《線性代數》課程教學設計與教學改革的研究

周脈東

（陜西學前師范學院數學與統計學院，陜西 西安 710061）

0 引言

由于對待線性代數認識的不同，所以在線性代數的教材編寫上有兩種觀點，第一種是“工具論”的觀點，即是“突出地強調了線性代數的工具作用，也即認為線性代數教育的主要目標就是要幫助學習者掌握線性代數這樣一種認識和實踐活動的重要工具”[1]。鑒于這樣的觀點，所以有的教材中列舉了大量的與生產生活密切相關的例題和習題。第二種是“思維訓練論”的觀點，鑒于此觀點，則在教材中體現為強調理論的嚴謹性和知識系統性與完整性，相關例題與習題也是與之對應要求的強調進行思維化訓練。這種觀點在某種程度上給教學帶來方便的同時，但是減弱了教材的啟發性，局限了學生的創造性思維的發展。

現在我校的信息工程、經濟管理以及生命科學等專業的線性代數的學時均為32學時，這樣的話教學中就會面對的內容多而課時少的情形，所以在教學上應該根據專業的人才培養目標，選擇適合的教材進行課程教學，而不是教課程教材。在具體的線性代數教學中，應該是在加強邏輯思維能力培養的同時，注重知識重新建構能力的培養，注重訓練和提高學生應用線性代數解決實際問題能力的培養。

1 教學中應注重線性代數思維與思想的培養

通過對大學一年級本科生在線性代數的教學實踐過程中存在問題的深入剖析，根據學校的“應用型”本科培養目標，結合專業的實際情況，以及在對學生的調查中發現，線性代數的教學應以數學思想與思維的培養為基礎，以數學的應用為導向。

1.1 培養學生的線性代數思維

線性代數的內容抽象，邏輯性強，這樣在教學中學生覺得難學，教師感到難教。針對應用型高校的教學，應該從“應用型”入手。教學中的“應用型”是指數學在專業上的應用，對線性代數在專業中應用的案例進行分析研究。針對我?；ぴ?、信工院、經管院及生科院的專業課程進行調查研究，從數學的角度對其中應用線性代數思想、思維及方法的例題進行收集與分析，從而對以后的線性代數的教學有所幫助，讓學生體會到線性代數在專業課中的應用，從而提升學生對線性代數學習的積極性。

由于線性代數的課時少，對于大學生來說，線性代數的抽象性與理論性的內容，學生理解起來有很大的困難，學生對數學理論的畏懼與拒絕，是由于一些客觀因素使得學生不能靜下心來，對數學的基礎理論進行深入地研讀，這樣對老師就提出了較高的要求，要求老師要在短時間里用盡可能簡短的話語把線性代數的知識與思維、思想講明白、講透。

1.2 培養學生應用線性代數的意識

由于學科的交叉，線性代數的思想及思維方法早已滲透到學生的專業教材里了，要求學生在短時間里用線性代數的思想與思維方法對專業內容進行梳理與歸納，這是很困難的。這樣的話，對教師的要求就提高了，要求教師必須在掌握線性代數的理論的同時，也要對所教專業的專業可程里的線性代數的思想與思維方法的應用進行深入思考與抽象，對專業課程中的涉及線性代數的問題進行數學理論的抽象。教會學生將線性代數的思維與思想應用到專業中去，做到學代數，就要有用代數的思想。

為做到學代數用代數的思想，充分利用碎片化時間，教師利用微課程，使得學生可以利用手機的多項功能進行碎片化的學習，讓教學與學生的自主學習交流實現無縫鏈接。將學生的學習積極性調動起來，讓學生思想動起來，嘴動起來，手動起了，參與討論、演算之中，總之，充分讓學生進入學習的角色之中，讓學生積極地學代數用代數，主動地進行知識探索，給學生以空間，探究知識的具體應用的方法，參透數學思維，提升學生的獨立思考的能力與自我糾錯的能力。

2 加強線性代數實際應用的措施

學以致用，重視線性代數的應用。通過應用提高學生使用數學的能力，進一步加深了學生對線性代數理論的理解。采用“問題導向法”，通過實際問題的引入，讓學生整合所學課本的知識，體驗數學建模與實際應用的過程。

2.1 應用線性代數的思維

比如學生在平時的做題過程中，學生都已經習慣用方程組解題，可以引導學生用矩陣方法進行解題，學會用矩陣進行思維。

例1 已知R3中的兩個向量，正交，求一個非零向量3，使得兩兩正交。

學線代用線代，隨著線性代數教學的開展，為加強學生對線性代數的知識的理解與應用，結合專業對線性代數在本專業中的應用進行分析。要求學生通過不同的渠道進行線性代數應用的案例分析，最后寫成相關的小論文，然后可以在班上進行討論、交流學習。

或許每個人選擇教師行業都有自己的原因和動機，有人為了一份穩定的工作，有人為了呆在校園這片凈土，有人愛孩子，有人愛教育，有人擅長教育……不管是哪種原因和動機，我們都可以把自己的工作完成、把書教好。然而，很多人只滿足于當一名“經師”，而忽視了“育人”的重任。不止一次聽聞類似令人感到惋惜和遺憾的經歷：老師的一句“她都會，你都不會？”會在學生的心里留下深深地烙印，多年過去，老師當時的語氣和表情仍舊歷歷在目。學生自尊受到傷害，自此討厭了這門課，討厭學習。假如這位老師有足夠的育人意識，能夠考慮到學生的心理需求，結果可能就是另外一個故事。

2.2 利用幾何直觀進行教學

利用幾何直觀進行教學，對于學生的學習主觀能動性以及學習興趣都起到了很大的調動作用，激發了學生的學習想象力和創造力。

比如在講向量空間時，可以利用二、三維的幾何圖形講解二、三維的向量空間，充分利用它們的幾何意義，比如二階行列式的計算與平行四邊形的面積之間的關系，三階行列式的計算與平行六面體體積之間的關系等。在講透二、三維向量空間的基礎上，可以將相關的概念進行遷移至n維向量。充分利用二、三維幾何圖形直觀的特性。比如在講解線性相關、線性無關以及方程組理論時，可以充分利用解析幾何中二維坐標系以及三維坐標系，將二、三維空間的線性相關、線性無關用幾何圖形進行講解，這樣借助幾何的直觀圖形，把抽象問題具體化了，既幫助學生理解了抽象概念，又弱化了抽象概念本身，達到了以應用為目的，以夠用為度。經過教學實踐證明，這種教學設計能夠使得學生能夠正確并且迅速地掌握抽象的線性代數的相關概念以及基礎理論知識。[2]

2.3 課堂講透知識點

為梳理學生的邏輯思維，老師可以通過一些典型的例題的講解，對出現的錯誤進行有針對性的講評，通過講解提高學生分析問題和解決問題的能力，比如下面的例題。

例2設矩陣B滿足B2-3B+2E=0，證明：B+E可逆。

證：因為B2-3B+2E=0，故可得B的特征值為1和2，所以B+E的特征值為2和3，故|B+E|≠0，所以B+E可逆。但是這個證明是錯的。

分析：因為B2-3B+2E=0，故B的特征值為1或2，1和2并不一定都是B的特征值，比如，若，它滿足B2-3B+2E=0，但是1卻不是它的特征值。

因為 B2-3B+2E=0，所以 B 的特征值為1和2，|B|=2≠0，故 B 是可逆的，又因為（B-4E）（B+E）=-6E，所以，故B+E可逆。

2.4 合理處理教材

現在的線性代數教材基本上都是注重知識內在的邏輯性，基本上是采用的是先定義、再定理、而后是例題與習題的模式，對于工科學生來說，培養學生解決實際問題的能力與創新的能力是非常重要的。在處理教材時，采取“問題導向法”，通過問題的選擇與設計，掌握好問題的針對性與學生的可接受程度，教學效果與教師設計問題的質量有直接關系，需要教師做深入地研究。

在教學時通過引例介紹數學概念的應用背景，或者根據專業特性，在每一章后加入一些本專業經典的應用實例，讓學生體會如何運真正用數學的理論和計算去解決一個實際工程問題。在解決問題的過程中，也展現了學生知識重新構建的能力。這些經典的應用實例對于提高學生的學習興趣和培養學生應用數學知識解決實際問題的意識和能力都會起到很大的提升作用。同時將數學建模的能力的培養融入平時的教學之中。

2.5 引入數學軟件進行算法思維教學

線性代數中行列式的按行（按列）展開公式、行列式的三角形法則以及矩陣的行初等變換等的計算，都是遵循嚴格的算法思維?？梢赃M行算法設計，通過計算機實現。通過任務的設定，過程的合理控制，既進行了深度的學習，又進行了能力的培養與提高，這種加入算法思維的教學過程的設計，達到了能力培養于實際應用能力的提高，實現了人才培養的目的。這種教學方法的特點是注重能力培養。

在線性代數課程的教學中，將相關計算按照算法思維進行設計，在教學思路于學生的思維過程是一致的，算法思維是將知識的傳授和能力的培養相結合，著眼于應用計算機實現數據的處理于模型分析。[3]

2.6 采用多種形式的“教學模式包”

現在線性代數課程的教學時數少，為了適應教學時數少的要求，教師只有采取適當刪減理論證明和應用舉例，簡化教學內容，削弱理論思維訓練等方式。在教學方法上，多是采用灌輸式、注入式教學，啟發式教學較少，與學生互動少，教師傳授知識多，傳授數學思想少；教師講解解題方法、技巧多，揭示數學概念本質和思維方法少。這種教學方法削弱了學生的自主學習能力、綜合應用能力和意識創新能力的培養。改革課程評價體系，引入更能體現學生真正掌握所學知識的方法與策略。

現在的課堂教學雖然有它優勢的地方，有利于師生互動，掌控課堂的教學進度，有利于開展啟發式、討論式和提問式等多種的教學方法，但是傳統的教學存在時空與時間上的局限。隨著科學技術的迅猛發展，MOOC的興起，以它“豐富的教學資源、便捷的交互方式、不受時空限制的知識獲取等優勢沖擊著傳統的教育模式，沖擊著課堂教學，呈現給學生一種全新的學習方式”[4]。

在保證教學質量的前提下，在以課堂教學為主的同時，可以采取MOOC為輔助的教學。這樣就為教師在課堂教學中贏得了時間進行有針對性的教學，采用問題教學法進行重難點教學。

這種混合的“教學包”式的教學能夠針對不同專業進行側重應用教學，學生可以根據所需在學習網站上得到全方位的學習材料，學生參與在線學習和測驗，檢驗自己。這種混合式的教學方式對學生的專業培養目標形成有效支撐。這種混合式的教學方式的效果也是經過了期末考試的檢驗，在學生參加的全國大學生數學競賽的也取得了較好的成績，達到了能力培養的目的。

教學設計應以幫助學生理解所講知識為要。首先分析學生的理解困難在哪里，這樣基于問題的分析，進行教學設計和不斷修正，這樣的話，教師關注的是學生學習概念的過程，也是基于學生的實際情況以及認知特點進行，基于不同學生的概念理解過程，總結歸納出教統一的教學法則及步驟，進一步進行推廣。

3 發揮線性代數的育人功能

在進行專業教學的同時，引入課程思政教育，將顯性教學與隱性育德相統一，形成協同效應。在對學生進行理性精神培養的同時，堅持對學生進行立德樹人的品德的培育，這也是作為教師的使命與責任擔當，也體現了數學課堂中的教學育人功能，提出了“三愛”，“一融入”。

“三愛”，是指愛國家、愛職業、愛學生。愛是一切教育的基礎，只有對國家、職業和學生充滿了愛，才有可能把教育工作做好，離開了愛談教育是無根之水、空中樓閣。

“一融入”，將思政育人融入課堂教學，做到潤物無聲、踏雪無痕。比如在講線性空間的概念時，指明并不是任意的集合就是線性空間，一個集合是在一定的條件下，一定的規則下才能成為線性空間，其核心思想是樹立守紀律和講規矩意識，規矩之內，再行做事。

4 總結

總之，地方“應用型”本科院校應以培養學生的實際應用能力為目標，在線性代數的教學方法的改革任重道遠，結合線性代數的具體教學過程，本文主要從教師的角度對線性代數的課堂設計與教學改革進行了分析，強調代數思維的培養，同時注重實際應用能力的培養，在計算上，強調算法思維的訓練與培養，有助于應用型人才的培養，同時也有助于實現地方本科應用型人才培養目標。