初中數學單元教學中的教師MPCK理論研究

摘要：數學學科核心素養正式提出后，對數學教師的課堂教學提出了更高的要求。基于教師的數學學科教學知識（MPCK）的理論研究，提出數學單元教學是最有效的發展學生核心素養的教學決策。教師所具備的MPCK是數學單元教學有效實施的關鍵，因此以初中數學函數知識為例，在函數單元教學活動中對教師所需的MPCK做具體的理論分析，促進課堂教學中的教師專業發展。

關鍵詞：單元教學;MPCK;函數

1.問題提出

新一輪課程改革以發展學生的學科核心素養為導向，自數學學科核心素養正式提出以來，研究設計單元數學教學的文章不斷涌現，單元教學重新走進教育研究者的視野，它與發展學生學科核心素養有著密不可分的關系。數學學科核心素養的體現無法從單一的知識點中體現，而是貫穿數學學科知識結構體系始終，單元教學從主題的知識結構出發，進行知識整合設計，從更高地層次上對知識進行聯結與應用，有利于培養發展學生的核心素養。然而，數學單元教學是否能夠順利地進入課堂，并得到有效實施，這對于數學教師提出了更高的專業性要求。本文以初中數學“函數”單元教學為例，對數學教師的學科專業知識在理論研究與教學實踐方面進行具體分析。

2.單元教學模式簡介

單元教學并不是一個新詞，研究的重點集中在單元教學的概念理論層面。喻平[1]從設計與應用層面對數學單元教學提出了四種結構模式，從單元教學的可操作性出發，提出了以問題解過程線索為主題的單元教學模式、以建立個體CPFS結構為主題的單元教學模式、以概念生長作為主題的單元教學模式、以數學思想方法解決問題為主題的單元教學模式。這四種單元教學模式的具體應用，包涵教師對數學知識內容分析、數學課程標準分析、學生學情分析、數學教材分析、數學知識重難點分析、教學方式分析各個方面，因此，單元教學的有效實施，在于數學教師是否有與之相匹配的課堂教學知識。

3.數學學科教學知識（MPCK）簡介

美國著名教育學家Shulman于1986年提出“Pedagogical Content Knowledge”，簡稱PCK，國內學者翻譯為學科教學知識，研究者們對其本質界定為關于教師如何將學科知識傳授給不同興趣和能力的學習者，促使學習者更有效地學習的知識[2]。而數學學科教學知識[3]（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，簡稱MPCK）可以理解為數學教師關于某一特定的數學教學內容如何進行表述、呈現和解釋，使得學生更容易接受和理解的知識。李渺，寧連華[4]認為，對于中小學數學教師而言，MPCK 是由數學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）、有關數學學習的知識（CK）以及教育技術知識（TK）融合而成。總體來看，MPCK的效用在于是數學教師如何將所學到的數學學科知識轉化為學生能夠學習到的數學知識，MPCK體現了一個教師所具備的專業素養，目的是為了提升學生的數學理解、提高學生的數學能力和發展學生的數學素養。

4.函數單元教學中教師的MPCK具體分析

以初中數學函數知識為例，基于李渺和寧連華分析出的MPCK各成分的理論基礎，對教師MPCK結合函數單元教學活動提出具體要求。

4.1數學學科知識（MK）

MK包含四個維度，分別是數學觀念、學科內容知識、數學思想方法以及數學史知識。

從數學觀念維度看，數學教師首先需要對函數單元教學有基本的認知。初中數學函數包括一次函數、反比例函數、二次函數，函數在《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標”）屬于數與代數部分，對函數表征、函數性質與函數應用提出了具體的要求。以課程標準為準則，從單元教學角度出發分析初中數學函數知識體系，教師首先需要對函數的本質進行深刻理解，以函數本質屬性為線索，滲透函數思想解決問題，對函數知識結構有整體認知的基礎上，對具體函數進行教學活動設計，從一般函數到具體函數的應用，易于學生理解掌握函數知識，從而獲得創造性數學成果。

從數學學科內容知識維度看，函數是學生在小學階段從未接觸過的數學概念，因此教師在函數單元教學時一定要注重函數概念起始對學生的引導。在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。初中數學對于函數概念的定義是一種變量與變量的一一對應關系。而教師在講解一次函數、反比例函數及二次函數時，往往會忽略函數的對應關系，而是讓學生陷入一種函數是y與x之間的解析式的錯誤認知。數學教師在單元教學中從一般函數的對應關系，過渡到具體函數的對應關系，從概念界定，到函數性質分析與實際應用，能夠時刻體現函數的本質屬性，不僅有助于培養學生從函數的角度思考問題，對于高中進一步將函數學習函數高層次的抽象定義打下堅實的基礎。

從數學思想方法維度看，教師對函數概念要進行有意義的建構，掌握數學教學思想方法，創設數學化的教學情境，引導學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，培養學生從數學的角度出發解決實際問題的能力。函數本質上回答了運動與變化之間的關系，因此在單元教學中，教師可以選擇將創設情境與提出數學問題相結合，以“問題串”為教學核心，引導學生在情境中提升學生函數思維。例如在函數單元教學的綜合實踐活動中，教師可以讓學生通過本單元的學習，選擇生活中的常見情境，用數學語言描述，描述生活中的函數現象，通過函數課題活動，感受函數在解決運動變化問題中的重要作用。

從數學史知識維度看，學生對于數學概念的認知過程與該概念的歷史發展過程有很大的相似程度。函數概念的歷史發展源遠流長，函數最初是以表格、曲線形態呈現的，萊布尼茲于1714年正式命名“函數”，函數逐漸由幾何形態走向代數形態，從函數是解析式開始，到函數“對應說”、“關系說”，函數概念逐漸抽象化，最終形成書本上的函數概念。教師在進行函數單元教學時可以對函數概念發展史進行總結拓展，引領學生跟隨數學家的腳步，思考數學家是如何一步一步發現、發展并應用函數的。從數學史中，教師能夠讓學生感受到數學知識是人類為了社會發展在不斷探索的過程中形成。而函數是17世紀的科學家為了解決天體運動如何測量問題引出的一個基本概念，本質上可以解釋現實生活中運動與變化的現象。教師對數學史知識的掌握更加有助于培養學生用數學的眼光看待現實世界，提高數學素養。

4.2一般教學法知識（PK）

PK包含四個維度，分別是教育觀念、教育理論知識、課程知識以及教學知識。

從教育觀念維度看，教師應有單元教學意識。新課程改革要求培養學生的數學素養，學生要會用數學眼光觀察現實世界，用數學思維思考現實世界，用數學語言表述現實世界，培養學生的實踐精神與創新意識。基于核心素養的單元教學設計是用系統論的觀點對教材內容進行有邏輯的重組、整合成相對完整的教學單元，以函數為例，教師對函數單元教學活動設計思路為“總分總”結構強化核心素養培養。

從教育理論知識維度看，教師要掌握單元教學的理論層面的知識，并將理論研究應用于課堂實踐，要求教師深入挖掘數學內容，在課堂上體現數學的育人價值，提出對學生思維有啟發性的問題，促進學生全面發展。

從課程知識維度看，2011版課標是教師對函數單元教學課程內容理解的基礎。2011版課程標準明確提出在義務教育階段，函數需要掌握的四大主題內容，包括一般函數、一次函數、反比例函數、二次函數，具體要求可以歸納為函數表征、函數性質、函數應用三大階段。教師對課程標準的理解越深，對課堂教學內容的把握越精準，因此教師要認真閱讀、深入理解課程標準中的函數課程知識，從課程知識結構上整體把握函數單元教學邏輯。

從教學知識維度看，在正式開課之前，教師設立明確的函數單元教學目標，函數概念起始課時，教師給出數學化情境，學生基于函數多種表征方式理解函數概念，打破函數與函數解析式混淆的思維模式。教師通過提出數學問題，學生依據數學情境，進行觀察、實驗、類比、歸納等多種方式的合情推理，教師逐漸增加問題的層次深度，將一般函數與具體函數進行邏輯思維聯結，最后引導學生形成函數整體知識結構的思維導圖，這對于函數知識構建起到畫龍點睛之筆。

4.3數學學習知識（CK）

CK包含三個維度，分別為學生發展的知識、學生學習的認知因素與非認知因素知識以及學習環境的知識。

從學生發展的知識維度看，初中階段的學生的思維發展處于從具體形象到抽象的過渡時期，教師依據學生發展的一般規律，設計函數單元教學活動。從學生學習的認知因素與非認知因素知識維度看，函數作為初中數學學習接觸到的全新概念，函數具有高度抽象性特點，學生對函數概念的理解有一定的困難。教師課堂教學過程中，結合學生已有生活經驗與函數知識相聯結，建構函數知識。從教育心理學中情感、意志、動機、興趣、性格等非認知因素來看，學生學習的非認知因素主要受教師在課堂教學中的教師教學組織策略、教學方法、教育機制的影響。單元教學模式從知識結構上由淺入深，由簡到難，由具體到抽象，提高學生學習的自我效能感。

從學習環境的知識維度看，學習數學的環境不僅體現在班級全體學生對數學學習的整體態度上，關鍵在于數學教師給學生創造數學化的學習環境。數學是一切科學的基礎，生活中處處存在數學教育現象，教師引領學生發現環境中的數學之美。函數是描述生活中運動與變化的關系模型，游樂場中絢爛宏偉的摩天輪也存在著某種函數關系，將摩天輪抽象成一個圓，圓上一點離地面的高度與旋轉實踐之間具有函數關系。

4.4教育技術知識（TK）

TK包含兩個維度，分別是有關傳統教學媒體的知識以及有關現代教育技術的知識。

傳統教學媒體主要是在教師口頭語言的基礎上，一些輔助教學的教科書、黑板、模型、實物等簡單的媒體材料。隨著現在科技的高速發展，現代教育技術是教師必備技能之一。2011版課標提出，數學課程的實施要合理運用現代信息，注意信息技術與課程內容的整合。技術與課堂教學的整合是提高教學與學習效率必經之路。函數單元教學的活動設計結合現代教育技術，除了運用ppt多媒體展示，教師學習使用幾何畫板、GeoGebra等動態數學演示軟件，在課堂上展示變量與變量之間的動態變化過程，直觀形象地展示出函數的本質屬性。數學動態軟件準確描繪出函數圖象形成過程，易于學生理解一次函數、反比例函數及二次函數的圖象與性質。

5.結語

教師MPCK是數學教師專業發展的具體要求，結合不同的課程內容，教師在數學教學中有不同的課堂組織、呈現、調整等教學行為;單元教學能夠體現教師對教學內整體邏輯思維上的把握，集課程、教學、評價為一體的單元教學設計，更加考察教師的學科教學能力。函數知識抽象化的特點使得學生難以理解函數本質，對函數概念的理解浮于表面，認為函數就是y值，將初中數學函數知識進行單元整合教學，促進了教師MPCK的發展。同時，教師運用MPCK做出最有效的教學決策，設計最佳的函數單元教學活動思路，在課堂教學實踐中，彌補自身學科專業發展方面的不足，不斷豐富自己的學科教學知識，提高數學課堂教學水平。

參考文獻：

[1]喻平.數學單元結構教學的四種模式[J].數學通報，2020，59（05）：1-8+15.

[2]常磊，夏小剛，呂傳漢.數學“情境─問題”教學中教師的MPCK理論研究[J].數學教育學報，2012，v.21;No.86（05）：67-71.

[3]童莉.數學教師專業發展的新視角──數學教學內容知識（MPCK）[J].數學教育學報，2010，19（2）：23-27.

[4]李渺，寧連華.數學教學內容知識（MPCK）的構成成分表現形式及其意義[J].數學教育學報，2011，v.20;No.77（02）：10-14.

作者簡介：潘家叆（1995年3月-），女，漢族，遼寧省渤海大學，研究生，學科教學（數學）專業。