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例談指數、對數比較大小問題的處理策略

2022-01-17 22:24:25杜成珍
安家(校外教育) 2022年13期

杜成珍

摘要:比較大小問題是每年高考必考內容之一,指數和對數的比大小問題是比較大小問題中的一個熱點問題。這類問題題號靠后,難度較大,對思維能力要求高,成為了近幾年高考的一些拉檔題。筆者通過整理近幾年高考試題及模擬試題淺析指數、對數比較大小問題的解題策略,與大家共同交流。

關鍵詞:指數;對數;比較大小

中圖分類號:G4 文獻標識碼:A

本文就指數與對數的大小比較提出以下幾種方法,下面就一些常見題型及其解法作如下分析。

一、純指數式比較大小

1.設,試比較的大小關系.

分析:與可為同底數的指數形式,可利用指數函數的單調性比較,易得,對于發現與指數相同,進而形成兩種比較思維:①.利用冪函數的單調遞增可得:利用不同底的指數函數底數變化規律,利用與的圖像與直線的交點高低進行大小比較可得:,進而得到:

已知,則的大小關系是:

分析:與為同底數的指數形式,可利用指數函數的單調性比較,易得,與不同底不同指,可采用中間量1,易得進而得到:

總結:指數式大小比較方法

①單調性法;②中間量法;③分類討論法。

二、純對數式比較大小

1.設,,,試比較的大小.

分析:與底數可利用化為同底數,則,,故,又,故,即.這種辦法可稱為同步升(降)次法.

2.(2013新課標)設,試比較的大小

分析:對于均可以去掉常數,,,

,可利用對數底數變化規律,對同真數的對數比較大小,易得,這種辦法可稱為去常數化比較大小.

三、指數、對數混合比較大小

1.(2014安徽)設,,,則( ? )

A. B.

C. D.

分析:因為,,,所以,選B

2.(2012天津)已知,,,則的大小關系為( ? )

A. B.

C. D.

分析:因為,所以,,所以,選A.

四、附帶條件的比較大小問題

1.(2020全國Ⅲ理12)已知.設,則 ( ? )

A. B.

C. D.

分析:由題意可知,

則則,對于繼續考慮用基本不等式,發現不等式傳遞方向不符合,也是命題人設計的數據難點,因此考慮指數與對數轉化,進而使用題目中給出的已知的大小關系,

路線一:對數化指數比較大小,由得,由得,即;由,得,由,得,,可得綜上所述,.故選A.

路線二:指數化對數比較大小,由兩邊取以8為底的對數得即

,由 ?兩邊取以為底的對數得即

2.(2017·全國Ⅰ)設、、為正數,且,則( ? ?)

A. B.

C. D.

分析:(1)設,因為為正數,所以,則,,,考慮作商法,則,通過換底公式則,排除A、B;則只需比較與,,則,選D.

因為、、為正數,則若令,則,取對數可得,,,所以,,,因為,所以只需要比較的大小,在這里引入一個經典的函數,求導易得在單調遞增,在上單調遞減,且,所以,進而,即.

以上,就是關于指數,對數比較大小的方面的一些方法,不足之處還請讀者指正。

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