錯(cuò)因剖析見(jiàn)本質(zhì) 掌握策略促提高
——二次函數(shù)錯(cuò)因剖析

文／劉 燕

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，二次函數(shù)占有重要的地位，不管是在代數(shù)里還是在幾何中，用到二次函數(shù)的次數(shù)特別多。現(xiàn)將平時(shí)作業(yè)與練習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)的易錯(cuò)題進(jìn)行剖析，并給出一些解決策略，希望能幫助同學(xué)們建立學(xué)好二次函數(shù)的信心。

一、對(duì)二次函數(shù)概念掌握模糊

例1 若y=（2-m）xm2-2是二次函數(shù)，則m的值為_(kāi)_______。

【錯(cuò)解】根據(jù)二次函數(shù)的概念得m2-2=2，解得m=±2。

故答案為m=2或m=-2。

【錯(cuò)因剖析】根據(jù)二次函數(shù)的概念，題中m應(yīng)滿足兩個(gè)條件：m2-2=2，二次項(xiàng)系數(shù)2-m≠0。錯(cuò)解中疏忽了二次函數(shù)概念中“二次項(xiàng)系數(shù)a不等于零”這個(gè)條件。

【正解】根據(jù)題意，得m2-2=2 且2-m≠0，解得m=-2。

故答案為m=-2。

二、未掌握二次函數(shù)最值的計(jì)算方法

例2 求函數(shù)y=x2+1（-1≤x≤2）的最大值和最小值。

【錯(cuò)解】當(dāng)x=-1時(shí)，y=2；當(dāng)x=2時(shí)，y=5。

所以函數(shù)y=x2+1（-1≤x≤2）的最大值為5，最小值為2。

【錯(cuò)因剖析】二次函數(shù)的最值有多種類型。假設(shè)自變量的取值范圍是某個(gè)閉區(qū)間，那么其最值可能在端點(diǎn)處，也有可能在頂點(diǎn)處。因此，我們要得出此函數(shù)的最值，應(yīng)通過(guò)二次函數(shù)的增減性來(lái)分析，也可以借助數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)完成。

【正解】∵y=x2+1，∴對(duì)稱軸是直線x=0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），畫(huà)出大致圖像如圖1，圖中拋物線位于-1≤x≤2 的一段，顯然圖像中最低點(diǎn)不是點(diǎn)A，而是頂點(diǎn)，最高點(diǎn)是點(diǎn)B。

所以當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值為1；

當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為5。

圖1

三、對(duì)圖像平移順序了解不清

例3 把拋物線y=ax2+bx+c先向右平移2個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，得到拋物線y=x2-2x-2，求a、b、c的值。

【錯(cuò)解】∵y=x2-2x-2=（x-1）2-3，

又∵圖像向右平移2個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位，∴原拋物線的解析式為y=（x-1-2）2-3-5=x2-6x+1，∴a=1，b=-6，c=1。

【錯(cuò)因剖析】二次函數(shù)圖像平移問(wèn)題往往包括多種類型，在解決已知原圖像的表達(dá)式以及平移路徑，求平移后圖像表達(dá)式時(shí)，可以直接用“左加右減，上加下減”來(lái)解決。但此題已知的是平移后圖像表達(dá)式以及平移路徑，求原圖像的表達(dá)式，因此，我們要看清題目實(shí)質(zhì)，千萬(wàn)不可直接套用口訣解題。

【正解】∵y=x2-2x-2=（x-1）2-3，

又∵原圖像向右平移2 個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位得到新拋物線，

∴新圖像向左平移2個(gè)單位，向上平移5個(gè)單位得到原拋物線，

∴原拋物線的表達(dá)式為y=（x-1+2）2-3+5=x2+2x+3，∴a=1，b=2，c=3。

四、沒(méi)有進(jìn)行分類討論

例4 若m為實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=（m-2）x2+mx+1的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____。

【錯(cuò)解】根據(jù)題意，得b2-4ac=m2-4（m-2）×1=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，

所以函數(shù)y=（m-2）x2+mx+1 的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)。

【錯(cuò)因剖析】此題題干部分說(shuō)的是“函數(shù)”，而不是“二次函數(shù)”，所以此題還有另一種情形，即一次函數(shù)的情形，需要分類討論。

當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)，即m-2≠0，m≠2時(shí)，

∵b2-4ac=m2-4（m-2）×1=m2-4m+8

=（m-2）2+4＞0，

∴函數(shù)y=（m-2）x2+mx+1 的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)。

綜上所述，函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2個(gè)。

五、忽視題目中的隱藏條件

【錯(cuò)因剖析】此題將y2用關(guān)于x的代數(shù)式表示，代入y2-x2得到關(guān)于x的二次函數(shù)，就將本題轉(zhuǎn)化成求二次函數(shù)的最值問(wèn)題。但忽略了y2≥0，x有取值范圍這一隱藏條件。

【正解】∵x-y2=1，∴y2=x-1。

從上述幾個(gè)問(wèn)題可以看出，各種數(shù)學(xué)思想如函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想等都可以利用二次函數(shù)作為載體。因此，同學(xué)們?cè)诮獯鸲魏瘮?shù)的問(wèn)題時(shí)，除了理解概念、公式外，還要認(rèn)真審題，靈活運(yùn)用，挖掘題目中的隱藏條件。