全概率公式和貝葉斯公式的教學研究

賀 莎

（北京第二外國語學院基礎科學部，北京 100024）

全概率公式和貝葉斯公式是《概率論與數理統計》課程中非常重要的兩個公式，它們被安排在條件概率和乘法公式后進行學習，它們形式上非常抽象復雜，通常用來計算復雜的隨機事件的概率。學生在第一次接觸這兩個公式時，會感到難以理解，十分難記，搞不清公式中各種符號的含義。所以，筆者在課堂講授這兩個公式時，為了使學生易于理解，會先通過一道與學生生活密切相關的引例引入這兩個公式，對公式進行深入分析后，再將它們應用于解決著名的歷史典故問題。讓學生不僅深刻理解這兩個公式的含義并會靈活運用，還發現數學是來源于生活，又應用于生活的，是對生活中事物的統一規律的抽象總結，拔高了整堂課的育人目標高度。

1 引入問題

引例小明的鑰匙丟了，可能的丟失地點為食堂、宿舍和教學樓，概率分別為0.4，0.1，0.5，而掉在上述三個地方鑰匙被找到的概率分別為0.4，0.9，0.3，求找到鑰匙的概率。又若鑰匙被找到，求它最可能在上述三個地方的哪一個被找到？

課堂一開始以一道與學生生活密切相關的問題作為引例，增加學生強烈的好奇心，他們迫切地想知道找到鑰匙的概率以及最有可能在什么地方找到，激發學生的研究探索興趣，從而引出本節課的課程內容——全概率公式與貝葉斯公式，這樣學生便會有目的地聽課。

2 剖析問題

在介紹全概率公式前，先帶學生回顧之前學的完備事件組的概念。設是樣本空間，完備事件組就是指同時滿足(1)兩兩互斥；(2)這兩個條件的事件組隨機事件組。例如，下圖中的就是一個完備事件組。

全概率公式通常用來計算復雜事件的概率，想法是把復雜事件拆分成兩兩互斥的簡單事件的和，再用乘法公式計算每一個簡單事件的概率，最后再把這些簡單事件的概率相加，就得到復雜事件的概率。特別地，若完備事件組只由兩個隨機事件和它的對立事件組成，則對任一隨機事件，這是全概率公式的最簡單的形式，也板書寫在黑板上。

下面我們來解決引例的第一問，即求找到鑰匙的概率。由題意可知鑰匙掉在食堂、鑰匙掉在宿舍和鑰匙掉在教學樓這三個隨機事件構成了一個完備事件組，要計算找到鑰匙的概率，根據全概率公式，我們只需知道鑰匙掉在以上三個地方的概率以及如果掉在這三個地方鑰匙分別被找到的概率，而這些信息均由題意可得，從而把它們對應相乘再相加起來，即為鑰匙被找到的概率，第一問得解。

接著我們來考慮第二問，假如鑰匙被找到，它最可能在上述三個地方的哪一個被找到？由此引入本節課的另一個內容——貝葉斯公式。

如果把鑰匙被找到看成已知結果，把鑰匙掉在食堂、鑰匙掉在宿舍和鑰匙掉在教學樓看成原因，那么在已知結果的條件下，要尋求最可能發生的原因，只需將各個原因發生的概率進行對比即可。下面我們先來推導計算這些概率的貝葉斯公式。和全概率公式的假設一樣，設是一個完備事件組，是任意一個隨機事件，現在在已知事件發生的條件下，求導致它發生的原因的概率，即求條件概率由條件概率公式可得，對分子用概率的乘法公式，對分母用全概率公式，于是得到

上式由英國數學家托馬斯貝葉斯（Thomas Bayes，1702-1761）最早發現的，現在，它已在信用問題、疾病早期診斷的解釋等方面發揮著重要的作用，人們將它稱為貝葉斯公式[1-3]。此時，在黑板上板書寫上該公式，這是本堂課的重難點內容之二。

要解決第二問，我們只需根據貝葉斯公式算出若鑰匙被找到，它在食堂、宿舍和教學樓這三個地方找到的概率，而在該公式中，分子分母中的每一項均可由題意得到。注意到，貝葉斯公式的分母其實是全概率公式的應用，已在第一問算出；而它的分子是分母求和當中的某一項，也已知。從而將各項代入公式算出概率后，再比較這三個概率的大小，得出結論，至此第二問得解。

3 解決問題

學習了全概率公式和貝葉斯公式后，根據上面的分析，現在我們利用它首先來解決找到鑰匙的概率問題。設事件A={找到鑰匙}，事件={鑰匙掉在食堂}，事件={鑰匙掉在宿舍}，事件={鑰匙掉在教學樓}，則是一個完備事件組，且由題意于是將它們代入全概率公式可得

即鑰匙被找到的概率為0.4。

再來解決若鑰匙被找到，它最有可能在哪里被找到的問題。根據貝葉斯公式，我們可求得若鑰匙被找到，則它在食堂、宿舍和教學樓找到的概率分別為

4 總結問題

全概率公式可看成“由原因推結果”，已知各個原因發生的概率，計算這些原因產生的結果的概率；而貝葉斯公式的作用是“由結果倒推原因”，在已知一個結果發生的條件下，在眾多可能的原因中，推算出該結果最有可能是哪個原因造成的，故貝葉斯公式也稱為“逆概公式”。

5 應用公式

例（歷史典故“烽火戲諸侯”）西周末年，周幽王為博得妃子褒姒一笑，聽信了佞臣的讒言，點燃了烽火臺，諸侯們以為有敵寇侵入，紛紛帶領大軍從各地趕來都城鎬京幫忙，結果發現周幽王一眾人在飲酒作樂，諸侯知道被戲弄，帶著怨恨返回，褒姒見浩浩蕩蕩的千軍萬馬招之即來，揮之即去，覺得十分好玩，禁不住微微一笑。周幽王見狀非常高興，為了讓褒姒多笑，后來他又多次點燃烽火，導致諸侯們都不相信烽火，也就漸漸不來了。后來敵寇犬戎真的攻破鎬京，殺死了周幽王，自此西周滅亡。

試用貝葉斯公式分析該典故中諸侯受騙兩次后對周幽王的可信度是如何下降的。

諸侯第一次受騙后，他們對周幽王的可信度變為

即在諸侯被騙了一次這件事情發生后，諸侯對周幽王的可信度降為

諸侯第二次受騙后,他們對周幽王的可信度變為

所以經過兩次受騙后，諸侯對周幽王的可信度由最初的0.9下降至0.083，當真有犬戎進攻鎬京，周幽王點燃烽火臺時，諸侯們再也不來幫他了。

所以本題從概率論的角度解釋了與誠信緊密相關的歷史典故，讓學生有豁然開朗的感覺，不禁連連感嘆原來數學還能這么用！類似的例子還有伊索寓言的“狼來了”，“銀行貸款未還影響個人信用度”等，通過這些實例，對學生進行了一次深刻的誠信教育。在講授完這個例子后，相信學生已經深刻理解了貝葉斯公式及其應用，也對他們的思想進行了一次洗禮。[4-5]

6 結語

從整體上來看，在本堂課的課程教學中，采用“案例教學法”，通過與學生生活密切相關的問題作為例子引入，吸引學生注意力，激發學生強烈的學習興趣，使他們帶著問題來學，更加具有目的性。課程設計以問題為導向，以分析為重點，以應用為鞏固拓展，引導學生思考、解決問題。在分析問題時很自然地推導出了全概率公式和貝葉斯公式，非常清楚地解釋了這兩個公式的來龍去脈，加深了學生對全概率公式和貝葉斯公式的理解，然后應用這兩個公式解決了引例的問題。再用所學公式從概率論角度分析解釋烽火戲諸侯這個我國著名的歷史典故，在講授新內容的同時并對學生進行一次深刻地誠信教育，既教他們用貝葉斯公式來分析解決實際問題，深刻體會了數學的重要性，增加了課堂的趣味性，又將課程思政很自然地融入課堂教學中，真正做到了教師寓教于樂，學生寓學于樂，提高了課堂教學的效率。