例談指數、對數比較大小問題的處理策略

杜成珍

摘要：比較大小問題是每年高考必考內容之一，指數和對數的比大小問題是比較大小問題中的一個熱點問題。這類問題題號靠后，難度較大，對思維能力要求高，成為了近幾年高考的一些拉檔題。筆者通過整理近幾年高考試題及模擬試題淺析指數、對數比較大小問題的解題策略，與大家共同交流。

關鍵詞：指數;對數;比較大小

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A

本文就指數與對數的大小比較提出以下幾種方法，下面就一些常見題型及其解法作如下分析。

一、純指數式比較大小

1.設，試比較的大小關系.

分析：與可為同底數的指數形式，可利用指數函數的單調性比較，易得，對于發現與指數相同，進而形成兩種比較思維：①.利用冪函數的單調遞增可得：利用不同底的指數函數底數變化規律，利用與的圖像與直線的交點高低進行大小比較可得：，進而得到：

已知，則的大小關系是：

分析：與為同底數的指數形式，可利用指數函數的單調性比較，易得，與不同底不同指，可采用中間量1，易得進而得到：

總結：指數式大小比較方法

①單調性法;②中間量法;③分類討論法。

二、純對數式比較大小

1.設，，，試比較的大小.

分析：與底數可利用化為同底數，則，，故，又，故，即.這種辦法可稱為同步升（降）次法.

2.（2013新課標）設，試比較的大小

分析：對于均可以去掉常數，，，

，可利用對數底數變化規律，對同真數的對數比較大小，易得，這種辦法可稱為去常數化比較大小.

三、指數、對數混合比較大小

1.（2014安徽）設，，，則（ ? ）

A. B.

C. D.

分析：因為，，，所以，選B

2.（2012天津）已知，，，則的大小關系為（ ? ）

A. B.

C. D.

分析：因為，所以，，所以，選A.

四、附帶條件的比較大小問題

1.（2020全國Ⅲ理12）已知.設，則 （ ? ）

A. B.

C. D.

分析：由題意可知，

則則，對于繼續考慮用基本不等式，發現不等式傳遞方向不符合，也是命題人設計的數據難點，因此考慮指數與對數轉化，進而使用題目中給出的已知的大小關系，

路線一：對數化指數比較大小，由得，由得，即;由，得，由，得，，可得綜上所述，.故選A.

路線二：指數化對數比較大小，由兩邊取以8為底的對數得即

，由 ?兩邊取以為底的對數得即

2.（2017·全國Ⅰ）設、、為正數，且，則（ ? ?）

A. B.

C. D.

分析：（1）設，因為為正數，所以，則，，，考慮作商法，則，通過換底公式則，排除A、B;則只需比較與，，則，選D.

因為、、為正數，則若令，則，取對數可得，，，所以，，，因為，所以只需要比較的大小，在這里引入一個經典的函數，求導易得在單調遞增，在上單調遞減，且，所以，進而，即.

以上，就是關于指數，對數比較大小的方面的一些方法，不足之處還請讀者指正。