、傳統材料力學課程的主要不足

由于材料力學課程與實踐工程應用關系密切，國內大多數工程院校對不同方向和與材料力學密切相關的如機械、土木等相關專業均開設了本課程，但是每個學?；蛘呙總€專業都有不同的課程要求，不同的課程則對教學內容有不同的要求。例如，海南大學機電工程學院的各類專業在教學過程都有不同的側重點。機械設計制造及自動化專業強調機械工件的實際制造效果，可以通過分析機械工件的應力應變在實際加工是否合理。而農業機械化和自動化重點研究農業工件的機械性能和工程服務，通過分析確定該機械工件是否滿足應用要求。與此同時，傳統的材料力學還存在一個問題，在實際工程實踐中，實驗條件與結果會存在很大的局限性，人的肉眼是無法直接觀察到機械工件內部的應力變形特性，從而導致材料力學在學習的過程中會有些抽象。因此，對于不同專業、不同方向的學生，在具體的教學中，教師應結合各自專業的特點，講授課程的重點和難點，學生可以在課后自學剩下的內容。

材料力學課程內容知識點多，計算公式多且理論性較強，應力分布規律通過公式推導直接得出結論，較抽象，學生在學習過程中很難想象出來，導致學習積極性不高，學習效果較差。本門課程資源相對較少，需要充實教學資源;課程內容較為枯燥，需要創新教學方法;課程應用性較強，需要密切聯系實際。

三、懸臂梁的有限元分析

材料力學研究彎曲和變形的波形組件，通常稱為梁。懸臂梁是為了便于材料力學專業學生的計算能力分析而得到的簡化模型。懸臂梁一端為固定支座，另一端為自由端。在荷載作用下，根據力的平衡條件，可以得到懸臂梁固定端的承載反力，包括水平力、垂直力和彎矩，并據此繪制出軸力圖、剪力圖和彎矩圖。由于懸臂梁屬于靜定結構，因此體系的溫度變化、混凝土收縮徐變、支座移動等只會使懸臂梁出現變形，但是不會在懸臂梁中產生附加內力。因此，在梁的結構設計中，本文以最簡單形式的矩形截面懸臂梁為例，采用有限元分析軟件COMSOL Multiphysics建立模型，研究梁分別在集中力、集中力偶和均布載荷作用下對應的應力特點。

（一）理論模型

懸臂梁及其特性的原理圖如圖1所示，懸臂梁的長度為3.2m，其橫截面是邊長為0.1m的正方形。懸臂梁是由線彈性材料構成的，材料屬性E=2.1·1011N/m2，？籽=7850kg/m3，v=0。在懸臂梁上施加一定的約束和載荷，左端固定，右端承受的總載荷：最大壓縮載荷為Fx=-3.844·106N，橫向載荷為Fy=-3.844·103N。懸臂梁的端部最大垂直位移參考值為-2.58m，端部最終垂直位移參考值為-1.36m，端部最終水平位移參考值為-5.04m。通過簡單計算得出，懸臂梁的面積慣性矩為I=8.33×10-6m4。

（二）COMSOL Multiphysics建模

通過GUI步驟建立模型。建立模型時，所有單位均為國際通用單位。建模步驟如下：首先，確定所需初步研究的物理場，包括結構力學中的固體力學和梁模塊;隨后，定義幾何數據、壓縮載荷分量及橫向載荷分量的參數，以及將用于逐漸增大壓縮載荷的參數;接下來，繪制懸臂梁的幾何結構，固體力學和梁接口將引用相同的材料數據，因此該材料數據可以作為全局材料添加到模型中，并通過使用材料鏈接節點，我們可以將全局材料指派到結構的不同域、邊界和邊;最后，通過設定載荷與相關網格進行研究應力應變。圖2所示為根據理論模型建立的懸臂梁的有限元幾何模型。

（三）模擬分析

分別使用“固體力學”和“梁”接口對此問題進行建模，并將結果與基準案例值進行比較。在“固體力學”接口中，考慮到面外尺寸很小，通過將此問題模擬為“平面應力”問題。泊松比v設為零，以使邊界條件與梁理論假設一致。梁右端的載荷模擬為對應于指定總載荷的均勻分布邊界載荷。在這個問題的第二部分，通過執行線性屈曲分析研究，計算結構的臨界屈曲載荷。

1. 固體力學模塊

當添加物理界面時，在結構力學分支下的固體力學界面用于3D、2D或軸對稱體的一般結構分析。在2D中可以使用平面應力、平面應變或廣義平面應變假設。固體力學界面的基礎是求解運動方程和固體材料的本構模型，計算了位移、應力和應變等結果。默認材料是線性彈性材料。無論是非線性結構材料模塊還是地質力學模塊，物理界面都被更多的材料所擴展，例如塑性、超彈性、蠕變和混凝土材料模型。當添加這個物理接口時，這些默認節點也被添加到模型構建器中：線性彈性材料，自由模塊和初始值。自由模塊是指邊界是自由的，沒有負載或約束的邊界條件。

固定約束節點添加了使幾何實體固定（完全約束）的條件;也就是說，在所選幾何實體所有方向上的位移都為零。如果有轉動自由度，它們也將為零。使用邊界負載來施加阻力或壓力到邊界。選擇負載類型——單位面積的力，壓力，總力，單位長度的力。然后根據選擇和空間維數為矩陣中的組件輸入值或表達式。對于單位面積的力，牽引分量是明確給出的。對于總力，COMSOL Multiphysics將總力除以載荷活動的邊界面積。然后它以同樣的方式應用于其他部分的單位面積。當使用彎曲邊界或局部坐標系時，要小心使用這個選項，因為結果并不總是直觀的。對于壓力，一個標量輸入是給定的，而負荷的方向是由邊界的法線給出的。當指向固體時，壓強是正的。在幾何非線性分析中，使用了電流表面法線和面積。

2. 梁模塊

當添加一個物理界面時，在結構力學分支下發現的梁界面用于建模細長結構單元，具有顯著的彎曲剛度。該公式允許幾何非線性，具有大的旋轉和小的應變，梁可以在2D邊界和3D邊緣上建模。采用了厄米公式的兩節點直線單元。我們可以使用兩種不同的物理假設：（1）歐拉理論，此公式適用于細長梁，不考慮剪切變形;（2）鐵木辛柯梁理論，在這個公式中，梁理論擴展到“厚”梁，剪切變形被考慮在內，在動態分析中，還包括轉動的慣性效應。

計算結果包括位移、旋轉、應力、應變和截面力。除了在面積、慣性矩等方面明確給出梁的性質外，還有幾種預定義的通用截面類型。在橫截面數據設置中使用的橫截面數據可以使用梁橫截面接口進行計算。線性彈性材料節點是唯一可用的材料模型。

（四）結果與討論

由于壓縮軸向載荷較大且幾何結構較為細長，這是一個屈曲問題。如果要研究對稱問題的屈曲和后屈曲特性，則需要在某種程度上擾亂對稱性。這里，較小的橫向載荷起到了這個作用。另一種方法是在幾何結構中引入初始缺陷。

圖3為1∶1位移縮放后的最終狀態。

末端的水平和垂直位移與最大值經歸一化處理后壓縮載荷之間的關系如圖4所示。

表1總結了一些重要的結果。由于參考值以圖表形式給出，因此表中添加了讀圖帶入的誤差估計。

結果非常一致，尤其是就所使用的粗化網格而言。

由圖4可知，不穩定性出現在參數值接近0.1處，對應于3.84×105N的壓縮載荷。在實踐中我們經?？吹剑煌昝澜Y構的臨界載荷明顯低于理想結構的臨界載荷。理論臨界載荷為

圖5顯示根據線性屈曲分析計算梁的一階屈曲模態。一階模態是外力的激勵頻率與物體固有頻率（第一階）相等的時候出現的，此時物體的振動形態叫作一階振型或主振型。

四、混合教學法結合有限元分析在材料力學課程中的應用創新

混合式教學法結合有限元分析對工科學生的影響在材料力學課程中進行了實證研究。對工程專業學生在教師指導的材料力學課程不采用有限元分析和混合式材料力學課堂上結合有限元分析的學習效果進行比較研究顯示出了不同的結果：一些學生在混合式材料力學課堂上結合有限元分析的學習結果顯著提高，而另一些學生在兩種課堂形式下的學習效果沒有差異。關于學生參與和對混合課程結合有限元分析的態度的研究壓倒性地發現，學生的參與增加了，學生對混合課程的態度也很積極，主要是因為混合教學法鼓勵學生與老師一起學習，并給他們提供觀看有限元分析在材料力學應用方面視頻的機會。另一項研究考察了教師對混合式材料力學課程的益處和挑戰的看法。這些好處包括提高教師對學生在材料力學課程中面臨挑戰的意識，改善師生關系，增強共同學習的能力，以及減少教師準備時間。挑戰包括大量初始投入的時間來創建在線有限元分析相關視頻、測驗和課堂活動，以及讓學生單獨或小組參與材料力學課堂活動的難度。

以前的研究已經考察了混合教學法在材料力學課程中對學生成果、參與度和態度的影響，以及實施它的好處和挑戰，但很少有研究在觀看混合式材料力學課堂開發的視頻時探索學生行為。我們目前對以下問題了解有限：學生播放有限元分析在材料力學課程中的應用視頻的次數和時長是多少？學生們播放的有限元分析在材料力學課程中的應用課程視頻占所有材料力學課程視頻的百分比是多少？材料力學視頻時長是否影響播放次數或播放時間？在一個學期中，播放有限元分析在材料力學課程中的應用視頻的時間是增加還是減少？哪些材料力學視頻播放次數最多，哪些材料力學視頻播放次數最少，為什么？學生們播放或不播放材料力學相關視頻的原因是什么？找到這些問題的答案將有助于教師制作材料力學相關視頻，讓學生完整觀看，并有效地將它們整合到混合教學結合有限元分析在材料力學課程中。

要創建有效的材料力學有限元分析混合課堂，了解學生觀看材料力學有限元分析視頻的習慣和他們播放材料力學有限元分析視頻的原因是很重要的。了解學生在混合式材料力學課堂上如何互動和感知所需的有限元分析視頻，可以幫助教師制作引人入勝的有限元分析視頻，提供積極的有限元分析視頻觀看體驗，提高學生的觀看率，并提高學生的材料力學成績。了解學生觀看材料力學視頻的行為也可以幫助教師更好地將材料力學有限元分析視頻與混合課堂的其他部分（如課堂內的小測驗、作業和微型視頻）整合在一起。

本研究提出了五種策略，在必需的工程課程中制作有效的材料力學有限元分析視頻和課堂測試的混合課程。

第一，創建單獨的材料力學有限元分析視頻講座和并且將每個主題涵蓋在課程中。做這個材料力學有限元分析視頻講座有以下優點：（1）學生可以休息時觀看有限元分析在材料力學課程中應用的講座和例子;（2）學生可以根據他們的需求決定觀看哪個有限元分析視頻;（3）教師可以制作更短的有限元分析視頻;（4）教師可以根據需要在材料力學課程中添加有限元分析示例視頻。

第二，在學期的早期教育學生關于材料力學課程關于有限元分析視頻的目的，確保他們的期望與學習材料力學的視頻內容一致。對于本文所研究的材料力學，講座視頻不僅僅涵蓋《材料力學》教科書中的內容，而且激勵學生的學習激情，提供一個有限元分析主題概述和關鍵概念，并提供必要的信息。此外，分享其他學生如何使用材料力學關于有限元分析的視頻可以幫助他們以一種新的和更積極的方式觀看材料力學關于有限元分析視頻。

第三，為每個材料力學例題制作一個應用有限元分析的視頻，確保它解釋了重要的概念，并提供了解決問題的詳細方法。為解決材料力學課程中的問題所需提供充足的解釋與直觀的有限元分析案例而不是僅僅寫出解決方案。最后，在材料力學視頻開始之前寫出冗長的推導和復雜的方程，避免在視頻中花太多時間做這個工作。

第四，留意整個學期每個材料力學視頻播放的次數。特定材料力學視頻的高播放次數可能表明學生正在努力解決特定的話題或例子問題。在這種情況下，學生可以通過提供額外的例題視頻，花更多的時間在課堂上解釋概念，或給出額外的課堂例題來獲得幫助。另一方面，低數量的播放量可能表明學生對所涵蓋的內容有很好的理解。材料力學視頻播放的次數可以用來檢測材料力學課程進行過程中哪些內容讓學生感到困惑或感興趣，并據此做出調整。每個主題播放的視頻數量也可以與期末課程評估一起用于改進材料力學課程，因為它們表明了可能需要更多教學或改進教學輔助的主題。

第五，提供小測驗來激勵學生觀看材料力學視頻是個好主意。在這項研究中，簡短的課內概念檢查測驗占期末成績的3%，這鼓勵學生在課前觀看視頻，并在課堂上就視頻提出問題。結合視頻的小測驗可以在課前進行豐富的討論，這很好地引導了課堂的小型講座或課堂作業。

五、結束語

材料力學課程專業性強，理論推導過程極其繁瑣，學生很難學好。通過有限元軟件COMSOL Multiphysics進行數值模擬，進一步結合混合教學法播放相關視頻，與課本理論知識相輔相成，闡述了在材料力學課程教學過程中有限元分析方法結合混合教學法的應用和特色優點，有效地促進了材料力學的課程教學與工程實踐，讓學生對材料力學產生濃厚的興趣，使得材料力學更深層次基礎理論通俗易懂，將成為未來教學的重點，從而達到教學效果的螺旋上升推動。學生對材料力學課程理論的理解明顯在逐步增強，對材料力學課程工程案例的分析和模擬能力也得到有效提升。由于材料力學課程本身的理論結構較難，仍需加強與學生的交流，尤其是面對當前有限元方法進步帶來的新趨勢，應提高相應的教學。通過應力應變圖的直觀顯示，我們可以得到剪應力和正應力分布特征的對比，將模型的理論計算結果與模擬分析結果進行對比?？梢钥闯?，分布規律與理論分析一致，直觀易懂，可以增強學生對課程中概念和規律的理解。通過混合教學模式讓學生對材料力學產生濃厚的興趣，從而達到教學效果的提升。

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