突破《幾何》難教難學的幾點思考與探索

郭海英 王元恒

摘?要：針對中學《幾何》課程的難教難學，進行了幾點思考與探索，引導學生規范幾何語言和識圖來培養學生思辨與創新能力，結合初中平面幾何內容挖掘中國古代成就提高學生學習興趣，運用動點動圖的運動觀點發掘教材中辯證因素，堅持理論聯系實際進行一些幾何測量與實驗，講授一些高等數學知識和難題去激發學生的興趣和創造力，從而在中學平面幾何的教學中自然而然地提高學生們學習《幾何》的興趣和語言能力、思辨能力以及創新能力。

關鍵詞：平面幾何;幾何語言;思辨能力;創新能力

人們普遍認為，《幾何》課程內容在整個中學數學中是老師難教、學生難學的內容之一[1]，也是初中數學的重要內容之一，是大部分初中生學習數學好與壞的“分界嶺”。所以，關于平面幾何的教學與改革一直是熱點問題之一，人們在理論方法和實踐教學上對初中《幾何》的教學和內容體系上也多有研究[25]。針對中學《幾何》課程的教學，如何提高教學質量，促進教育教學研究，加強幾何基礎知識的教學，發掘教材中辯證因素，克服學生學習幾何的“抽象、難學”傾向，提高學生的幾何素質和識圖能力、思辨能力以及創新能力，我們進行了如下幾點思考與探索，供大家商榷。

一、引導學生規范幾何語言和識圖，培養學生思辨與創新能力

在平面幾何的學習過程中，推理論證是培養學生思維能力的基本訓練形式。推理論證的困難就在于學生識圖不準、幾何語言表達不清，幾何中的定義、法則、公理、定理、條件、結論等都要求用嚴格規范的幾何語言來敘述，而且有敘述上的特點和方式，不同于學生們生活語言和習慣性語言，語言之間有著較大的差異和特殊性。教師要循序引導，對幾何語言的文字表達要準確簡練，排除一些日常生活口語的影響。例如，“點P在直線L外”，或者說“點P不在直線L上”都可以，而有些學生說成“點P在直線L的上面（上邊、下面、下邊、一邊）”就不夠準確。用文字敘述反映圖形時，不能產生歧義，提高語言表達能力，點必須指明在什么地方，線必須說明在什么位置，對于“任取一點”“取定一點”“存在一點”“存在有”“有且只有”等幾何語言描述必須透徹理解，消除幾何語言與生活語言的差距。教師在教學過程中必須先要求自己幾何語言規范準確，對學生起到示范和潛移默化的熏陶作用，對學生的不規范語言要及時糾正，要求學生仔細聽課，先學會模仿老師的幾何語言，再達到掌握和會用幾何語言，這對幾何課程思政教學中解決推論論證難、提高學生的思維能力有著重要作用。

識別并畫準幾何圖形，是證題的基礎和前提。在《幾何圖形》的教學中，畫圖可以使學生正確理解概念、提高學生的思辨創新能力，是學好幾何的至關重要的一環。培養學生識圖作圖能力，提高學生幾何素養要從易到難、從簡單到復雜，畫好基本圖形是培養學生觀察認識能力、學習幾何的基本功。識圖能力提高了，解題創新能力必然增高，因此，引導學生從不同角度觀察分析教材中的基本圖形并進行適當的演變，從而掌握這些基本圖形及其相對應的性質結論。

學生會不會進行正確的推理幾何命題，很大程度在于會不會分析圖形，而圖形的準確、規范，對于學生們的思維思考起著不可估量的作用。幾何圖形千變萬化，每種圖形的性質在教材中不可能一一列出，給出的定理、公式也只是最基本的，只能作為幾何題目推理、論證的基礎。例如，有時候一個幾何圖形的線條縱橫交錯，局部圖形重疊，給學生識別基本圖形造成困難，進而給推導論證命題造成困難，這時候圖形準確對于觀察圖形更顯得重要，這就需要老師引導學生將復雜圖形進行分析，構造出有用的簡單圖形，應用它們的性質和聯系，給出推理論證打開新局面，找出正確的解題方法和答案。因此，培養學生的識圖能力，是學好平面幾何、形成良好的邏輯思維能力的重要前提。例如，在平面幾何圖形中有一些特殊點（中點、切點、起點、終點、對稱點等）、特殊線（三角形中位線、中線、高線、角平分線、高線、圓的弦線、切線連心線等），要注意觀察應用這些點和線的特殊性質及其在幾何證明題中所起到的重要作用，通過反復練習，使得學生掌握這些圖形的特征，培養學生的識圖能力、解題能力、推理能力、邏輯思維能力和創新能力。

二、結合平面幾何內容挖掘中國古代成就，提高學生學習興趣

在平面幾何教學中，結合傳授知識技能，把愛國主義教育融于教學之中，讓學生了解中華民族在數學創造和幾何圖形應用上的光輝歷史[6]。在《圓的有關性質》教學中，通過對求拱橋半徑的講授，向學生介紹了我國隋代著名的能工巧匠李春設計并參加建筑趙州橋的光輝業績，告訴學生在當時技術設備低劣的情況下，能夠建造這樣宏大壯觀的橋梁，在世界上任何一個國家都是無法比擬的。借此培養學生的愛國主義熱情和自豪感，提高學習興趣。

在《正多邊形和圓》教學中，向學生講述了在圓與正多邊形的研究上，中國在世界數學發展史上有過重要地位。1800年前的著名數學家劉徽，首先發明了“割圓術”，為圓周率的計算奠定了基礎，借助于內接正多邊形和極限的概念，計算圓的面積和圓周率，推導得出圓周率約等于3927/1250≈3.1416這個重要數字，比起阿基米德的工作，事半功倍;同時，“割圓術”的思想，也正是現代數學《微積分》的思想，“割得越細，差距越小，割了又割……”，為了證明這一理論、更加精確地計算圓周率，劉徽將切割工作進行得十分仔細，最后他計算到了3072正多邊形的面積。南北朝時偉大的數學家祖沖之，繼承了劉徽的思想，計算到了內切和外切24576正多邊形的面積，得到了圓周率更精確的值，是大于3.1415926而小于3.1415927，這個結果比西方國家領先了1100多年;祖沖之還是第一人用分數22/7（約率，或者祖率）和355/113（密率，七位精確數字）表示圓周率，這兩個分數的結果直到現在人們還在應用。還有我國西周時期“商高論矩”“勾三股四玄五”，說明我們祖先的“勾股定理”比西方的畢達哥拉斯學派發現的“畢達哥拉斯定理”早了500多年，但是到現在為止，西方學者還繼續稱我們中國的“勾股定理”為“畢達哥拉斯定理”。通過多多挖掘平面幾何課程中的中國古典發明創造和歷史文化背景知識，借助于我們祖先的偉大數學成就，激發學生們愛科學、愛民族的熱情，振奮學生們自強不息的奮斗精神。

三、運用動點動圖的運動觀點，發掘教材中辯證因素

在平面幾何教學中，堅持運用辯證法的觀點進行教學，注意發掘教材中的辯證因素，引導學生弄清概念與概念、命題與命題、概念與命題之間的區別和聯系，認識幾何中的矛盾和本質，貫穿事物運動和變化的觀念，從具體事物的分析中總結數學規律，培養學生的辯證唯物主義世界觀。在《相似形》的教學中，反映“互逆關系”的相應性質與判定，突出“知識聯系、思想遷移”，圍繞一系列知識點展開探究，運用類比的方法，揭示相似三角形和全等三角形判定之間的一般與特殊的辯證關系。通過對實物的模型、圖片的觀察，運用相似變換的數學思想，揭示幾何圖形在變換過程中的不變量和不變性，說明相似三角形的對應角相等對應邊成比例是本質，全等三角形通過移動和轉動可以使他們完全重合在一起，并通過比例規的制作與圖形的繪制，培養們的運動與靜止、變與不變的辯證思想。

在講授《軌跡》時，通過對某一事物的投擲和運動，讓學生觀察事物的運動路線，使得學生理解軌跡是點運動留下的痕跡、明白軌跡圖形的來源。例如，直線可以看成一個動點沿著一個方向前后運動的軌跡;射線可以看成一個動點沿著一個方向一直向前運動的軌跡;線段就是一個動點從起始點運動到終點的軌跡;平面可以看成一條直線上下運動的軌跡，也可以看為一條直線按照直線一個定點旋轉一周而形成的軌跡。圓周就是一個動點到一個定點的距離等于一個定常數的動點軌跡，定點就是圓心、定常數就是半徑。在判斷軌跡時告訴學生，不是先有圖形再判斷點是如何運動的軌跡，而是根據運動規律判斷點的運動軌跡，再找到它所形成的圖形，從而加深了學生們對軌跡本身的本質理解。

四、堅持理論聯系實際，進行一些幾何測量與實驗

在教學過程中，要注意從實際問題出發，進行科學的抽象和必要的邏輯推理，得出數學概念和規律，然后把這些知識應用到實際中去，讓學生明白數學知識的重要性。例如在學習平面幾何時，先介紹幾何學的發生、發展的歷史，使學生明白幾何學是來源于社會生產、生活實踐，又服務于社會生產和生活實踐的一門學科，再通過一些活生生的事例加以說明，把理論與實際統一起來，溝通學科與學生之間的情感，逐步培養學生們解題和證明題的能力。

注意通過生活中學生熟悉的實例，講解平面幾何的抽象知識，激發學生們學習幾何的積極性和濃厚興趣，讓逐步感受數學美。例如，當講授《黃金分割法》時指出，0.618正是最美最巧妙的比例，中國的故宮、法國的巴黎圣母院的設計中都融進有“黃金分割”比例，古埃及的胡夫金字塔、米羅的維納斯塑像和美麗的五角星中的一些長度比例也都是0.618，甚至一個人的身材勻稱美的數學表示可以應用“黃金分割”：肚臍之上身體與肚臍之下身體的長度之比以0.618為標準，等等。在對教材中一些符合或者間接符合實際情況的例題和習題的處理中，告訴學生幾何知識可以解決工業農業生產實踐中一些度量、計算、檢驗、劃線等問題，都是幾何知識的實際應用，也可帶領學生進行實際實地測量。例如，學習過相似三角形后，可以帶領學生們拿一根木棒、尺子去太陽底下，通過測量木棒的長度和影子的長度，以及樹的影子或者某一建筑物的影子長度，就可以計算出樹高或者某一建筑物的高度。也可以帶領學生們拿著尺子去河邊，不用過河就可以測量出河寬：確定河對岸兩個目標，在河本岸這邊選定一點，與對岸兩目標一起在本岸這邊做出兩個相似三角形，通過本岸的三角形的測量就可以計算出河寬（另一相似三角形的一條邊）了。這些實例使得學生好像漫步在山花爛漫的幽境之中，產生對數學美的執著追求，啟迪思維，擴大視野，豐富強化了對數學幾何學的良好情感。

五、講授一些高等數學知識和難題，激發學生的興趣和創造力

由于興趣對于未來活動具有準備性的作用，所以在平面幾何的教學過程中，若能結合教材給學生講授一些他們沒有學到、或者不知道的高等數學知識和世界難題，可以使得他們對于將來所要學習的知識粗略了解一點，盡早引起數學興趣，促進現在的幾何學習，對將來的學習活動起到積極的定勢作用。也可以給學生介紹一些世界難題，特別是學生們既能夠懂得又喜歡知道的數學難題，可使得學生們的大腦有問題思考、常處在積極思維狀態，這樣既可以開發他們的智力和創造力，又可以使得他們能夠為自己知道一些世界難題而感到自豪，并在幼小的心靈中樹立起進一步渴望學習，或許可以解決世界數學難題的沖動目標。例如，在講授幾何圖形面積后，可以提問學生：“長方形面積、三角形、圓的面積都有公式可以求得了，那么由任意曲線圍成的圖形面積怎么求呢？”這樣順勢就給學生說明了《微積分》知識的一些重要應用和一些簡單性質，使他們對將來學習《微積分》知識早產生求知欲和輕松愉快感覺。在講到圓周率時，可以提問學生：“圓周率是有理數是無理數？現在人們是怎么計算的？”這樣可以簡單地給學生介紹了圓周率的性質和大學《計算數學》課程，也可以讓學生們背誦圓周率小數點后許多位：3.1415926535897932384626…，使得學生產生自豪感和愉快感。在給學生講“平行線”時，有定理（公理）：“過已知直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。”可以順便啟發學生：“為什么只有一條直線與已知直線平行？有兩條行不行？沒有一條行不行？”接著可以告訴學生們，“有且只有一條直線與已知直線平行”是我們初中平面幾何（也稱為歐幾里得幾何）五大公理之一等價的定理，否定了這個定理，也是否定了歐幾里得幾何的公理體系;俄國數學家羅巴切夫斯基從“過已知直線外一點，有2條直線與已知直線平行”出發，建立了《雙曲幾何》（也稱為羅巴切夫斯基幾何），這種幾何中“三角形的內角和小于180度”;德國數學家黎曼從“過已知直線外一點，沒有直線與已知直線平行”出發，建立了《橢圓幾何》（也稱為黎曼幾何），這種幾何中“三角形的內角和大于180度”，其實在我們的地球上航海航行用的就是黎曼幾何，愛因斯坦的相對論的數學基礎也應用了黎曼幾何;在我們大家社會生活中的較小范圍內，才可以把曲面看成平面，才能應用《平面幾何》（即歐幾里得幾何），《雙曲幾何》和《橢圓幾何》統稱為《非歐氏幾何》。在講授初中數學平面幾何的《勾股定理》后，順勢給學生介紹一道曾是300余年、懸賞最高100萬馬克（錢）的世界難題“費馬大定理：任何一個大于2冪次的數，都無法表示為兩個同冪次的數之和”。學生們聽后群情激昂，大有躍躍欲試之勢，甚至連過去不太努力學習的學生都會因這樣的問題而產生遐想……這樣自然而然地進行中學平面幾何課程的教學，大大開闊了學生視野，培養了學生們的學習興趣和創新思維能力。

參考文獻：

[1]劉梅芳.如何解決農村初中七年級幾何“入門難”的問題[J].新課程·上旬，2014，（7）：122.

[2]王海青，曹廣福.從《原本》談中學平面幾何課題式教學研究[J].數學教育學報，2021，30（05）：3946.

[3]張昆.一種平面幾何入門教學模型的應用[J].通化師范學院學報，2020，41（02）：8994.

[4]邱冬，王光明.平面幾何教學的新視角—“示以思維”——基于章建躍先生對“研究三角形”的過程分析[J].數學通報，2018，57（08）：2730.

[5]李亞蘭.培養學生的數學興趣，推行素質教育[J].學周刊A版，2013，（8）：110.

[6]陳麗萍.數學教材中的中國古典數學教學研究[D].遼寧師范大學，碩士（專業：學科教學（數學），2020.

基金項目：浙江省杭州市高層次人才資助項目（2021.11.29）;國家自然科學基金面上項目“幾類非擴張變分系統問題的迭代算法”（No.12171435）

作者簡介：郭海英（1973—?），女，浙江東陽人，本科，中學高級教師，研究方向：中學數學教學與研究。

*通訊作者：王元恒（1961—?），男，河南南陽人，博士，教授，博導，主要從事數學非線性泛函分析研究。