試析數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王瑩

（遼寧省營口市大石橋?qū)嶒炛袑W(xué)，遼寧營口 115100）

在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)和探究的過程中，經(jīng)常會運用到數(shù)形結(jié)合的思想方法。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中合理運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，方便學(xué)生梳理題目信息、分析解題思路，幫助學(xué)生突破數(shù)學(xué)解題中的重難點，提高學(xué)生的問題解決能力。為此，初中數(shù)學(xué)教師在開展解題教學(xué)的過程中，可以結(jié)合教材內(nèi)容，借助初中數(shù)學(xué)的重點題型，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用策略進行深入思考與分析，促使學(xué)生掌握數(shù)量與圖形之間的轉(zhuǎn)化方式，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。就這一方面而言，加強對數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中運用的研究是非常必要的。

一、數(shù)形結(jié)合思想的概念

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的基本對象，“數(shù)”指的是抽象的數(shù)量關(guān)系，“形”指的是圖形、圖像概念，兩者雖然存在本質(zhì)上的區(qū)別，但在一定的條件下，也是可以相互轉(zhuǎn)化、結(jié)合運用的。簡單來說，數(shù)形結(jié)合則是將數(shù)學(xué)知識中的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系進行有機結(jié)合，并通過二者之間的內(nèi)在關(guān)系，對數(shù)學(xué)問題進行思考和探究的數(shù)學(xué)方法。根據(jù)這一思想，學(xué)生可以將抽象的數(shù)據(jù)材料與直觀的圖形材料結(jié)合起來，快速找到問題的解決思路和方法，促使學(xué)生的解題能力得到有效提升。

在初中數(shù)學(xué)的課程體系中，教師需要積極尋找教學(xué)中與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容，結(jié)合實際案例對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想進行培養(yǎng)，為學(xué)生今后在解題中靈活運用數(shù)學(xué)結(jié)合思想打下堅實的基礎(chǔ)。首先，有理數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的聯(lián)系，教師可以在解決有理數(shù)運算問題的時候，引導(dǎo)學(xué)生通過繪制數(shù)軸并在數(shù)軸上標記有理數(shù)對應(yīng)的點，來實現(xiàn)“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化；其次，不等式與數(shù)形結(jié)合思想的聯(lián)系，通過語言、文字的講解，學(xué)生對一元一次不等式或一元一次方程不等式組等概念知識的理解比較淺薄，而將其解集以數(shù)軸的方式呈現(xiàn)出來，就可以利用直觀的圖像強化學(xué)生的理解；再次，函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的聯(lián)系，可以通過數(shù)與形之間的靈活轉(zhuǎn)化，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的坐標系，加深學(xué)生對函數(shù)知識的理解與掌握。

二、初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的現(xiàn)狀

（一）解題教學(xué)教條化嚴重

相較于小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，初中數(shù)學(xué)知識點的難度有了明顯提升，且數(shù)學(xué)問題考查的范圍也更深、更廣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，強化學(xué)生的解題能力成為教師教學(xué)的重點。但在實際教學(xué)中，部分教師過于依賴自身以往的教學(xué)經(jīng)驗，對于教學(xué)的內(nèi)容以及教學(xué)的方法等，無法做到與時俱進，一味注重學(xué)生對理論知識的掌握，在解題教學(xué)中，習(xí)慣直接傳授學(xué)生解題的套路和模式，讓學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)公式、定理等理論知識進行套用，卻忽視了對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)，這樣教條化的模式只會限制學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，非常不利于學(xué)生解題能力的提升。

（二）圍繞考試范圍進行教學(xué)

由于我國現(xiàn)階段的初中教育采取的依然是考試升學(xué)制度，學(xué)生的考試成績直接決定學(xué)生能否升入理想的高中，進而為將來的考大學(xué)做準備，因此無論是教師還是學(xué)生對考試的分值看得都很重。而為了提高學(xué)生的考試成績，很多初中數(shù)學(xué)教師在制訂教學(xué)內(nèi)容的時候，都會根據(jù)考試重點來劃范圍，然后采取題海戰(zhàn)術(shù)，帶領(lǐng)學(xué)生進行大量、反復(fù)的試卷練習(xí)，以期能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，學(xué)生為了提高解題的速度，學(xué)習(xí)大量的解題技巧，卻忽視了數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和規(guī)律，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維受到禁錮，嚴重影響學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)與提升。

（三）學(xué)生缺乏解題的自信心

與小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識相比，初中數(shù)學(xué)不論是難度還是深度都提升了一個層次，且所教授的理論知識多而雜，學(xué)生需要記憶大量的數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)、定理等理論知識，年級越高考試考查的范圍就越廣，數(shù)學(xué)問題也就越復(fù)雜，學(xué)生解題時遇到的問題和難度就越多。而初中生正處于青春期，他們的情感較為敏感，這種挫敗感會使得學(xué)生對數(shù)學(xué)解題逐漸失去信心，甚至讓學(xué)生出現(xiàn)逆反和自卑的心理狀況。如此，不但無法提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，而且還會對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成不利影響。

三、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)解題中的意義

（一）提高數(shù)學(xué)解題教學(xué)的趣味性

我們都知道數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系的學(xué)科，因而在初中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中，邏輯思維和空間立體思維是學(xué)生必須要具備的數(shù)學(xué)思維能力，這樣學(xué)生才能對數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系或空間關(guān)系進行正確梳理。但對多數(shù)初中生而言，他們這兩種思維能力都相對較弱，這也使得他們在面對一些難度較大的數(shù)學(xué)問題時，就會感到束手無策，進而嚴重打擊他們的學(xué)習(xí)自信心。而數(shù)形結(jié)合思想的合理運用，則可以促使學(xué)生從不同的角度思考和分析數(shù)學(xué)問題，使得數(shù)學(xué)問題的探究過程更加靈活、有趣，讓學(xué)生更好地體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。

（二）提高數(shù)學(xué)解題思維的靈活性

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題過程中的運用主要有兩個方向：一是“以形助數(shù)”即將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成直觀明了的圖形關(guān)系，減低數(shù)學(xué)問題的解題難度；二是“以數(shù)化形”即將抽象的圖像問題轉(zhuǎn)化為邏輯縝密的數(shù)量關(guān)系，使其變得更加具體。在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，學(xué)生可以靈活運用數(shù)形結(jié)合思想，從不同的角度對數(shù)學(xué)問題進行分析、理解與思考，嘗試轉(zhuǎn)換角度尋找解決問題的切入點，提高學(xué)生解題效率的同時，也能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生抽象思維向邏輯思維的轉(zhuǎn)變，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性。

（三）加深對數(shù)學(xué)解題規(guī)律的掌握

初中數(shù)學(xué)的問題類型不外乎幾何圖形、數(shù)字方程，雖然存在本質(zhì)上的區(qū)別，但兩者之間是可以通過互相轉(zhuǎn)化證明彼此的，學(xué)生在運用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的過程中，可以逐漸掌握數(shù)學(xué)知識相互轉(zhuǎn)化的規(guī)律，從其中總結(jié)出屬于自己的解題方法，既能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解與掌握，又能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和發(fā)展打好基礎(chǔ)。

四、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)解題中的策略

（一）以形助數(shù)，強化直觀效果

在現(xiàn)實生活中處處充滿了代數(shù)的身影，因而，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中代數(shù)成為了重要教學(xué)內(nèi)容。然而，代數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系往往都非常復(fù)雜，而為了增加問題的難度，出題人甚至還會在題目中設(shè)置各種陷阱，用一些無效的信息來干擾學(xué)生的解題思路，對邏輯思維能力較差的學(xué)生來說，解決這樣的代數(shù)問題無異于一場災(zāi)難。但是在以往的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實踐中，教師的教學(xué)重心一直在解題思路和步驟的傳授上，忽視了學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)。鑒于此，在新時期的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師則需要摒棄以往的教學(xué)方法，將數(shù)形結(jié)合中“以形助數(shù)”的思想方法滲透到其中，引導(dǎo)學(xué)生利用直觀圖像將復(fù)雜的數(shù)量問題表示出來，然后利用圖形來解決數(shù)學(xué)問題，這樣原本分散、隱藏于題目各個角落的有效信息變得明顯，同時還能夠幫助學(xué)生摒除題目中的干擾項，讓繁雜的代數(shù)問題變得有條理、一目了然，進而有效降低代數(shù)問題的解題難度，提升學(xué)生的解題效率和水平。

例如，在判定有理數(shù)及方程的時候，由于小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)并未涉及此方面的內(nèi)容，初中生的相關(guān)知識比較薄弱，甚至理不清正數(shù)與負數(shù)的概念關(guān)系，為此，在解決此類型問題的時候，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繪制數(shù)軸，確定中心0點，對題目中涉及的正數(shù)和負數(shù)在數(shù)軸上進行標記，原本雜亂的數(shù)字關(guān)系瞬間變得清楚，方便學(xué)生理解的同時，也提高學(xué)生解題的準確率。再如，在求一次函數(shù)y=x-2與二次函數(shù)y=x2+2x-2有幾個交點的問題時，傳統(tǒng)的初中解題教學(xué)中，教師一般都會讓學(xué)生將二次函數(shù)與一次函數(shù)相聯(lián)系，組成一個一元二次方程，通過解這個一元二次方程得出x的值，最后再結(jié)合一次函數(shù)得出兩個函數(shù)交點的坐標，費時費力不說，復(fù)雜的解題步驟中一旦有哪個環(huán)節(jié)出現(xiàn)計算錯誤，就會影響最后的結(jié)論。而如果采取數(shù)形結(jié)合思想，教師可以引導(dǎo)學(xué)生首先以二次函數(shù)的一般形式化為頂點式，確定二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標，然后再帶入一次函數(shù)，求得與y軸和x軸的交點坐標，在平面直角坐標系中畫出一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像，通過觀察圖像就可以得出最終的結(jié)論。

（二）以數(shù)解形，加深知識理解

在初中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合思想不是只能通過“數(shù)”化“形”來增強直觀效果，也可以通過“形”化“數(shù)”加深學(xué)生對問題的理解，即利用數(shù)量關(guān)系的邏輯性，說明圖形之間的關(guān)系，讓抽象的數(shù)學(xué)問題變得具體化，尤其對一些復(fù)雜的圖形問題來說，轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，能夠方便學(xué)生理解的同時，提高學(xué)生的解題效率和準確率。而為了防止學(xué)生將“以數(shù)解形”簡單理解成畫圖找答案，教師可以用一個引導(dǎo)性的問題拋磚引玉，引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的積極思考與探討，讓學(xué)生從“數(shù)”的角度出發(fā)，對幾何圖形中各元素之間的關(guān)系進行研究，找到已知條件之間的邏輯與規(guī)律，同時明確數(shù)學(xué)題目的解題方向。

例如，在一個長、寬為2米，高為3米的封閉透明盒子里，一只小蟲子想要從A點爬到B點，請為它設(shè)計出最短路程的路線。教師可以引導(dǎo)學(xué)生在紙上畫出封閉透明盒子的幾種展開圖，標出長、寬、高并準確找到A、B兩點，然后再分析兩點的位置關(guān)系，找到最短的路程。

（三）數(shù)形結(jié)合，提升解題效率

雖然在數(shù)形結(jié)合思想中無論是以形助數(shù)還是以數(shù)解形，都存在各自的缺陷與不足，但兩者之間相輔相成的轉(zhuǎn)化效能，的確幫助學(xué)生解決了很多數(shù)學(xué)上的難題，學(xué)生可以通過數(shù)與形的靈活轉(zhuǎn)化找到解決數(shù)學(xué)問題的最簡方式，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力及效率的同時，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解與應(yīng)用，為學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升奠定堅實的基礎(chǔ)。

例如，在解決反比例函數(shù)的時候，用直觀、明了的幾何圖形來解釋反比例函數(shù)的重難知識點，可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，也幫助學(xué)生更好地解決類似問題。給出兩個點的橫坐標，比較兩個點縱坐標的大小。以數(shù)字運算的方式雖然也可以得出正確答案，但如果采取繪制反比例函數(shù)圖像的方法，則更加直觀。教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件計算兩點坐標的比例系數(shù)k，并根據(jù)k的值來畫出標準的函數(shù)圖像，遵循“k大一三減，k小二四增”的口訣，輕而易舉就可以得出正確答案，同時也進一步加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解與口訣的運用，提高學(xué)生的解題效率。

（四）課后反思，深化理解

在對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想和能力培養(yǎng)的過程中，課后總結(jié)和反思是非常必要的。在課后學(xué)生有足夠的時間對數(shù)形結(jié)合的思想方法進行總結(jié)和反思，這就要求初中教師應(yīng)意識到這一點，并合理引導(dǎo)學(xué)生合理利用好課后時間，讓他們在原有知識基礎(chǔ)上，利用數(shù)相結(jié)合的思想方法對數(shù)學(xué)概念、定理和問題進行解讀，并對數(shù)學(xué)結(jié)合的思想方法和用法進行總結(jié)反思，增強學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)合思想意識，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

例如，在對“正數(shù)和負數(shù)”這一部分的數(shù)學(xué)知識進行學(xué)習(xí)后，教師則可以引導(dǎo)學(xué)生利用課后時間，對課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)結(jié)合進行反思和總結(jié)。在學(xué)生課后反思的過程中，可以利用數(shù)軸表示正數(shù)和負數(shù)，并以此來正負數(shù)的概念、性質(zhì)等進行理解，強化課堂所學(xué)。同時學(xué)生還可以利用數(shù)形結(jié)合的方式，對正負數(shù)數(shù)學(xué)問題進行解答，進一步深化對數(shù)形結(jié)合思想方法的理解和掌握，提升自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

五、結(jié)束語

綜上所述，將數(shù)形結(jié)合的思想方法合理引入初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，能夠為學(xué)生數(shù)學(xué)問題的思考和探究提供新思路和方法，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)獲得良好發(fā)展。因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強對這一方面的重視和研究，并在教學(xué)實踐中，合理運用數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法，引導(dǎo)學(xué)生通過“數(shù)”與“形”之間的靈活轉(zhuǎn)化，將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得具體、簡單，并通過分析題目中已知條件之間的邏輯與關(guān)系，突破傳統(tǒng)解題教學(xué)模式對自身數(shù)學(xué)思維造成的限制，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。