“分類討論”在圓中的應用

王正

摘要：分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。在圓中的應用也是非常廣泛，其中大致包含以下幾個分類的熱點，熱點1：點與圓的位置關系不確定;熱點2： 弦所對弧的優劣情況的不確定而分類討論;熱點3：兩弦與直徑位置;熱點4：直線與圓的位置的不確定;熱點5：圓與圓的位置的不確定。

關鍵詞：分類討論;圓的分類

一、分類討論思想的定義及原則

每個數學結論都有其成立的條件，每一種數學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思想，稱之為分類討論思想。

有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，進行分類討論時，我們要遵循的原則是：

1、每級分類按同一標準進行：確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一;

2、分類應逐級進行：對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果;

3、同級互斥、不得越級：不重不漏，科學地劃分，主次清晰，不越級討論。

最后進行歸納小結，綜合得出結論。靈活巧妙地運用分類討論思想解題，可化繁為簡，達到事半功倍的效果。

“分類討論”在圓中的應用

由于圓的的任意軸對稱性及圓的旋轉不變性，給圓的問題解答增加了難度，往往容易造成學生解答不完整，下面就圓中出現的幾個熱點分類，結合例題加以歸納與分析。

二、熱點1：點與圓的位置關系不確定

例1：在平面上半徑為4的⊙O中，圓上的點到平面上一點P的最小距離為2，求OP的長。

分析：由于P點位置的不確定性，我們需要分類討論P點的位置。

①P點在圓內;

②P點在圓外。

熱點2：弦所對弧的優劣情況的不確定而分類討論

例2：已知⊙O的半徑為2，弦BC=2，點P為⊙O上異于B，C點一動點，則∠BPC=____________。

分析：由于圓上P點位置關系的不確定性，我們需要討論P點在優弧還是在劣弧上。

①點在弦BC所對的優弧上;

②點在弦BC所對的劣弧上;

熱點3：兩弦與直徑位置關系不確定

例3：已知⊙O的半徑OA=1，弦AB，AC的長分別是，

求∠BOC的度數。

分析：A點位置可以設定圓周上任意一點，但AB、AC弦可以分布在半徑OA的兩側，故有2×2共四種情況，又由于圓的軸對稱性，其中兩種結果算法是對稱的，所以不需要重復計算，所以我們此時只需要分AB、AC在OA的同側與異側進行分類。

①AB、AC在OA的同側;

②AB、AC在OA的異側;

熱點4：直線與圓的位置的不確定

例4：已知⊙O的半徑為4，點A在直線m上，且OA=4，則直線m與⊙O的位置關系是_______。

分析：學生容易出現誤判OA就是點O到直線m的距離，判定直線與圓是相切的，從而出現漏解的情況，在這里我們需要考慮OA是切線還是交線的情況進行分類。

①直線與圓相切;

②直線與圓相交;

熱點5：圓與圓的位置的不確定

例5：已知⊙M，⊙N相切，圓心距是8，其中⊙M的半徑為3，求⊙N的半徑。

分析：由于兩圓的相切關系分為內切和外切，故需要分類討論。

①兩圓外切;

②兩圓內切;

綜上所述，在圓的應用解答過程中，我們要注意圖形的變化，關注由于圖形的不確定性所導致的分類討論，在掌握圓的分類討論方法后，善于舉一反三，觸類旁通，使得這類問題不再是我們的易錯點。