關于非參數擬合優度檢驗在體育科研中的運用研究

孫永梅

摘 要：運用數理統計法和文獻資料法，對非參數檢驗中的擬合優度檢驗進行研究分析，關于擬合優度檢驗的檢驗統計量有？字2檢驗、K-S檢驗和秩和檢驗等。在選擇非參數檢驗方法時，需要先考慮兩個因素：（1）樣本情況分析，是獨立樣本還是相關樣本。（2）數據的類型，是順序數據還是類別數據。本文系統分析了？字2檢驗和K-S檢驗，？字2檢驗和K-S檢驗各自有自己的適應條件，在實際應用時要擇取更合適的統計方法，才能讓統計數據更具有說服力。另，把數理統計學理論作為理論依據將其指導運用到體育實際問題中去，理論指導實踐應用。希望通過本文對體育科研方面給予一定的理論指導，對體育科研起到一定的促進作用。

關鍵詞：非參數檢驗;擬合優度檢驗;體育科研

中圖分類號：G80-32 ?文獻標識碼：A ?文章編號：1673-260X（2022）01-0059-04

前言

假設檢驗在統計推斷具有的重要應用價值，從理論上說，假設檢驗是數理統計學的一個重要分支。在體育科研、訓練和教學中，它也是常用的統計方法。基于假設檢驗的思想，體育現象復雜多變，假設檢驗也被合理地應用在體育科研、訓練及教學中，其理論及應用是體育統計學中不可或缺的部分。尤其是在有關體育期刊論文中應用假設檢驗的方法比較常見。

近年來，體育統計相關書籍及資料只是簡單地介紹了假設檢驗的方法，介紹方法演算的過程，并沒有涉及它的真正理論。例如：在解決問題之前有必要明確研究目的是什么。這一關鍵問題就是明確總體的問題，在進行兩樣本t檢驗時，實驗前與實驗后的總體不一致從而導致實驗結果的錯誤，就是因為沒有明確總體是什么，對假設檢驗方法沒有理解其本質，生搬硬套而導致嚴重的后果。另外，查閱了自1997年至今的文獻發現，對于非參數檢驗并沒有系統的論述。關于非參數檢驗方法在體育科研中的應用查閱文獻也只有祁國鷹，徐明在《北京體育大學學報》上發表了《體育統計方法系列講座：非參數檢驗方法》，文中也只是簡單地介紹非參數檢驗各種方法的步驟及在SPSS中的應用[1]。然而非參數檢驗方法在體育科研中的重要性不容忽視。

在統計推斷中，有時對總體分布假定具有模糊性，所測得數據并非來自本身所假定分布的總體或測得的數據因某些原因被污染。在不能確定假定總體分布的情況下，若選擇參數檢驗方法進行推斷可能產生錯誤的結論。研究者希望從數據的本身獲取所需且必要的信息，這便是非參數檢驗的初步想法。如在未知總體分布的情況下，把一組數據信息稱為次序，利用已有信息，按照一定的次序或規律排序，每一個數據在整組數據中有自己的位置稱為秩，在假定條件下，便可以進行統計推斷，獲得所需的信息結論。

魏登云在《主觀評分誤差的非參數處理方法》中運用非參數檢驗方法，結合體育競賽的特點，運用統計方法中秩分判定比賽的名次，并討論運用秩分法去處理評分誤差的優點及可行性[2]。其實非參數檢驗方法在體育科研中的應用是有必要的。由于體育現象的復雜性，有時參數檢驗并不能滿足需求，這時選用非參數檢驗是必要的。但在實際應用中對于非參數檢驗并沒有系統的論述及應用。

無論是參數檢驗還是非參數檢驗在處理問題時都是先找出一個統計模型去擬合現實的數據，擬合的效果如何，怎樣用樣本推斷總體，利用擬合優度檢驗可以解決疑問。擬合優度檢驗其思想是找出一個統計模型，利用已有的觀測數據去預測未來數據。換言之，找出一個模型去擬合已有的觀測數據。擬合優度檢驗在統計理論中有其特殊的地位，不僅是統計基礎的組成部分，而且和實際應用有密切關系[1]。由于體育現象具有復雜性與多樣性，如遇到某問題需利用假設檢驗方法解決時，若給定的假定條件很少，那么可以用非參數檢驗方法去解決問題。非參數檢驗方法的條件比參數檢驗方法要寬松，其對總體的分布不做要求，所以非參數檢驗方法的應用范圍比較廣泛。

在有關擬合優度檢驗的相關文獻中，對非參數檢驗的擬合優度檢驗的研究稀少。但它在體育科研中的應用價值是值得肯定的。因此，本文僅對非參數檢驗中的擬合優度？字2檢驗和K-S檢驗進行研究分析，把數理統計學理論作為理論依據將其指導運用到體育實際問題中去。通過對？字2檢驗和K-S檢驗的研究分析，希望對體育科研工作者有所幫助。

1 研究方法

運用數理統計法和文獻資料法進行分析研究。研讀非參數檢驗的相關書籍;以“參數檢驗”“非參數檢驗”“擬合優度檢驗”“非參數檢驗在體育科研中的應用”等為關鍵詞在“CNKI”“中國國家圖書館”等數據庫檢索。對搜集的資料進行閱讀歸納，整理分析。

2 非參數檢驗中擬合優度檢驗的幾種類別與應用

在統計推斷中，有時對總體分布假定具有模糊性，所測得數據并非來自本身所假定分布的總體或測得的數據因某些原因被污染。這時，從數據的本身獲取所需要的信息，得出結論。如檢驗男子跳高、游泳和體操三個項目的運動員縱跳成績，測得的成績如下：跳高：80、76、78、82、79;游泳：65、66、62、67、71、70、65;體操：64、67、64、68、62、63、69。試問運動項目的不同其男子運動員的縱跳成績之間是否存在顯著性差異？這就是一個典型的數據信息不足，這時我們使用參數檢驗的方法解決問題并非良策。

在選擇非參數檢驗方法時，需要先考慮兩個因素：（1）關于樣本情況分析，是獨立樣本還是相關樣本。（2）關于數據的類型，是順序數據還是類別數據，簡單地說就是若按照一定的順序或秩序排列那就是順序數據，如喜歡、不喜歡或男、女就是類別數據。

2.1 單樣本擬合優度檢驗

單樣本非參數檢驗一般屬于擬合優度檢驗。如研究員實際觀測到的頻數和在某種原則下的理論頻數是否存在顯著差異;實驗觀測的比例P值與所期望的比例值是否存在顯著差異等。

2.1.1 ？字2檢驗

檢驗的基本思想是利用樣本數據進行推斷總體的分布與某一已知分布是否存在顯著差異。？字2檢驗用于擬合優度的檢驗，檢驗某組數據是否服從某種分布。設樣本X1，X2，…，Xn觀測值x1，x2，…，xn，檢驗總體分布與某個已知分布是否有顯著差異。若討論的是一個事件的兩種結果，可以用參數檢驗中的方法解決問題。若討論一個事件可能有K個結果時，使用？字2檢驗是需要的。如把樣本數據分為k類，其中每類的實際觀測頻數設為f1，f2，…，fk，與對應的期望頻數設為e1，e2，…，ek，利用檢驗統計量？字2去度量觀測頻數與期望頻數之差異。其計算公式：

從式（1）可以看出，觀測頻數與期望頻數之間距離越近，？字2值就越小，當？字2值為0時，說明每一類觀測頻數與期望頻數完全擬合。？字2檢驗的運用領域很廣。如要檢驗總體是否為某一分布時，假設實際觀測值的分布為F（x），去檢驗總體是否為某一特定分布F0（x）。注意，當樣本量充分大時？字2服從自由度為k-1的？字2分布。在體育教學中，為了提高學生的網球正手擊球的水平，采用了一種新的教學方法。教師從大二年級隨機抽取100名學生，配對分成兩個班，對其進行干預采用兩種不同的教法。一個學期結束后進行測試，測得成績如表1所示，兩種不同方法測得的成績。

通過實驗組和對照組數據的比較，判斷兩種不同的網球正手教學方法是否對教學效果產生不同的影響。從表1中可以看出，實驗組和對照組的成績不及格的比例有差距，原因是新的教法所產生的效果還是因為誤差所導致的差別，需通過檢驗才能得出結論。（a=0.05）

首先建立原假設H0：實驗組與對照組各級的比例相同。其次構造統計量？字2=，通過把數據輸入SPSS軟件中，得出結論P>0.05。我們就可以做出判斷，原假設成立。雖然新的教法的成績有所提高，但是通過檢驗新舊方法并沒有顯著差異，新方法的成績有所提高可能是因為誤差造成的，所以新的教學方法還需改進。以上的例子就是利用？字2檢驗的方法解決兩種不同結果。

？字2檢驗在體育領域中應用是比較廣泛的，在參數檢驗中也有提及，在非參數檢驗中主要用于對分布的檢驗以及對獨立的類別數據的檢驗。正態性檢驗可使用？字2的擬合優度檢驗方法。如測得65名職業游泳運動員訓練后的脈搏頻率與安靜狀態時脈搏頻率之差頻數分布數據，試圖檢驗職業游泳運動員的脈搏差數是否服從正態分布？此類問題，首先建立原假設H0：脈搏差服從正態分布，H1：脈搏差不服從正態分布。再根據樣本信息選擇合適的？字2檢驗統計量，取顯著性水平？琢值，經過計算取得檢驗統計量的值，與P值進行比較。是否接受原假設，從而得出結論。

2.1.2 K-S檢驗

在統計學中，K-S檢驗可適用于比較某一樣本分布與參考概率分布，或比較兩個樣本分布（兩個樣本的K-S檢驗）。它涉及一組樣本數據的實際分布與某一指定理論分布之間相符合程度的問題，用來檢驗所獲取的樣本數據是否來自具有某一理論分布的總體[2]。K-S檢驗的思想是分析其理論分布的累計頻數與抽樣累計頻數之差值。若樣本觀測值服從某一指定的理論分布，那么最大差值應該較小。設F（x）是隨機變量X的理論分布函數，S（x）=i/n是樣本累計頻數（i≤x觀測值的數目，i=1，2…，n。n為樣本總數）。檢驗樣本S（x）是否來自總體的分布函數F（x），構造其統計量，計算公式如下：

D=max|S（x）-F（x）| ? （2）

從公式（2）可以看出，對每個x值來說，若S（x）與F（x）差值較小，說明S（x）與F（x）擬合程度很高，則認為樣本數據是來自其理論分布的總體。如，抽取某市初三所有男生的身高數據，利用樣本數據信息推斷初三男生的總體身高是否服從正態分布。

2.2 兩獨立的擬合優度檢驗

2.2.1 ？字2檢驗

單樣本的？字2檢驗可以推廣到兩個獨立樣本的總體差異性的檢驗[3]。隨機變量n1和n2是分別從分布函數F1（x）和F2（x）的總體中抽取的樣本數據，利用樣本觀測值推斷兩個總體是否有顯著性差異。其統計量的選擇與計算及最后統計決策都與兩個獨立樣本檢驗相似。同時，兩個獨立樣本的？字2檢驗可以推廣到對k個樣本之間差異的顯著性檢驗。例如，隨機從初一和初二年級分別抽取x人和y人（其中男女比例是一樣的），調查學生是否喜歡上體育課，發現初中一年級學生喜歡上體育課的人數是n1人，初二喜歡上體育課的人數是n2人，那么初一和初二學生喜歡上體育課的比例是否有差異。首先我們建立原假設：兩個年級的學生喜歡上體育課的比例相同。其次構造統計量？字2并計算得出數據，確定顯著水平a。若原假設成立，？字2服從自由度為k-1的？字2分布，其否定域為{？字2|？字2>？字a2（k-1）}.如果？字2值落入拒絕域則是拒絕原假設，即兩個年級的學生喜歡上體育課的比例是有差異，否則，是接受原假設，即兩個年級的學生喜歡上體育課的比例無差異。

同時，？字2檢驗還用于檢驗兩個屬性之間是否獨立的？字2獨立性檢驗。？字2檢驗可用來推斷多個構成比之間有無顯著差異即檢驗兩個因素是否獨立，在應用中，可先列出R×C聯系然后采用？字2檢驗，若結果差異顯著，則說明多個率在整體上有差異但并不說明任意兩個率之間都有差異。2×2聯系檢驗是R×C聯表的特例，可檢驗兩個總體率之間是否有差異。

在實際應用時，各種檢驗統計量都有其應用條件，在選擇時根據研究目的、設計的類型、分布的特點及統計推斷的目的要求選取適當的檢驗方法。

2.2.2 K-S檢驗

無論是兩個獨立樣本K-S檢驗還是單樣本K-S檢驗，其思路基本一致。通過兩個獨立總體的樣本觀測值去分析判斷是否來自同一個總體。

在對比兩個樣本進行分析時，K-S檢驗對經驗累積分布函數的位置和形狀差異有一定的敏感性。通過分析兩獨立總體樣本的累計頻數之差值，確定是否有差異性。如從總體X和Y中，選取兩組樣本數據（X1，X2，…，Xn）和（Y1，Y2，…，Yn），SX（x）和SY（x）是累計頻數。若要檢驗總體X與Y分布是否相同，則構造統計量，設定顯著水平a和確定否定域，最后得出結論，做出決策。如檢驗東部地區與西部地區的青少年發育狀況是否存在差異。

K–S檢驗通過修改以后可作擬合優度檢驗，在檢驗正態性分布的特殊情況下，先將樣本進行標準化，再與標準的正態分布進行比較分析。使用這些值和方差去定義特定的參考分布將會更改其檢驗統計量的零分布。有研究發現，即使采用了這種校正的形式，其測試也不像Shapiro-Wilk檢驗或Anderson-Darling檢驗那樣有效地檢驗其正態性。當然，這些其他測試也有其自身的缺點。如Shapiro–Wilk檢驗中，樣本的選取時會有許多相同值其效果并不好。

3 對非參數檢驗中的擬合優度檢驗的認知

3.1 分布情況

非參數檢驗是在總體分布未知的情況下的統計檢驗方法。在實際問題處理時，有時提取的信息量很少，在總體分布未知時只能應用非參數檢驗。非參數檢驗比參數檢驗的應用范圍廣泛。？字2檢驗與K-S檢驗都可用于檢驗樣本是否來自某一理論分布的總體。

3.2 測量數據類型

？字2檢驗常用于定類尺度測量的數據，適應于分類資料的統計推斷。K-S檢驗還用于對定序尺度測量數據進行擬合檢驗。

3.3 特殊情況處理

？字2檢驗一般要求的是大樣本，對于特別小的樣本量，？字2檢驗則不能應用，若應用？字2檢驗可能會導致錯誤的結論，而K-S檢驗則不受限制。因此，K-S檢驗的功效比？字2檢驗要強。根據樣本量的不同在最后處理時臨界值的確定也是有區別的。在實際問題處理時，如需要檢驗正態性，應該避免使用？字2檢驗和K-S檢驗。這一問題在數理統計理論中已被證明的。同時，在運用中注意減少第二類錯誤的發生。

4 總結

雖然非參數檢驗方法較粗略，其擬合優度檢驗的實際運用比較廣泛，但其統計思想比較直觀。對于非正態的數據或未知分布的數據進行檢驗，其檢驗的效率較高。在某特殊分布情況下，非參數檢驗方法的效率可超過t檢驗。

但是如果當條件充分時，則選擇參數檢驗的方法，一方面可以充分利用給定的信息，距答案更進一步;另一方面可以減少誤差。預期頻數較小時，？字2檢驗需要合并鄰近的類別才可以計算，K-S檢驗則不需要。因此K-S檢驗比？字2檢驗保留更多的信息。？字2檢驗和K-S檢驗的樣本量相等時，K-S檢驗對于原假設為假時可提供一個更高的拒絕率，因此，與？字2檢驗相比K-S檢驗具有更強的檢出率。在實際應用時要擇取更合適的統計方法，才能讓統計數據更具有說服力。

參考文獻：

〔1〕祁國鷹，徐明.體育統計方法系列講座：非參數檢驗方法[J].北京體育大學學報，2000，42（01）：142-143.

〔2〕魏登云.主觀評分誤差的非參數處理方法[J].中國體育科技，2001，3（37）：38-41.

〔3〕王重，劉黎明.擬合優度檢驗統計量的設定方法[J].統計與決策，2010，5（06）：154-156.

〔4〕楊振海.擬合優度檢驗中的變換方法[J].中央民族大學學報，1999，7（08）：126-128.

〔5〕程維虎.擬合優度檢驗的回歸分析方法及其應用[J].北京工業大學學報，2000，6（02）：80-84.

〔6〕吳喜之.非參數統計[M].北京：中國統計出版社，2006.

〔7〕易丹輝.非參數統計：方法與運用[M].北京：中國統計出版社，1995.

〔8〕楊振海，程維虎，張軍艦.擬合優度檢驗[M].北京：科學出版社，2011.