翻轉課堂在地方院校數學建模教學中應用的可行性探討

黃慧青 溫坤文 胡漢章

摘 ?要：隨著計算機技術的迅速發展，數學建模在現在應用數學領域中的作用也日益顯得更加重要。各高校為培養高質量、高層次的應用型人才，都開設了數學建模這門課程，因此，對數學建模教學設計的研究具有重要的現實意義。文章研究了當今地方院校數學建模的現狀，并指出傳統的以授課為主的教學模式已不再適合數學建模這門課程。從而引入翻轉課堂這一教學模式，借鑒翻轉課堂的基本要求，我們探討了包含課前自學、課中知識內化、課后提高與考核的數學建模教學模式。這一教學模式的主要優點是可以調動學生學習積極性、發現問題與分析解決問題的能力，促進學生利用所學知識解決實際生活問題。

關鍵詞：翻轉課堂;數學建模;地方院校;教學改革

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A ? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2022）01-0096-04

Abstract： With the rapid development of computer technology， mathematical modeling plays an increasingly important role in the field of applied mathematics. In order to cultivate high-quality and high-level applied talents， all colleges and universities have set up the course of mathematical modeling. Therefore， the study of mathematical modeling teaching design has important practical significance. This paper studies the present situation of mathematical modeling in local colleges and universities， and points out that the traditional teaching mode is no longer suitable for the course of mathematical modeling. Thus， the flipped classroom teaching model is introduced. By referring to the basic requirements of flipped classroom， we discuss the mathematical modeling teaching model， which includes self-study before class， internalization of knowledge in class， and improvement and assessment after class. The main advantage of this teaching mode is that it can mobilize students' learning enthusiasm， discover and analyze the ability to solve problems， and promote students to apply the knowledge they have learned to solve problems in real life.

Keywords： flipped classroom; mathematical modeling; local colleges and universities; teaching reformation

二十一世紀以來，隨著計算機技術的飛速發展，信息技術也得到了快速的發展。從而對傳統的教學方法帶來巨大的沖擊，推動高校對傳統的黑板、粉筆與三尺講臺教學方法進行改革，現在多媒體教室已成為必不可少的教學工具。而近幾年大數據、人工智能等新技術的出現，這些新手段給大學教學提供了有效的幫助，從而推動了高校教育教學的改革。因此，近十年來，探討如何將信息技術、大數據等新技術更好地融入到教學中去成為教學研究的新熱點[1-2]。

對于數學在我們生活中的重要性，我國著名的數學家華羅庚說過：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生活之迷、日月之繁，無處不用數學。[3]”這句話完美地闡述了數學與生活的關系。高校數學課程改革方向也是強調培養能運用所學數學知識解決現實生活問題的學生，而數學建模的課程培養目標正是培養能靈活運用所學的數學與相關學科的知識解決現實生活問題的學生，其對培養當代大學生創新能力和實踐能力的效果是目前大家比較認可的，也是能有效地提高當今大學生各方面綜合素質的重要途徑之一。因此，如何上好數學建模這門課是現在很多高校面臨的挑戰。與大部分的數學課程不同，數學建模這門課程注重動手操作與實踐。數學建模為學生在日常生活中遇到的問題與數學知識之間架起了一座橋梁，從而體會到生活中無處不用數學，感受到數學的實用性，進而激發學生能自覺利用自己所學數學知識來解決現實生活中的問題，做到學以致用，讓學生進一步體會數學的價值和作用，激發學生學習數學的興趣[4]。

美國學者Lage等在其論文“Inverting the Classroom： A Gateway to Create an Inclusive Learning Environment”中，首次介紹了他們采用新的教學模式“翻轉教學”教授“經濟學入門”以及由此而取得的成績[5]。在論文中，他們并沒有用“翻轉課堂式”或“翻轉教學”來定義這種新教學模式，且這種教學模式也沒得到廣泛地推廣。直到2007年，美國科羅拉多州林地公園中學的兩位教師Jon Bergmann和Aaron Sam為了讓缺席的學生不至于落下太多課，他們自己使用視頻軟件錄制了PPT并附上他們的講解聲音，并把這些錄好的視頻內容上傳到網絡，讓缺席的學生在家進行網上學習。由于教學效果顯著，不久之后他們進行了更大范圍地嘗試，不再局限只是那些缺席的學生在家看視頻，所有的學生都在家先觀看預先錄制好的視頻，而在課堂上老師則主要對學生集中的問題進行解答，或者給在做實驗過程中遇到困難的學生提供必要的幫助。他們嘗試后取得了非常好的效果，從而推動這個模式在美國中小學教育中的廣泛使用。有學者提出，自從2012年，重慶聚奎中學的張躍國、張渝等教師對翻轉課堂這種教學模式進行研究以來，國內教育研究者對翻轉課堂的教學模式已開展了一些研究[6-11]。

一、翻轉課堂的意義

基于所在學校的教學大綱與授課內容，課任教師先根據課程的重點、難點和部分新知識，錄制教學微視頻、PPT等知識資料，并將這些資料放在搭建好的網上學習平臺;而學生在新課上課前，上網在學習平臺上通過觀看教學微視頻或PPT進行自主學習新課;完成觀看后，學生自主完成平臺上的在線測試，從而加深對新知識的掌握，然后再帶著在觀看過程中產生的疑問與教師、同學們在課堂中互動交流與討論，從而達到學生對所學新知識的完全理解和掌握。這種教學模式就稱為翻轉課堂（Flipped Classroom）又稱顛倒課堂或反轉課堂。翻轉課堂這種教學模式的出現改變了一直以來在教學過程中主要是學生被動聽課的狀況，變為了課前學生先自主學習并發現問題的過程，然后在課堂加深理解新知識[12]。因此，翻轉課堂的教學模式完全體現了新課改要求“以學生為中心”的教育理念，培養了學生自主學習的習慣，學生的學習狀態也從以前的“要我學”的被動狀態轉變為主動的“我要學”的狀態。

二、地方院校數學建模的教學現狀

數學建模是利用所學數學知識去解決實際問題的重要手段，也是當前培養大學生創新能力和實踐能力的重要途徑之一。目前，地方院校都開設有數學建模這一門課程，但大部分的教學模式還是采用傳統的教學方式，因此存在教學方法單一、教學手段落后以及課程內容多而課時不足的矛盾等問題[13]。以嘉應學院為例，數學學院數學與應用數學專業的學生在大二下學期開設數學建模這門課程，課程共有51個課時，其中34個課時為課堂授課，17個課時為上機實驗課。眾所周知，數學建模這門課程涉及的知識點多且廣，因此一學期51個課時是遠遠不夠的。而現在大部分地方院校仍沒擺脫以講授為主的教學模式，這樣必然會減少學生動手操作的訓練，從而學生慢慢地陷入被動學習的狀態，制約了學生思維的發揮，創新能力也得不到有效地發掘。而數學建模這門課注重的是學生實際遇到生活問題時利用所學知識去動手實踐的能力，因此以講授為主的教學模式已不適合數學建模這門課程。不過，數學建模課程的這些特點卻與翻轉課堂的教學模式有著很好的契合度。因此，下面我們對在數學建模教學中引入翻轉課堂模式的可行性進行了探討。

三、翻轉課堂下的數學建模課教學模式的探討

近年來，隨著科學技術的快速發展，更多便民電子產品的出現，如平板電腦、智能手機等，不僅給人們生活帶來方便，更給人們的生活方式帶來改變。這種改變也影響到教育領域，為教學的方法與手段增加了更多的選擇。以此為契機，新的教學模式“翻轉課堂”也應運而生。這種新的教學模式與傳統的教學模式有本質的不同，其利用互聯網技術把知識傳授轉移到網絡上完成，而在課堂上通過教師、同學的交流與討論完成所學知識的內化[14]。隨著計算機技術與互聯網技術的發展，在網上能找到許多優質的教學資源，這為翻轉課堂的實現提供了大量的資源保障。

由翻轉課堂模式的教學特點來看，翻轉課堂模式具有兩方面的突出優勢，該教學模式突出了學生自主學習和自動思考的能力。在翻轉課堂實施過程中，老師只負責指導學生學習，而相關的知識點的學習與討論均由學生自主完成。因此，與以老師為主導學生被動學習的傳統教學模式不同，翻轉課堂的教學過程中的學生自主化程度很高，由要我學轉化為我要學，從而極大地激發了學生學習的積極性。結合翻轉課堂的這些優勢與數學建模這門課程的特點，我們對教學過程進行劃分，分為課前學生自主學習新模型環節、課中針對模型師生與生生討論環節和課后提高環節。課前學生自主學習新模型環節主要依靠學生利用網絡以及教師創建的學習平臺進行的主動學習新模型及相關理論知識;在課中的模型討論與應用環節，學生就課前自學部分對具體案例進行分組討論并建模，而教師則在一旁加以指導;課后，教師則利用網絡平臺與學生進行遠程答疑與交流。因此，我們將對于數學建模教學融入翻轉課堂教學模式的可行性與有效性進行詳細分析，期望能對數學建模教學現狀有所幫助。

（一）數學建模教學資源平臺的搭建

計算機技術的快速發展為教學的方式方法注入更多的可能，我們以超星學習通為平臺， 根據數學建模的教學大綱，利用教學資料和網絡上優秀的數學建模教學資源， 搭建一個學生可自主學習、師生互動方便、評價方式多元化等特點的數學建模教學資源庫平臺。教學資料包括數學建模課件、教學計劃進度安排、教師自制錄屏教學視頻與課后練習等。網絡上優秀的數學建模教學資源包括學習通上的教學包、微課視頻資源、慕課教學視頻資源與網絡資源等。學生可自主學習是指搭建的平臺里有數學建模課程的所有資料，如課件、教學視頻、課后練習等，學生可自行借助智能電子產品登錄平臺進行課程的學習。互動方便是指老師與學生、學生與學生之間可以不受空間與時間的限制，只要有智能手機、電腦或平板電腦隨時隨地都可以互動交流，這樣能更好地提高教學的效率。評價方式多元化是指在平臺上學生與學生之間可以互相評價以及學生對教師的教學評價等，這樣就可以互相學習、互相進步，因為有時自己對自己的學習有盲點，而旁人可能看得更清楚，這樣防止大家多走彎路。在搭建的教學資源庫平臺上，教師依據數學建模課程的特點和學生的層次水平制定適合地方院校的教學目標、確定教學重點和難點，確定合適的教學內容，編制學習任務單。

（二）課前學生自主學習

數學建模是一門涉及知識面非常廣的課程，涉及概率統計、最優化、回歸分析、微分方程、神經網絡、模糊數學、力學、圖論等多學科的知識。因此，若所有的知識點都要放在課堂上講授的話，必然會帶來課時不足的問題并且也使得課堂效率很低。而采用翻轉課堂這一教學模式，這些問題都會迎刃而解。課前教師會根據課程內容與教學大綱布置相應的學習任務，而學生的學習任務主要是觀看數學建模教學資源平臺上的教學視頻、PPT 或提供鏈接讓學生觀看網絡上優秀的教學視頻，然后通過配套的練習題來檢驗自己的自學效果，并通過平臺記錄學生自學過程中的疑問及學生做練習題容易出錯的問題。同時，有效地利用學習通進行交流互動，提高學習效率。例如，在講解數學規劃模型時，課前先讓學生在數學建模教學資源平臺上找出與數學規劃模型相關的電子資料、PPT或視頻資料，然后通過閱讀或觀看學習數學規劃相關知識點，從而了解數學規劃中不同類型的決策變量的區別，如何根據實際問題列出目標函數與約束條件。自學LINGO和MATLAB軟件，下載數學規劃實驗內容，并打開LINGO或MATLAB軟件運行程序，然后對程序運行結果進行分析。學生在自學過程中遇到解決不了的問題，可以先把問題記錄下來，并把問題發布到交流平臺上與其他同學或老師進行交流。學生課前自主學習是實施翻轉課堂教學的關鍵，因此只有精心準備好學生課前學習的內容與學習資料，才能吸引學生的注意力，讓其主動學習，從而達到課堂教學的教學目的。

（三）課中學生將知識內化

學生經過了課前自主學習，已了解每次課堂要學習的相關知識，但如何把這些通過閱讀文檔或PPT，觀看相關視頻所得知識的內化過程是教學過程中至關重要的一環，也是檢驗實施翻轉課堂教學模式是否成功的關鍵指標。在課堂中，教師首先針對課前學習時學生比較集中的問題進行講解，這個過程不僅可以讓學生對課前學習的知識進行回顧與梳理，也可以對學生在學習過程中比較薄弱的知識進行集中講解，從而大大地提高教學效率。接著，讓學生自愿組隊，把學生分成若干小組，每一組人數為三名學生。然后提出一個現實生活中的實際問題，讓學生利用所學的知識來解決這一問題。學生通過小組討論、機理分析等，先利用所學的知識與新學習的知識對實際問題進行簡單建模，然后通過模型分析與數值仿真測試，發現所建模型的優缺點，并以這些依據對模型進行改進，使得所建的模型能更貼切地反映實際問題，這樣根據建模所求解的結果更為準確。在模型分析階段，三人要把各自對解決問題的見解與思路詳細地在小組中闡述并討論，然后總結大家具有建設性的見解與思路，并把這些討論中總結的建模思路及初步的模型用數學符號與文字表達出來。這里以文獻[15]公平的席位分配的問題為例，根據權重的不同，席位分配的方案可以有很多，學生可根據自己對公平的理解和問題具體情況制定合理的席位分配方案，并把最終方案交給老師，由老師集中所有學生的方案，然后拿出幾個比較有代表性的方案讓學生進行討論并指出各方案的優缺點，從而找出相對公平的席位分配方案。教師在這種互動式的課堂中，充當多種角色，不再僅僅只是課堂上解答問題的老師，也是課堂的組織者與引導者。在課堂上，教師要組織好學生快速進入學習狀態，若當學生遇到不能解決的問題時，教師要先傾聽他們的疑問及建模的具體思路，然后根據他們的疑問與思路有目的的引導他們解決問題，在引導的過程中與他們一起討論他們所要解決的問題。在這種多維互動式的學習氛圍里，學生的思路與想法得到充分碰撞與融合，從而迸發出很大的學習合力。數學建模利用數學工具運用到具體生活的各個領域，能學以致用，可大大地增強學生學習數學的使命感。

在課后，教師對小組提交的建模小論文進行仔細評閱，根據論文的完成度給出初步的評語和成績，并將這些評語和成績反饋回各小組，這樣有利于學生總結消化所學內容。教師評閱學生建模小論文也是了解學生學習情況的重要途徑，可以通過學生提交的建模小論文的質量了解學生知識掌握程度。

（四）課后提高與考核

學生經過課中知識內化，已基本掌握了本節課所學的知識點，然而由于數學建模與傳統數學課程不同，模型建立的有效性更需要數值仿真結果的支撐，這就需要大量的上機操作，對建模各參數多次調試才可能得到更趨于有實用價值的模型。而僅有課堂上那點時間是遠遠不夠的，這就需要學生在課后多觀察、多測試才能將課中所學知識鞏固、吃透，從而完善課中建立的模型。課后總結提高不僅僅只是針對學生，同時對教師也提出了反思要求。教師要通過之前搭建的平臺跟進學生課后學習的情況，了解學生對課中知識的掌握程度。根據學生反饋情況，反思這節課翻轉課堂設計有哪里不夠科學的地方，思考出現這種情況的深層次原因，從而避免再次犯類似錯誤。根據學生對課堂內容的掌握情況，也給教師教學內容靈活調整提供了重要依據，從而能更有效地設計好每一節課。

由于數學建模這門課的課程特點，是以學生的書面成績為主要依據的，這種傳統考核方式已不能全面反映學生真正的學習水平。因此，根據課程特點采取多元化的考核評分，包括學生自我評分、學生互評得分與教師評分，而它們在總評中的權重分別是10%、20%與70%。教師評分中包含教師對學生、對課程過程中各個過程的評分，主要有課前自學程度評分、課中表現評分、課后總結性評分。學生課前自學程度評分主要是根據平臺里統計的視頻觀看時長、問題討論次數等給學生打分（滿分100分）。課中表現評分主要是根據學生課堂上所在組組員提問題與回答問題的情況、還有動手解決問題的能力等給學生打分。課后總結性評分主要是依據小組提交的建模小論文完成程度與完成質量給學生打分。課前自學程度評分、課中表現評分、課后總結性評分在教師評分中的權重分別為30%、30%、40%。而學生的總評成績是通過進行加權平均得到的。

四、結束語

由于翻轉課堂的教學模式與數學建模課程的特點具有很好的契合度，近年來翻轉課堂在地方院校數學建模教學中的作用已越來越受到教師的喜愛， 也為地方院校的教學改革注入新活力與動力。翻轉課堂在課前讓學生自主學習并進行相關資料的搜索，從而提高學生的自學能力;在課中的分組交流與討論不但提高了學生發現問題與解決問題的能力，也提高了學生的團隊合作能力。這些都與當代高校教育教學改革的目的相一致，因此翻轉課堂教學模式在數學建模教學中的實施與推廣也必將推動地方院校教育教學改革。

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