初中函數概念教學的存在問題及教學建議

◎許家健

(陽江市江城區教師發展中心,廣東 陽江 529900)

函數是初中數學的一項重要知識，也是學生學習中的一個難點.近兩年，我在江城區各中學進行聽課調研的過程中，發現有關函數概念的教學存在不少問題，這些問題也在平時的質量監測中表現出來.對此本文結合調研中的一些課堂實錄進行分析，以期為一線教師進行函數概念教學提供參考和借鑒.

一、函數概念教學中存在的問題

(一)重結論，輕過程，機械記憶

在調研的過程中我們發現，許多教師的教學形式過于陳舊，平時缺少理論學習，沒有及時地更新教學理念，做到與時俱進[1].特別是在長期應試教育影響下，學校對教師所教學的班級有升學率要求的情況之下，很多教師也沒有堅持自己最初的教學原則，在面對即將到來的考試的時候，教師就會教學生適用的考試套路，讓學生能夠在考試的時候通過走捷徑來獲得高分，并且在平時的教學過程中也改變了自己的教學方案，所有教學設計和活動都圍繞考試進行，考試考什么就教什么甚至為了趕進度，部分教師只要學生記住結論以便于考試時套用，導致學生對基本概念機械記憶，甚至造成對概念的模糊理解.

教學實錄1：“函數概念”的教學片段

師：同學們，前面我們已經學習了什么是常量和變量，這節課我們開始學習什么是函數.請打開課本第73頁找到“函數”的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.如果當x=a時y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數值.

生：齊讀上述“函數”的定義.

練習：判斷下列式子中哪些表示y是x的函數？

初中教材中給出了函數的描述性定義，教師采用上述教學方式，不管學生是否真正理解函數概念的本質，只是簡單地讓學生背誦函數定義的文字表達，然后直接讓學生做練習題，在教學的過程中太過于重視教學的結論而輕視過程，以至于學生對于函數概念的認識與函數概念的真實定義是有出入的.直到初中畢業，學生對函數概念的理解仍是一知半解，往往只記得一次函數、反比例函數等一些函數的表達式，根本不知函數為何物，出現“忘根”的現象.在調研中，我們發現：重結論，輕過程的現象并不是個案，而是普遍存在的.這樣的教學方法根本不能適應新課標對數學概念教學的要求，更不利于學生對概念的本質理解.

(二)重函數的解題技巧，輕函數概念的生成

在一次質量監測中，我們讓學生解答下面一道題：

圖1中的摩天輪可抽象成一個圓，圓上一點離地面的高度y(m)與旋轉時間x(min)之間的關系如圖2所示[2].

圖1

圖2

(1)根據圖2填表：

X(min)Y(m)

(2)變量y是x的函數嗎？為什么？

(3)根據圖中的信息，請寫出摩天輪的直徑.

本題考查了學生對函數概念的理解，體現了過程性評價理念，但學生的答題情況并不理想.不少學生認為y不是x的函數，理由是該題目的圖像不是拋物線.這種現象與教師平時的教學有很大的關系.由于教師平時只重視各類特殊函數題目的解題技巧訓練，輕視函數概念的生成，導致學生只是單純地重點關注各類函數解析式的表示，對函數概念的理解只停留于表面，并不理解函數的本質.

(三)過分強調活動操作，導致情境過度，缺少剝離，出現去數學化的傾向

許多教師在學生學習函數概念的第一節課時，都會舉路程隨時間的變化問題、圓的面積隨半徑的變化問題等很多實例讓學生體會什么是函數.我在一次聽課中有一位教師舉了一個銷售問題，說明單價確定時，銷售收入是售出商品數量的函數，課中教師讓學生進行角色扮演，學生興趣很高，課堂很熱鬧.鬧完之后，教師讓學生直接閱讀教材函數概念的描述，直到下課學生仍然沉浸在角色扮演的情境中，對函數的概念理解僅停留在教材上.在學習各類特殊函數時，教師也是以一次函數、二次函數、反比例函數等的具體實例及解析式進行教學，很少提及函數的一般定義，因此學生以解析式或某種圖像的印象代替了對函數概念的理解.

(四)大多數學生對函數概念的學習難以達到“綜合圖式”階段

由于教師在進行函數概念的教學時，常與初中數學的其他知識割裂開來，導致多數學生對函數的學習難以達到“對象”階段，更難達到“綜合圖式”階段.從而在平時的質量監測以及中考中，學生不能把函數知識與其他知識聯系起來靈活運用，在用方程解應用題時，學生覺得方程就是方程，函數就是函數，不會利用函數的性質解決求最大值等一些實際問題[3].事實上，函數與方程、不等式等是緊密聯系的，函數圖像與坐標軸交點正是從“形”的角度闡明了方程“解”的概念，把數與形結合起來.正因為教師在平時教學中沒有從整體上處理教材，特別是在復習階段不會溝通各部分知識之間的聯系，所以學生對函數的學習就難以達到“綜合圖式”階段.

二、對初中函數概念教學的建議

(一)讓學生經歷函數概念學習的完整過程

在數學概念教學的相關理論中，有一個很重要的理論是杜賓斯基提出的APOS理論.這個理論指出了學生學習數學概念應經歷活動、操作、對象和圖式四個階段，經歷這些過程才能促成學生對數學概念的本質理解，而不是簡單地為了應付考試，同時這也給數學教師提供了一項進行函數概念教學的理論工具.為了真正理解函數概念的本質，學生對函數概念的學習也應經歷這四個階段，而且這四個階段是不可顛倒順序的.在這種概念教學理論的指導下，教師對函數概念教學進行了思考，函數概念教學除了具有一般的數學概念教學特征外，還屬于“聚類研究”的概念類型.我們應通過對大量的材料進行分析，找出其中共同的本質特征，對這些本質特征抽象概括就形成概念.其大致過程可表達為如下幾個環節：感知材料→聚類分析→歸納概括、抽象命名→練習鞏固、納入系統.本文以江城區2021年中學數學教師技賽程三鳳老師的一節《函數概念》中的實錄片段為例進行分析.

環節1：感知材料

情境1：播放校運會200決賽的情境和學生成績表后填下表：

姓名學生1學生2學生3……stv

填表后讓學生觀察和思考：在上面的例子中，學生的成績(速度v)與時間(t)之間有怎樣的關系？

情境2：出示陽江市昨天的氣溫變化圖，觀察氣溫(T)隨時間(t)的變化情況.

情境3：長方形的周長為24 cm，其中一邊為xcm(其中x>0),面積為ycm2,面積y與x有怎樣的關系？

情境4：一個小球在一個斜坡由靜止開始從上向下滾動，其速度每秒增加2 m/s，到達坡底時小球的速度達到 40 m/s,求小球的速度與時間之間的關系.

分析：在教學中，如果教師只舉一兩個例子，不足以讓學生感知函數的本質特征，這一環節通過大量的材料，讓學生充分感知，引導學生自主分析研究，感受“函數”的三個要素：“一個變化過程”“兩個變量”“確定的依賴關系”，為后面提煉“函數”的概念作鋪墊.這里所說的“大量”不僅是指數量，還指所舉的例子涉及生活的各個方面，但又能抽象出函數概念的本質特征，必要時還要舉一些不能反映函數概念特征的例子作為反襯材料，加深學生對函數概念本質特征的感知.這一環節，與APOS理論中的“活動階段”相對應，是該理論在初中函數概念教學中的一個應用.

環節2：聚類分析，探究本質

問題1：通過對前面大量情境的分析，你發現這些不同的例子中存在什么共同的特點？

由于這個問題太寬泛，學生回答起來非常困難，于是老師做了如下引導：

引導1：在上面的每個變化過程中，出現了一些量，你能對這些量進行分類嗎？(引出常量和變量)

引導2：在上面的每個變化過程中，兩個變化的量之間存在怎樣的關系？

引導3：是不是一個量隨另一個量的變化而隨意變化？

分析：教師通過上面的問題引導學生對生活中的不同例子進行聚類分析，找到不同問題中的共同點，提煉本質，也為下一環節做好準備.這一環節，相當于是APOS理論中的“操作階段”.

環節3：歸納概括、抽象命名

提煉引導1：你可否用一句話把你的發現表達出來？(小組討論)

提煉引導2：前面的各例中，你會用一個數學式子表達這種確定的關系嗎？

教師在總結小組討論結果時，得出教材中關于函數的描述性定義，同時說明這樣的表達式稱為函數解析式.

環節4：練習鞏固

1.下列問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數？試寫出函數的解析式.

(1)改變正方形的邊長x，正方形的面積s隨之改變.

(2)生活用電每度0.68元，小亮家每個月份的電費y(元)與每個月的用電量x(度)之間的關系.

(3)三角形的一邊長是8厘米，它的面積s(平方厘米)與這邊上的高h(厘米)之間的關系.

2.下列關于變量x，y的關系中，y是x的函數的有________.

(1)3x-2y=0 (2)5x-y2=1 (3)y=|x| (4)y=±x

分析：這一環節，教師通過練習鞏固學生對變量與函數的理解，幫助學生學會用函數關系來分析問題，深刻體會其中的函數思想.但是想通過一節課，讓學生對函數概念的理解達到APOS理論所說的“對象”和“綜合圖式”階段是不現實的，需要后續的學習逐漸完善.

(二)注意引導學生從整體上把握函數的解析式、圖像與性質之間的內在聯系，養成“心中有圖”的習慣

例如，我們在學習二次函數圖像的平移知識時，可設置如下問題：

(1)請在同一坐標系中畫出y=2x2，y=2(x-1)2，y=2(x-1)2+3的圖像？

(2)觀察圖像，你發現每兩個圖像之間可以通過怎樣的平移得到另一個圖像？

(3)觀察列表，圖像上每個點與頂點的移動規律是否相同？

(4)推廣到一般情況，你可以歸納出y=ax2(a≠0)，y=a(x-h)2(a≠0)，y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像之間有怎樣的關系嗎？

通過前面的抽象，我們認識到了函數概念本質，對于各類具體函數，我們可以結合其解析式和圖像，逐步精致化，使函數成為一個思維中的具體的對象.如上述的二次函數圖像的上、下、左、右平移問題，解決現實問題中的各類函數模型等的訓練，都有助于學生對函數的學習進入對象階段.

(三)溝通函數與其他知識的聯系，把函數數概念納入數學概念的大系統中

例如在復習階段，我們可以通過下表溝通代數式、方程、不等式、函數之間的關系：

代數式方程與不等式函數名稱與解析式圖像性質整式kx+b(k≠0)kx+b=0(k≠0)kx+b>0(k≠0)kx+b<0(k≠0)一次函數y=kx(k≠0)一條直線當k<0時,y隨x的增大而減小;當k>0時,y隨x的增大而增大;直線與x軸的交點是一元一次方程的根分式kx(k≠0)反比例函數y=kx(k≠0)雙曲線同一象限內,當k<0時,y隨x的增大而增大;同一象限內,當k>0時,y隨x的增大而減小整式ax2+bx+c(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c>0(a≠0)ax2+bx+c<0(a≠0)二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)拋物線當a<0時,圖像開口向下;當a>0時,圖像開口向上.Δ>0,圖像與x軸有兩個交點;Δ=0,圖像與x軸有一個交點;Δ<0,圖像與x軸沒有交點

通過這樣的溝通，學生腦海中對于函數的理解便不僅僅是一個定義，還包括形成函數概念的過程，各類具體函數的樣例，函數與方程、不等式等概念的聯系等.教材的編寫同樣很好地體現了這樣一種理念，例如在一次函數的學習中，學完相關概念和性質后，設計一節專門學習一次函數與方程、不等式之間聯系的課程，這樣的安排正是為了讓學生對函數的學習進入到“綜合圖式”階段.當然，學生對函數的理解要進入“綜合圖式”階段不是一件容易的事，不是一節課能完成的，也不是每一節課的學習都能經歷四個階段，這是一個長期的過程.通過溝通，我們把函數的局部概念納入整體中來認識，可以使學生經歷知識的形成過程，有利于學生形成真實的探究過程，把握概念之間整體的內在聯系，防止學生對函數概念的理解僅僅停留在機械記憶層面.

(四)循序漸進滲透函數思想

對于函數概念的學習不是一節課可以完成的，是一個長期的過程，實際上函數概念貫穿于整個初中數學的學習，我們要循序漸進地滲透函數思想.例如，我們在正式學習函數概念之前，七年級學的用字母表示數，正是函數中變量的初步思想.教師在開展七年級代數式的教學時，代數式的值與字母取值的對應關系正也正是函數的思想；在學習分式時，探索分式有意義的條件，不正是探求函數自變量的取值范圍嗎？還有方程、不等式等都與函數緊密相連.所以，教師在整個初中數學教學過程中，有意識地滲透函數思想，積累相應的活動經驗，溝通知識之間聯系，對于學生學習函數是一件十分重要的事情.

綜上所述，教師對于初中函數概念的教學要克服只重結論，輕過程的問題，不能由教師單純講述、學生機械記憶的方式進行教學；不能只為追求課堂的熱鬧，過分情境化，缺少剝離，出現去數學化的傾向，從而造成課堂熱熱鬧鬧，學生卻什么也學不到的情況.教師應精心設計數學活動，引導學生經歷函數概念完整的形成過程，使學生經過活動、操作等過程理解函數概念的本質，并通過練習鞏固對概念的理解；要促進函數概念與其他知識的聯系，在整體大系統中把握函數的局部概念；要重視數形結合的數學思想在函數教學中的運用，形成心中有圖的學習習慣；教師要充分認識學生學習函數概念的困難性和漸進性在教學中逐步滲透函數概念.