根據引力波理論推導萬有引力公式及其意義

摘?要：本文從引力波性質的途徑推導出牛頓萬有引力公式;及對萬有引力進行一定的現代邏輯分析;尤其與引力波推導過程相關聯，輕易理解出了對6個知識的理論認知——空間兩個物體都互自吸引對方，互自吸引對方的引力大小相等，引力波是物體間形成引力的直接唯一關聯，引力常數或公式可否修改的新視角分析，關于引力波強度等數據換算，城市居民獲得的森林保健效益大小與距離城市森林公園遠近的函數關系等。

關鍵詞：引力波;推導萬有引力公式;邏輯悖論;關聯意義;森林保健效益輻射

萬有引力定律以其不可撼動的科學地位奠定了天文學基礎，現在若從引力波的角度推導萬有引力公式，則使牛頓時代當初與引力相關聯的一些復雜問題能得到簡潔而清晰地證明，而對其他學科的認識也或有一定的啟示。

1?根據引力波推導萬有引力公式

廣義相對論預言物體間的引力通過引力波發生[1]。2015—2016年LIGO科學合作組織（美國加州理工學院和麻省理工學院的合作實驗室）兩次探測到了宇宙的引力波，從而使相對論預言之一的引力波假說得到實證。

也就是超距的兩個M和m的物體（多個物體也同理）各自發射引力波，通過自身發射的引力波互自吸引對方。即，引力=M發射的波對m物體的作用+m發射的波對M物體的作用，而不是兩個物體發射的引力波相遇后發生勾連互拽構成引力，因為波的疊加原理是介質中同時存在幾列波時，每列波能保持各自的傳播規律而不互相干擾。那么物體M以重心為波源中心向外擴展產生圓形波，到達距離R的物體m重心處的球形波面波強度（即引力場強度）大小與M對m的引力大小成正比[2]，也與m質量的大小成正比，而M擴展到m處的波強度與M的質量成正比，與以M重心為球心到達m重心處的球面面積成反比。可以認定M重心處波強度為kM（k為由質量換算為波強度的一個常數）。

從以上可以看出，引力與距離的平方成反比的正確結果是從波的角度推導的;若草率地臆想從體積擴散與距離的關系思考，則會得出引力以距離的立方成反比遞減的錯誤結果。

2?關于牛頓對萬有引力公式的推導

牛頓根據開普勒第一定律、第二定律、第三定律的天體運行規律、胡克等發現萬有引力及引力與距離的平方成反比規律、牛頓第一定律、第二定律、第三定律、尤其牛頓為歸納萬有引力規律以劃時代的天才而創造了他形象地稱之為“流數術”的數學方法，并基于天體運行的離心力大小等于引力，經過復雜的精確推演導出了萬有引力公式。

在那還未發現引力波的時代，完全依靠觀測數據推導出了公式，是以觀測數據為牢固基礎得出了不可動搖的定律。而現在以引力波規律推導萬有引力公式，則推導方法跟庫侖定律公式推導一樣超乎簡單。當然應用引力波的推導方法不能代替牛頓的方法，因為沒有牛頓時代對萬有引力的偉大發現，相對論也不一定能預言引力波，也就更不一定有近年對引力波的探測。

現在網絡上有一些萬有引力公式的其他推導方法，總體上是簡單地按行星圍繞恒星以圓周軌跡運行，以所謂近似代替橢圓軌跡為出發點，應用代數方程略作復雜推算，即得出了正確的萬有引力公式，但推導方法是不對的。一是不能以稱作“近似”為出發點，因為初始計算差之近似，結果則可能謬以千里;重要的是數學推導在這里不允許近似。二是所有的行星圍繞恒星和所有的衛星圍繞行星都以橢圓軌跡運行，被圍繞的恒星和行星都處于橢圓的一個焦點上（開普勒第一定律），而以圓周運行代替橢圓之所以得出正確結果，碰巧源于圓形屬于橢圓的特殊形式（普遍性寓于特殊性之中）。特殊性不能代替普遍性進行推導或證明，就如用勾股定理不能直接證明余弦定理是一樣的（余弦定理a2=b2+c2-2bccosα，勾股定理只是余弦定理的特例）;同樣類似地也不能用sin2α+cos2α=1來證明勾股定理，因為sin2α+cos2α=1來源于勾股定理，它僅是屬于勾股定理的一個變型。相反，牛頓不僅用“流數術”對行星按橢圓運行軌跡進行了推導，而且還擴大了普遍范圍的推導，都導出了同樣的萬有引力公式。

總的看，僅限于目前時段內，最簡單又信服的推導途徑是根據引力波推導。

3?與之引力波推導萬有引力公式相關聯的意義

3.1?空間兩個物體都各自吸引對方

在萬有引力學說發表之前的一段歷史上，一度有過疑問，是否大物體只單方面吸引小物體，而小物體被動吸引，不吸引大物體。把物體間的引力理解成大質量物體只吸引小物體，而小物體不吸引大物體;大物體對小物體的引力大，小物體對大物體的引力小;兩個質量相等的物體相互吸引力相等;或兩個質量不相等的物體相互吸引力也相等……可有多個選項。

所謂“大質量物體只吸引小物體，而小物體不吸引大物體”似乎這種單方面吸引現象可以存在。例如：磁鐵吸引鐵，而鐵不吸引磁鐵。

而對萬有引力，實際是只有2個物體都相互吸引對方才是符合邏輯的，用如下反證法可以證明：

以上是通過現代邏輯方法證明的。牛頓時代是通過大量觀測數據證明的。而現在通過引力波理解，簡直就簡潔得不需要證明，因為任何物體都發射引力波，所以物體間都是相互吸引的，都不是單方面的。

3.2?兩個物體各自吸引對方的引力大小相等

牛頓第三定律發現的是：兩個相互作用的物體，作用力和反作用力大小相等，方向相反，作用在兩個物體上。這個定律不僅在理論上說得通，因為理論上它屬于牛頓第二定律的特殊形式，而且通過試驗還得到實證。而兩個物體的相互引力大小是否相等則不屬于牛頓第三定律涉及范圍。有人把相互引力大小相等解釋為依據牛頓第三定律是不對的，一個物體對另一個物體的引力和另一個物體由于被吸引而產生的大小相等方向相反的拖曳力屬于牛頓第三定律范圍（例如離心力等于吸引力，萬有引力公式就是依此推導的）。

相互吸引的兩個質量不用的物體M和m（M>m），各自吸引對方的力大小相等，可以用邏輯推理獲得證明：

如果M的質量是m的k倍（k為正整數），則可以把M（M=km）分成k份，其中每份分別吸引m，那么M對m的引力就是k倍2個m之間引力之和的一半;反過來，那么m對M的引力也是k倍2個m之間引力之和的一半。即M和m兩個物體各自吸引對方的引力大小相等。

如果k不是整數，可以將M和m分別分成若干份，使所有的每份質量都相等，仍然可以得出M和m兩個物體各自吸引對方的引力大小相等。

當然在牛頓時代，通過大量天體觀測已經證明了，兩個物體各自吸引對方的引力大小相等。

現在根據引力波對萬有引力公式的推導過程，由（2）式和（3）式可知，FM→m=Fm→M，即M對m的引力和m對M的引力大小相等，可以干脆簡潔地證出，使復雜的問題變得清晰明了。

3.3?引力波是物體間形成引力的直接并唯一關聯

引力波使空間的物體間作用顯現為引力，根據引力波直接推導的引力（4）式F=GMmR2可看出，它與牛頓萬有引力公式完全一樣，即完全相等。這證明萬有引力完全源于引力波。如果通過引力波推導的引力大于牛頓萬有引力公式的力，則說明物體間還摻有某種排斥力;如果引力波引力小于牛頓萬有引力公式，說明還有其他引力存在。而（4）式表明，恰好與牛頓公式相同，證明引力波是直接并唯一形成萬有引力的因素。這個結論可為解決有關引力問題從波的角度又提供一個途徑。

3.4?關于引力常數等適用范圍的問題

引力常數G=6.67×1011N·m2/kg2的數值不是推導出來的，需通過單獨試驗測定。在牛頓1687年發表萬有引力學說（《自然哲學的數學原理》）的111年后（1798年）英國科學家卡文迪許完成了科學發展史上有重要影響的扭秤試驗，第一次成功測出了萬有引力常數值。有了這個常數值，使地球的質量得以輕易測出，繼而其他觀測到的與地球有數據關聯的天體質量則均得可知。

后有科學家根據天體運行現象分析，疑問萬有引力常數能否隨著空間的不斷擴大或在不同的空間區域依然恒定不變。例如德國天文學家胡戈·馮·澤利格首先提出，對于很大的距離而言，兩個質量之間的吸引力減小的速度是否要比按照距離平方反比定律得出的結論快得多[2]，以解釋宇宙星系分布等現象。代價則是給牛頓理論進行修正并使其更加復雜，但還缺少經驗根據和理論基礎[2]。

現在根據引力波理論推導出萬有引力公式，從這個理論角度看，大到一定距離的范圍外，萬有引力常數或整個萬有引力公式的形式是否可變，還牽涉到波的理論——理論是否可發展或不容改變，對類似澤利格提出的疑問，則從波的性質角度又提供了一個思考途徑。

3.5?根據波強度等對其他數據進行推測

根據（1）式引力波強度=kM4πR2可知，在探測到一個遙遠天體或星系的引力波強度后，則可知其質量（到達地球的距離可以通過光線的紅移或紫移等測得[4]）;或已知其質量而推知波強度;以及對相關理論推演或許有用。

3.6?對其他應用學科的啟示

引力波的思維在其他應用學科上也有一定的啟示價值。例如在林業方面，樹木的次生代謝會釋放出種類繁多的對環境和人體健康有益的揮發性物質松脂、丁香酸、檸檬油、樹木香精油、肉桂油、單萜烯、倍半萜烯、雙萜烯、負氧離子等，大多都具有殺菌、抗菌、抗炎、抗癌、抗微生物、增強免疫力等作用，這些物質被統稱為植物精氣[5]。一般來說，城市鬧市區空氣的病菌含量是森林內的50倍[5]。瑞典科學家研究表明，居民距離綠地遠近與人的健康關系密切[5]。那么在沒有風力影響的時候，森林公園是隨時間持續不斷的植物精氣輻射輸出源，它向外輸出的粒子（植物精氣分子）濃度隨距離的梯度遞減變化與球形波是一樣的（不是森林輸出有限粒子后就停止輸出，然后自然擴散開）。這個特點歸從于波粒二象性。由此啟示，居民吸收森林的植物精氣量即森林保健效益輻射與其相距森林公園距離的平方成反比。這個遞減速度要比以往簡單認為的與距離成反比快得多，也不能錯誤臆想成精氣呈體積擴散與距離的立方成反比遞減。由此證明，建設城市森林公園數量要有更多的必要性。依次思路若進一步具體化應用，也可以推導出一些公式。

以上輻射強度隨距離的遞減規律在其他方面應用也有一定的參考價值。例如，距離濕地一定距離內空氣相對濕度的遞減，蕨類和蘑菇種群擴大進行的孢子傳播，殺蟲劑白僵菌、綠僵菌等感染害蟲的真菌孢子擴散，除草劑在空氣中的藥害擴散，昆蟲性信息素擴散，等等。

結語

以上對萬有引力公式從引力波的角度推導，以及由此而引發的6個與之相關聯意義的思考，僅是開闊了一些對知識認知的思路。而從伽利略到牛頓時代，是那些燦若星辰的偉大科學家們才給人類帶來了望見宇宙的曙光;繼而再到愛因斯坦以至到2016年引力波的成功探測實證，更不斷照亮了宇宙深空。此文即是對引力定律的引力波角度感悟和由此的啟發應用。然而科技同聯，它不僅使林業對有關知識的認知有所啟示，對其他學科也會啟發更清晰深入的認知。

參考文獻：

[1][美]阿爾伯特·愛因斯坦.相對論[M].易洪波，李智謀，譯.南京：江蘇人民出版社，2011.

[2][美]阿爾伯特·愛因斯坦.相對論[M].張倩綺，譯.北京：北京理工大學出版社，2017.

[3]楊熙齡.奇異的循環——邏輯悖論探析[M].沈陽：遼寧人民出版社，1987.

[4][英]史蒂芬·霍金，列納德·蒙洛迪諾.時間簡史（普及版）[M].吳忠超，譯.長沙：湖南科學技術出版社，2006.

[5]郄光發，房城，王成，李春媛.森林保健生理與心理研究進展[J].世界林業研究，2011（3）：3741.

作者簡介：溫勇（1989—?），男，吉林四平人，滿族，機械電子專業和計算機科學與技術專業雙本科，雙學士，工程師，主要從事理論物理研究、建筑工程電子設備安裝和設計等工作。