小學數(shù)學教學中數(shù)學推理的內(nèi)涵與推理能力培養(yǎng)

☉顧 俊

數(shù)學教育的主要目的，是為了讓學生懂得數(shù)學推理，同時要有推理的能力。數(shù)學推理被認為是學生數(shù)學素養(yǎng)中的核心內(nèi)容之一。早在1950年，我國就提出要培養(yǎng)兒童善于推理、分析的能力，同時要學會鉆研方法，培養(yǎng)學生樹立良好的學習意識。21世紀初期，我國實行課程改革，將數(shù)學推理能力作為提升數(shù)學教育的重要目標，要求對數(shù)學推理能力進行更加清晰的描述和分析。

一、數(shù)學推理能力的意義

在新頒布的高中數(shù)學課堂標準中，將邏輯推理能力作為學生的核心素養(yǎng)之一，要求學生能從多個層面分析發(fā)現(xiàn)問題，作為科學精神的重要核心內(nèi)容。因此，重視學生的推理能力，不僅對于數(shù)學一科有幫助，同時對于其他科目也都起著重要作用［1］。學生在談?wù)摰酵评磉^程時，通常會覺得自己對推理這個概念比較了解，但實際情況卻并不是如此，不同學生對于數(shù)學推理的理解存在很大不同［2］。除此之外，學生在不同學習階段，對于數(shù)學的推理看法也會有所差異。例如，在推理中，數(shù)學推理與一般推理具有何種關(guān)聯(lián)？如果學生對一些數(shù)學規(guī)律的變化總結(jié)失敗，是否可以采用推理方法？由上述分析可以了解到，培養(yǎng)學生數(shù)學推理能力，將數(shù)學推理能力融入到教學中，無論是對教學目標還是對學生未來發(fā)展都有重要意義。

二、理解數(shù)學推理

（一）數(shù)學推理內(nèi)涵

推理是指人們在生活或者學習過程中，常見的一種思維方式。不同學者對推理的理解有所差異。大部分學者認為推理與思考和推斷緊密相連，還有學者認為，推理最主要的特點是具有社會性。具體而論，人們所處環(huán)境不同，以及個體存在差異，因此，會有不同的觀點和判斷，對某一部分群體不證自明的觀點具有重要作用，但是并非適用于所有群體。推理就是篩選不同觀點的過程。這一過程需要不斷協(xié)商，同時也具有集體性的特征，推理與論證之間具有密切聯(lián)系，論證也可以稱為推理中的一部分，兩者所表達的內(nèi)容和含義相互關(guān)聯(lián)。推理主要包含數(shù)據(jù)資料以及理論成分。部分研究學者認為，推理的活動強化所處的環(huán)境與人際關(guān)系，說明是推理的主要定義，重視對邏輯性的正確和完整進行考察，涉及到的學科比較少［3］。大部分推理過程都是用于分析和評價論證，為人們提供所需要的證據(jù)。推斷實際上是一種基本行為，在日常生活和工作中，離不開推斷和思考，人們?yōu)樽约鹤龀鰶Q定和判斷、對未來做出計劃等都無法離開推斷。

（二）數(shù)學推理中的四種視角

在研究數(shù)學推理階段，存在多種分類方法、不同的表達和不同的類別，是因為研究人員對數(shù)學推理方面重視度不同。例如，在數(shù)學教學階段，推理需要重視學習過程還是學習結(jié)果？推理教學中，需要重點關(guān)注推理策略還是重點關(guān)注推理結(jié)構(gòu)？結(jié)合邏輯結(jié)構(gòu)進行分析，可以將數(shù)學推理從以下幾個層面進行論述。

第一點是從結(jié)果視角層面分析，這方面更關(guān)注的是推理過程中的邏輯結(jié)構(gòu)，重視結(jié)果。在解決數(shù)學問題的過程中，將推理作為解決問題的流程和方法，更加重視推理所得到的論點和結(jié)果。此種方面并不是對推理過程有所忽視，更多是需要學生分析和觀察，重視學生解決問題的結(jié)果。

第二點是從過程視角層面分析，這一視角不僅需要關(guān)注邏輯結(jié)構(gòu)，同時也要關(guān)注邏輯推理，重視推理步驟和推理對象。從這一層面出發(fā)的研究人員較多。部分學者提出，數(shù)學推理過程中包含對結(jié)構(gòu)與量進行有效推理和歸納。還有研究學者對于邏輯性和思維過程，進行數(shù)學推理，重點分析數(shù)學命題之間的內(nèi)涵傳遞，分析數(shù)學歸納和演繹推理過程的思維模式，是一種基本的體驗。

第三點是從社會的角度出發(fā)，添加推理過程的溝通能力和認知能力。通過與他人對話或者自我對話的方式，運用其中一個數(shù)學觀點，向另外一個數(shù)學觀點延伸，這種方式為數(shù)學推論的過程。例如，尋找差異和相同的過程，包含識別和猜想規(guī)律，由于在推理過程中，需要一定的例子來支持理論，因此，這種方式可以成為尋找異同點，也可以作為論證過程的支持。由此可以發(fā)現(xiàn)，個體具有非常復(fù)雜的思維活動，不同類型的推理活動，并不是按照一定次序推理的，而是根據(jù)不同推理過程進行推理的，不同推理過程之間相互影響和促進。

第四點為結(jié)構(gòu)性視角，這種推理方式是重視推理如何從主張走向結(jié)構(gòu)。分析構(gòu)成、推理、邏輯結(jié)構(gòu)之間相互聯(lián)系的要素。此種推理方式形式包含以下幾點：第一點為歸納推理，第二點為演繹推理，第三點為溯因推理。比較熟悉的推理方式是歸納推理和演繹推理。我國又將數(shù)學推理劃分為演繹推理和合情推理。合情推理是指把已有的事情作為基礎(chǔ)，根據(jù)自己的直覺與經(jīng)驗，通過類比和推理等方式，最終得出結(jié)論、公理等內(nèi)容。邏輯推理可以包含兩種，一種為特殊推理，還有一種為一般推理。演繹推理是能夠得到結(jié)論的一種推理方式，同時也是在數(shù)學推理中常常存在的一種推理方式。歸納推理實際上是對數(shù)學規(guī)律進行查詢，找到數(shù)學內(nèi)容相似點的推理。

三、小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生數(shù)學推理能力

推理所包含的范圍比較廣泛，無論從具體某一數(shù)學領(lǐng)域中進行推理，還是一般性的不同角度進行推理分析，在數(shù)學學習活動中，幾乎都有數(shù)學推理滲透其中。對于數(shù)學推理教學而言，無法提出公認的環(huán)節(jié)和程序解決所有問題，一般情況下，都需要學生靈活運用數(shù)學中的各種公式。在構(gòu)建學生數(shù)學推理能力框架的過程中，可以從鼓勵學生相互交流，設(shè)計課堂任務(wù)，營造良好氛圍，以及合理地對學生進行教學和評價等方面進行。除此之外，也可以通過以下兩個層面，促使學生數(shù)學推理能力得到提升。

（一）設(shè)計具有創(chuàng)造性的推理任務(wù)

在分析推理類型過程中，與模仿性推理進行比較，讓學生擁有創(chuàng)造性的數(shù)學推理更為困難，但這是培養(yǎng)學生數(shù)學理念的重要內(nèi)容。創(chuàng)造性任務(wù)是指讓學生獨立思考問題，同時也要探索問題所包含的真實含義。此處的創(chuàng)造性并非指設(shè)計的題目如何獨特和新穎，而是在事先不給予學生答案，讓學生獨立思考和分析，讓學生不斷探索和理解。部分教師覺得此種方式更容易操作。瑞典教科書中，在數(shù)學教學中大部分都是死記硬背和推理任務(wù)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，超過79%的學習任務(wù)都能夠采用簡單模仿的方式進行解決。在數(shù)學任務(wù)中，學生需要進入到解決問題的策略和步驟，同時能夠讓學生學會舉一反三，將其運用到新的問題之中。教師在設(shè)計教學內(nèi)容階段，要結(jié)合教材進行合理設(shè)計，引導(dǎo)學生不斷探索提高解決問題的能力［4］。例如，在學習《平行四邊形的面積》過程中，在教材中，將鋪草坪作為背景計算面積，同時也會提示學生如何做輔助線，之后告知學生平行四邊形與長方形面積之間存在的聯(lián)系，指導(dǎo)學生善于觀察，最后得出面積公式。通過教材可以看出，教師需要不斷引導(dǎo)學生，讓學生學會思考。思考過程能夠提升學生的推理能力，但采用此種方式屬于一種策略模仿。

教師在指導(dǎo)學生學習《圓錐的體積》過程中，如果教師僅僅使用一個與它相同等高等底的圓柱，將水或者沙子倒入在圓柱或者圓錐中。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，倒入圓錐中的水，如果倒在圓柱中，需要倒三次，學生就了解到圓柱的體積是圓錐體積的三倍。這種情況是只關(guān)注到推理結(jié)果。如果教師想讓學生更加注重推理過程，就讓學生猜測圓柱與圓錐之間的聯(lián)系，學生在沒有學習圓錐體積情況下，一定會通過計算面積的方式進行推理，這種推理類比過程會非常有趣。如果學生在推理過程中出現(xiàn)差錯，教師需要引導(dǎo)學生作出正確結(jié)論。學生在思考過程中就會更加具有創(chuàng)造性，不僅能夠在學習中進行猜測，同時也可以在學習中進行推理，讓猜測與推理融合，探測數(shù)學的結(jié)果［5］。教師為了能夠更好地設(shè)計教學任務(wù)，需要為學生提供假設(shè)與猜想，讓學生對已有知識進行分析和討論，同時也需要讓學生不斷學習、修改和調(diào)動，促使學生經(jīng)歷提出論點，尋找論證依據(jù)，最終得出結(jié)果等過程。在尋找數(shù)學答案階段，對于提升學生數(shù)學推理能力具有重要意義。一般的布置任務(wù)方式不具有創(chuàng)造性推理概念，無法有效地提高學生數(shù)學推理能力。創(chuàng)造性推理任務(wù)需要花費更多時間，不僅需要教師從創(chuàng)造性知識的難度中進行分析，同時還要篩選出數(shù)學中的各種情景和活動，除此之外，教師還需要了解學生的反饋，對于學生提出的問題做出指導(dǎo)。教師將課內(nèi)的創(chuàng)造推理逐步向課外延伸，或者將課內(nèi)外學習推理進行結(jié)合，也是培養(yǎng)學生推理能力的有效方法。

（二）指導(dǎo)學生表達和解釋推理

在數(shù)學教學過程中，很多學生能夠說出正確答案，但是無法解釋自己的看法和觀點，對于推理過程卻無法提供，這在數(shù)學教學中屬于一種普遍現(xiàn)象。例如，在數(shù)學研究中，分析數(shù)字1、4、7、10為何永遠不會出現(xiàn)三的倍數(shù)？有些學生會回答是由于數(shù)字規(guī)律是加3，因此無法促使得到的數(shù)字是3的倍數(shù)，有一類學生會舉出例子進行回答，將其中的一些數(shù)字作為例子，說10不是3的倍數(shù)，還有一些學生會提及到數(shù)列，將1作為開始，因此，最終得到的數(shù)字不會出現(xiàn)3的倍數(shù)。完整的解釋是，由于數(shù)字是由1開始，因此，所得到的數(shù)字永遠會比3的倍數(shù)多1。

在分析過程中學生也有自己的想法，但是缺少推理環(huán)節(jié)，因此，學生的推理思路無法得到建立。教師在教學過程中，需要引導(dǎo)學生對答案進行描述，要使用一些邏輯語言。例如，因為……，所以……等。讓學生學會為自己的結(jié)果作出解釋，幫助學生合理地表達數(shù)學過程。在教學過程中，培養(yǎng)學生推理能力是重要目標。數(shù)學推理是提升學生素養(yǎng)的關(guān)鍵所在。雖然大部分研究者已經(jīng)對推理等進行分析和概括，但在小學數(shù)學推理過程中，更需要重視關(guān)注學生的推理過程。指導(dǎo)學生進行推理，不要在意推理過程是否合理，不需要對創(chuàng)造性推理和模仿推理進行嚴格區(qū)分，最重要的是讓學生能夠?qū)W會假設(shè)，讓學生在假設(shè)之后不斷思考和表達，這個過程就是學生經(jīng)歷的數(shù)學推理過程。例如，在學習《三角形面積》過程中，教師可以讓學生由猜想開始，然后根據(jù)自己所學的知識進行分析，最終得到結(jié)果。或者是教師給出三角形面積的計算方法，讓學生對結(jié)果進行推斷和分析，這種也是推理過程。數(shù)學推理過程包含學生的推斷和思考，在思考過程中，既包含創(chuàng)造性的思維能力，同時也包含批判性思考能力，學生在不斷判斷和檢驗中得到正確論點，通過在推理中不斷創(chuàng)造，最終得到新的理論。想要促使學生學會推理，并不是讓其在某一節(jié)數(shù)學課堂上進行推理，而是要讓推理過程貫穿于整個數(shù)學課堂。對于教師而言，也需要具備推理的意識和思維，掌握科學的推理方式，合理求證，在指導(dǎo)學生階段，體現(xiàn)數(shù)學學科的學習特點。

綜上所述，教師在教學階段，培養(yǎng)學生數(shù)學推理能力具有重要作用，不僅可以促使學生更好地學習數(shù)學，同時也可以培養(yǎng)學生的思維能力。但是，在培養(yǎng)學生數(shù)學推理能力的過程中，創(chuàng)新性推理所涵蓋的內(nèi)容較少。因此，需要教師不斷完善。教師通過設(shè)計支持創(chuàng)新性推理內(nèi)容，鼓勵學生表達和推理過程，有利于培養(yǎng)學生數(shù)學推理能力，促使學生在學習階段能夠不斷思考，提升思考能力和思維能力。學生在不斷推理中小心求證，能夠體現(xiàn)出數(shù)學科目的學習特征。希望文章的分析，能夠為小學數(shù)學教師提供一些教學建議，為培養(yǎng)學生數(shù)學推理能力獻方獻策。