尋試題本質(zhì) 探解題教學(xué)
——一次說題比賽的感悟

浙江工業(yè)大學(xué)附屬德清高級中學(xué) (313200) 施利強(qiáng)

說題比賽過程一般包括說背景、說解法、說引申、說反思、說教法等五個環(huán)節(jié).在有限的時間內(nèi)對一道試題進(jìn)行多方位的解讀和挖掘確實(shí)很考驗(yàn)參賽者的解題能力和專業(yè)素養(yǎng).本文結(jié)合筆者現(xiàn)場說題實(shí)際，探索試題的本質(zhì)，反思并加以探索解題教學(xué).比賽時筆者抽到了的試題如下.

圖1

1、試題解法

圖2

此時目標(biāo)式中有參數(shù)t和y1，為了得到定值，有以下的三種處理辦法.

圖3

評注：說解法的過程應(yīng)當(dāng)多角度分析試題，由于時間限制，可以講出關(guān)鍵步驟，突出亮點(diǎn)解法.筆者現(xiàn)場給出了以上三種代數(shù)解法，解法1和解法2設(shè)點(diǎn)設(shè)線的方法是解決圓錐曲線問題較為常見也是極為重要的處理手段，解法3利用了題目曲線類型的性質(zhì)，借助于向量投影工具表示線段長度.在我們平時的解題教學(xué)過程中，一題多解的教學(xué)過程中更應(yīng)該注重讓學(xué)生學(xué)會用通性通法分析問題、解決問題，并歸類總結(jié)每種方法的適用范圍和優(yōu)缺點(diǎn)，從而學(xué)會解題方法的抉擇.

圖4

評注：解析4結(jié)合拋物線的定義、光學(xué)性質(zhì)以及極坐標(biāo)方程，給出了一種幾何解釋.該方法挖掘了焦點(diǎn)弦和切點(diǎn)弦的夾角與焦點(diǎn)弦傾斜角的關(guān)系，并進(jìn)一步利用角度關(guān)系表示各個線段長度，從而得到定值.

2、試題本質(zhì)

解析5：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線l的方程為x=ty+1，由

圖5

分析于此，筆者也完成了說題過程.由于現(xiàn)場時間有限，比賽結(jié)束后筆者意猶未盡，并進(jìn)一步思考.實(shí)際上，一定背景下命制的試題作為考題在一定程度上有失公平，在高考試題中也盡量會回避該類試題.但從本次說題的試題來看，筆者認(rèn)為如果在一定背景下命制的試題如果能從通性通法角度解決，或者能多角度得考察學(xué)生的分析能力，那也會較好得達(dá)到試題考察的目的.另一方面，如果也有學(xué)生能更進(jìn)一步挖掘試題的本質(zhì)，也能充分展現(xiàn)學(xué)生的綜合能力.

3、變式拓展

變式1 如圖6，過點(diǎn)C作直線平行于x軸交拋物線于點(diǎn)N，其他條件不變.證明：直線MN平行于直線AB且與拋物線相切.

圖6

評注：變式1的命制背景如圖7，過拋物線焦點(diǎn)的阿基米德三角形QAB底邊AB上中線QC的中點(diǎn)N在拋物線上，且過點(diǎn)N的切線平行于底邊AB.變式1仍舊以圓為依托給出垂直以及中點(diǎn)的條件，該背景命制的試題為非對稱代數(shù)問題，能較好地考察學(xué)生代數(shù)運(yùn)算能力.

圖7

變式2 如圖8，已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過定點(diǎn)P(2,2)作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限內(nèi))，線段AB的中點(diǎn)為C.過點(diǎn)C作x軸的平行線交過A且與拋物線相切的直線于點(diǎn)Q.求線段PQ長度的最小值.

圖8

圖9

圖10

4、教學(xué)感悟

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵之一是學(xué)會解題，解題教學(xué)也是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要部分.說題比賽活動是提高我們教師專業(yè)素養(yǎng)的有效方式，通過解題、說題，反思解題教學(xué)，從而提高課堂效率.通過本次說題比賽，筆者對解題教學(xué)有如下的感悟.

(1)解法生成得自然一些

我們平時教學(xué)過程中一味地追求一題多解和巧妙解法，但學(xué)生并不一定能較好得掌握和運(yùn)用.所以，我們解題教學(xué)時更應(yīng)該注重每種解法的生成過程，讓學(xué)生掌握通性通法解題的同時也要給每種解法尋求一個合情合理的解釋，讓解法生成得自然一些.只有這樣，才能讓學(xué)生教好地融入到解題的思維過程中，讓他們深刻得體會到每種解法的生成也都是自然的，并能在相似題型中靈活運(yùn)用各種解法.例如2018年和2021年浙江省解析幾何試題重在考察設(shè)點(diǎn)設(shè)線方法的選取，考察的就是學(xué)生對通性通法的掌握程度與靈活運(yùn)用的能力.

(2)拓展延伸得廣闊一些

數(shù)學(xué)試題猶如寶藏，有無窮無盡的財(cái)富等待我們?nèi)ネ诰?另外，一個問題運(yùn)用優(yōu)秀解法解決之后必定會引發(fā)新的思考.因此，拓展延伸是解題教學(xué)受到較好成效較為重要的一個環(huán)節(jié).但是，教師對于拓展延伸并不是直接給予的，而是適當(dāng)引導(dǎo).教師可以給學(xué)生一個拓展探索方向，可以是知識點(diǎn)方面或者是數(shù)學(xué)思想方法上的延伸.例如，2017年的解析幾何試題可以用向量法解決；2020年的解析幾何試題還可以借助于判別式法、基本不等式、伸縮變換等手段求解.讓學(xué)生體會到問題研究的相關(guān)性，從而獲得一般的研究方法.

(3)本質(zhì)挖掘得深刻一些

挖掘試題的本質(zhì)是解題教學(xué)的升華階段，每一個數(shù)學(xué)問題的背后都有數(shù)學(xué)本質(zhì).解題教學(xué)不能只停留在解決試題本身，只看到問題的表面.我們應(yīng)該帶學(xué)生深入揭示試題的本質(zhì)，從而看透問題.例如，2019年的解析幾何試題最值的取得與拋物線并無關(guān)系；2021年的八省聯(lián)考試題的母題來源于課本.挖掘過程可以在課堂中完成，也可以在課后讓學(xué)生自行完成，從而使問題的解決變得更加自然，也進(jìn)一步讓學(xué)生的思維能力得到提高.