深入剖析概念 揭示公式本質談談提高學生的解題能力的途徑

付金和

“問題是數學的心臟”.在中學數學學習中，掌握數學就意味著解題，那么中職學生的解題能力到底怎么樣呢？讓我們來看看下面的鏡頭：學生在做練習，遇上了稍有變化的或沒有見過的題，不少學生叫喊不會做，或者忙于翻書，試圖找到同類題，以便依葫蘆畫瓢;或者凝神苦思，卻不得其解;或者干脆放棄這道題……

難道題目真的如他們想象的那樣難，以至超出了范圍？不是！這通常反映出學生對數學概念沒吃透，公式定理本質沒理解，導致無法用所學的知識解決面臨的問題，即知識未轉化為能力，也即人們常說的解題能力差.針對這一問題，筆者嘗試從下列途徑來提高學生的解題能力：

一、深入剖析概念，加強對比教學，努力讓學生參與概念的形成過程，使學生理解概念本質，促進知識正遷移

在《空間直線與平面》這一章中，異面直線的概念是難點，但又必須弄清楚，否則影響后續內容的學習.筆者在教學中是這樣做的：從實際生如活中不相交且不平行的兩直線入手，指出空間兩直線的第三種位置關系：不相交且不平行，稱為異面，那么如何下定義呢？這里可先引導學生根據已有知識來嘗試下定義，然后教師總結板書.這樣做，既調動了學生的積極性，發揮了其主體作用，又通過學生嘗試→教師點撥→再嘗試→再點撥→結論的教學過程，使學生參與概念的形成過程，從而概念的本質被逐步揭示出來.同時，上述過程又是偏離本質→訂正→再偏離→再訂正的過程，正反對比強烈，學生的印象也較深刻.另外板書概念時將關鍵字詞加上著重號不失為加深學生印象的一種好辦法.實踐證明，這樣做效果很好，學生不僅記住并且理解了概念，從而對于辨析概念一類的問題，一般都能迅速準確作答，達到了教學目的。

二、加強公式變式教學，讓學生從多側面認識理解公式，從而靈活應用解題

有這樣一道題：

不查表求值tan12°+tan33°-（1-tan12°tan33°）

不少學生見到此題后，百般思索，就是想不到從何下手.的確，12°、33°均非特殊角，其三角函數值只能查表，但不合題意.怎么辦？仔細看看，12°+33°=45°是特殊角，且題中涉及tan12°+tan33°與tan12°tan33°，聯想到兩角和的正切公式，變形即可得原題結果.這里，不是照搬公式，而是利用公式的一個變形。

一般地，在創設合適的問題情境導出公式后，在公式的應用教學中要特別重視公式的逆用和變式應用.我們知道，每個公式都有雙向功能，從左到右是順用，從右到左是逆用，而公式推導一般是從左到右，這種思維定勢使得學生只注意公式的順用，而難以聯想逆用和變式應用.因此我們在教學中要求學生掌握公式的形式結構及語義內容，真正理解公式的本質，并有意識地多舉逆用及變式應用方面的例子，使學生應用公式解題時，思維變得靈活，能迅速根據需要聯想如何應用公式。

三、在教學中嘗試讓學生說題，即讓學生把審題、分析、解答和回顧總結的思維過程按一定準則說出來，促使學生暴露面對題目的思維過程，通過老師引導，同學補充，系統地把握解題過程，提高分析思維能力，從而促進解題能力的提高

根據數學學科的特點和學生的能力特征，筆者在高三數學教學中對學生說題進行了一些研究和嘗試，覺得一般的說題包括以下幾個方面：說題目中的知識點及聯系、說解題的思路和方法、說解題后的檢查反思、說解法的變化、說題目的引申推廣等.下面舉實例加以說明：

例： 公差d不為0的{an}等差數列中，a1、a2、a6成等比數列，求該等比數列的公比q.

㈠、說知識點 本題著重考查等差與等比數列的定義和通項公

式.

㈡、說解題思路 由這三個數成等比數列有（a2）2= a1a6.

于是有 （a1+d）2=a1（a1+5d）

解得 d=3a1或者d=0

所以 q=4或者q=1

㈢、說檢查 題目中d≠0，于是q=4（q=1舍去）.

㈣、說反思 上述解法是從等比數列這一條件入手的，能否從等差數列這一條件入手呢？學生嘗試后發現這一想法是可行的：

易知a2=a1 q=a1+d①，a6=a1 q2=a1+5d ②

于是②-①×5得 q=4或者q=1（舍去）

㈤、說解題總結

一般地，求比值的問題，應把有關的兩個量都用另一個量表示出來，解題中應注意消元的方法.

又例： 若函數f（x）=102-x+a（a為常數），且f-1（12）=1，則a= .

按照以上分析，學生不難得出兩種解法，一是直接求出反函數，再求a的值;二是根據反函數與原函數圖象間的關系知f （1）=12，從而易得解.經過上述思維過程，學生再遇到此類問題就會靈活地選擇解法了。這樣，我們不僅教會了學生知識，更重要地是教會了學生方法。

四、培養和提高學生的基本數學能力

經常有這樣的例子：題目不太難，學生也會做，就是速度太慢或者解題過程有少許疏漏.前者反映學生的運算能力不強，缺乏技巧，不明算理，不夠熟練;后者反映學生粗心大意，更多的時候是考慮問題不全，對分類討論不好.針對這些現象，筆者在教學中采取如下措施：

㈠、通過前述一、二、三使學生理解掌握數學概念公式性質等基礎知識.

㈡、提高學生運用性質與公式來推理運算的能力，加強運算訓練.

如等比數列{an}中，公比q=2，且a1a2…a30=230，求a3a6…a30的值.

分析：由題意有a1a2…a30=（a1a30）15=230，則a1a30=22，

a3a6…a30=（ a3a30）5=（a1a30q2）5=220

這樣做，簡潔明了.本題若先求a1亦可，但運算會很繁瑣.

㈢、加強分類討論練習，這方面的例子很多，如指數函數、對數函數、三角函數、二次曲線、排列組合等等。

綜上，深入剖析概念，揭示公式本質，學生的分析解題能力將會得到很大提高，學習的精神面貌將煥然一新。