雙機驅動雙質體振動機械系統的同步及其穩定性

李振民， 張學良， 岳紅亮， 聞邦椿

(東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819)

磨機在工業中已有幾十年應用歷史，近年來，對球磨機磨削技術的研究引起了廣泛關注[1-2]。由于具有高效、節能的特點，根據自同步理論設計的振動球磨機具有較大應用潛力。

荷蘭物理學家Huygens最早發現同步現象。此后，Blekhman[3]解釋了雙偏心轉子機械系統的同步機制，并給出同步定義。Wen等[4]采用平均法，對兩相同激振器同步理論推導過程進行簡化，設計出多種雙機自同步驅動機構，并將同步理論應用到工程，開創了振動利用工程學科。基于改進小參數法，Zhao等[5]研究了空間運動機械系統中激振器的同步。根據龐加萊法和中心流形定理，侯勇俊等[6]推導出旋轉振動篩系統的同步性和穩定性判據。利用平均法和Lyapunov原理，陳幫等[7]研究了超共振轉子系統的耦合機理。Fang等[8]討論了激振器和擺耦合振動系統中的同步現象。基于Routh-Hurwitz判據，陳曉哲等[9]給出兩激振器共旋轉軸線振動系統中激振器同步運動的穩定性條件。近年來，控制同步和復合同步也得到關注： Jia等[10]對同向回轉雙偏心轉子倍頻控制同步進行了研究； Kong等[11]分析了四機驅動單質體系統的復合同步問題。

一般在工程中，根據外部運轉頻率與固有頻率的比值(以z表示)，系統的共振類型分為四種：亞共振(z<0.9)、亞近共振(0.91.1)。對于過共振類型，當外部運轉頻率遠大于固有頻率時(一般z>2)，又被稱為超遠共振。

文獻[12]將同步理論應用于碎磨領域，在考慮質體空腔中滾子干摩擦條件下，研究超遠共振雙機驅動振動系統中圓柱滾子的振動同步傳動機理。

根據上述文獻，由于結構簡單，理論推導相對容易，單質體系統同步理論得到了充分研究。但在工程中，對于球磨機等碎磨設備，常需利用質體間相對圓周運動實現工程所需機器的特定功能。因此，有必要對雙質體系統同步理論進行研究，特別需要針對其同步機理、相對運動特性和系統理想工作區域等問題，進行詳細剖析。

本文采用彈簧將一個圓柱體與質體內的空腔相連，以替代Zhang等研究中的滾子。把圓柱體視作有彈性耦合的內部自由度，研究雙機驅動雙質體振動機械系統的同步及其穩定性問題。區別于Zhang等的研究僅考慮超遠共振，本文在現有研究基礎上進行擴展和創新，考慮多個共振區域內運動特性。通過平均法和Hamilton原理推導出系統實現同步運行和保證同步狀態穩定性的理論判據。基于數值定性分析，研究系統同步穩定區域和相對運動幅頻特性。最后通過仿真，驗證理論方法的有效性。研究結果可為振動磨機的設計提供理論參考。

1 系統動力學模型和運動微分方程

圖1為系統的動力學模型和參考坐標系，由兩個子系統組成，即主振系統和隔振系統。主振系統包括主振質體1(m1)和主振彈簧k1，隔振系統包括隔振質體2(m2)和隔振彈簧k2。質體2分別通過隔振彈簧k2和主振彈簧k1與基礎和質體1相連，質體1位于質體2的空腔內部質心處，可以認為是系統的一個內部自由度。由兩個同向回轉交流電機分別驅動的一對激振器對稱安裝在質體2兩端，且均沿逆時針方向旋轉。圖1(a)中，o點為主振質體質心，同時也是系統坐標原點。系統的參考坐標系如圖1(b)所示，包括固定坐標系oxy、移動坐標系o′x′y′和旋轉坐標系o′x″y″。

圖1 雙機驅動雙質體振動機械系統的動力學模型和參考坐標系Fig.1 Dynamical model and reference coordinate system of the vibrating mechanical system with double rigid frames driven by two vibrators

為實現機器預期功能，需對系統同步機理及其穩定性進行揭示，在研究過程中，本文采用以下參數設定和模型假設：①選取兩相同激振器以實現較好的同步效果，即激振器質量m01=m02=m0，且回轉半徑相等；②假設兩激振器的平均相位為φ，相位差為2α，即φ1-φ2=2α，φ1+φ2=2φ，解得φ1=φ+α和φ2=φ-α；③因為系統的運動具有周期性，故電機的角速度周期性變化，在兩電機最小正周期內，其平均角速度的平均值應為常數，以ωm0表示。

系統共有六個運動自由度，即x1，y1，ψ1和x2，y2，ψ2，分別表示兩質體在x，y和ψ方向的運動位移。此外，兩激振器分別繞自身回轉軸旋轉，以φ1和φ2表示。選取q=[x1，y1，ψ1，x2，y2，ψ2，φ1，φ2]T為廣義坐標(反映絕對運動特性)，并以x12=x1-x2，y12=y1-y2，ψ12=ψ1-ψ2分別表示兩質體在x，y和ψ方向的相對運動位移(反映相對運動特性)，基于拉格朗日方程，求得系統運動微分方程為

(1)

其中，

式中：r和m0分別為激振器的回轉半徑和質量；M1和M2分別為主振質體和隔振質體(包括電機及偏心塊)的質量；J1和J2分別為主振系統和隔振系統的慣性力矩；Jm2為質體2慣性力矩；l0為激振器旋轉中心與系統質心o點間距離；le為系統關于質心的等效回轉半徑；J0為電機慣性力矩；M和J分別為系統的總質量和總慣性力矩；fd1和fd2為電機1和電機2的軸摩擦因數；Te1和Te2為兩電機電磁轉矩；k1，k2，kψ1和kψ2為彈簧剛度；f01，f02，fψ1，fψ2和fψ12為阻尼系數，在工程中，一般fψ1≈fψ2≈fψ12；lx1，lx2，ly1和ly2為主振彈簧k1在水平和豎直方向的安裝尺寸；lx3和ly3為隔振質體尺寸參數；rl為無量綱參數。

2 系統同步穩定運行的理論判據

2.1 系統響應求解

基于傳遞函數法及疊加定理[13]，兩質體在x，y和ψ方向的絕對運動響應為

(2)

其中，

b2=[kψ1(fψ1+fψ2-2fψ12)+kψ2fψ1]ωm0-

χAi=b1ci-a1d1，χBi=a1ci+b1d1，

χCi=b2ei-a2gi，χDi=a2ei+b2gi，i=1，2。

將式(1)中前四個方程按順序標記為①②③④，并執行如下運算：(①×M2-②×M1)/M和(③×M2-④×M1)/M。得到系統在x和y方向的相對運動微分方程

(3)

其中，

式(3)中兩個方程分別含有關于x2和y2的耦合項，這給求解相對運動x12和y12的響應帶來困難。文獻[14]中的解決方法是直接忽略數值較小的阻尼參數f02和剛度參數k2，使式(3)轉化為僅關于x12或y12的線性微分方程。為提高求解精度，本文在不忽略f02和k2的前提下求解相對運動響應。

(4)

其中，

基于式(4)可求得系統固有頻率和相對運動響應，分別以ωn和ε12表示

(5)

其中，

將式(5)中三角函數展開，并整理展開后的表達式，求得

ε12=λsεcosφ+λcεsinφ=λεsin(φ+γε)

(6)

其中，

式中：λx和λy為x和y方向的相對運動振幅，將在數值分析環節進一步討論；γx和γy為兩質體間相對運動滯后角。

2.2 系統同步性判據

Te01-df1-fd1ωm0=0，Te02-df2-fd2ωm0=0

(7)

其中，

式中：Te01和Te02為兩電機在平均角速度ωm0時的電磁轉矩；df1和df2分別為振動系統施加在電機1和電機2上的負載力矩；Wcc被稱作余弦耦合系數；Tu為激振器動能。

(8)

式中，TD=(Te01-fd1ωm0)-(Te02-fd2ωm0)為兩電機有效電磁輸出轉矩之差；TC=2TuWcc為系統頻率俘獲力矩。

2.3 系統穩定性判據

(9)

單周期內Hamilton平均作用量I為

(10)

(11)

其中，

3 數值定性分析

為進一步揭示系統動態特性，基于理論研究結果，本章定性給出一些數值分析。系統參數設定為：k1=9 000 kN/m，kψ1=7 200 kN/rad，k2=150 kN/m，m0=20 kg，kψ2=120 kN/rad，m1=350 kg，m2=1 600 kg，J1=50 kg·m2，Jm2=1 200 kg·m2，f01=f02=3.83 kN·s/m，fψ1=fψ2=fψ12=f01，r=0.15 m。根據上述參數，基于式(5)求得系統固有頻率為ωn≈176.7 rad/s。

兩電機規格相同，均為三相鼠籠式異步電機，參數為：50 Hz，380 V，6極，0.75 kW，額定轉速980 r/min，轉子電阻Rr=3.4 Ω，定子電阻Rs=3.35 Ω，定子互感Lm=164 mH，轉子電感Lr=170 mH，定子電感Ls=170 mH，電機軸摩擦因數fd1=fd2=0.005。

考慮到激振器安裝位置可能會對系統的同步和穩定性產生影響，研究了rl-ωm0平面內系統同步穩定區域，如圖2所示。rl為無量綱參數，表示激振器旋轉中心和系統質心間距離l0與系統等效旋轉半徑le的比值。

圖2 rl-ωm0平面內系統同步穩定區域Fig.2 Synchronous and stable regions under the rl-ωm0 plane

由圖2，rl-ωm0平面以H=0為分界線被分為三個區域。在區域Ⅰ(灰色區域)，穩定能力系數H>0，兩電機相位差滿足-π/2<2α<π/2。對于兩相同激振器，相位差2α穩定在0°，如圖3所示。在區域Ⅱ和區域Ⅲ(白色區域)，H<0且π/2<2α<3π/2，此時兩相同激振器的穩定相位差為180°。在這種情況下，兩激振器產生的激振力相互抵消，系統幾乎無振動或僅有很小的擺動。從應用角度，僅區域Ⅰ的相位差狀態滿足工程需要。

圖3 穩定相位差(兩相同激振器)Fig.3 Stable phase difference for two identical vibrators

振動機械的最終功能通常反映在相位差和機體振幅。以rl=1.5為例，基于式(6)，并在圖2中相位差分布數值結果的基礎上，進一步得到兩質體間相對運動振幅隨ωm0變化的曲線，如圖4所示。由于實際工程中機器擺角一般非常小，因此只考慮了x和y方向的相對運動。且經計算，式(6)中λx=λy。

圖4 相對運動幅頻特性曲線(rl=1.5)Fig.4 Frequency-amplitude curve of the relative motion for rl=1.5

由圖4可知，隨著ωm0增大，相對運動振幅持續變大，直到在ωn的亞近共振區域達到峰值。當繼續增大ωm0通過共振點后，曲線出現斷點，λx和λy的值迅速跌落到0，這是因為在亞過共振和過共振區域，兩激振器的相位差為π。此外，當遠離共振點時，是否忽略f02和k2對λx和λy的值影響不大。但在共振點附近，特別是在ωn的亞近共振區，省略f02和k2會導致相對運動振幅遠大于實際值。相比2019年Zhang等的研究，本文求解相對運動振幅的方法精度更高。

根據以上分析，為滿足工程需要，首先應將工作點選定在圖2中區域I，然后進一步調整ωm0的值，使其落在ωn的亞共振或亞近共振區域。在該種參數匹配下，兩激振器相位差穩定在0°，兩質體間主要運動形式為相對圓周運動，且隔振效果較好，見仿真環節圖5(f)。這些特征符合工程上對振動球磨機的工作要求。

4 仿 真

為檢驗理論方法的有效性，將Runge-Kutta程序應用于系統運動微分方程式(1)，對系統進行A和B兩組仿真，結果如圖5所示。仿真中l0=1.2 m，le=0.8 m，即rl=1.5。A組仿真參數和數值分析中一致，B組除k1=2 200 kN/m和kψ1=1 760 kN/rad外，其他參數均與數值分析環節相同。

由圖5(a)，A組仿真電機平均轉速約為953 r/min，即運轉速度ω=99.7 rad/s，對應于圖2和圖4中特性點A。B組仿真轉速約為971 r/min(運轉速度ω=101.6 rad/s)，同時基于仿真參數的固有頻率為ωn0=87.3 rad/s。數值定性分析和仿真中的頻率比相同，即ωm0/ωn=ω/ωn0。求得ωm0≈205.6 rad/s，對應于圖2和圖4中點B。

由于選用兩相同電機，系統很快達到同步運行狀態，A和B兩組仿真的穩定相位差分別為0°和180°，該結果與圖2中A和B兩點數值結果對應一致。在15 s時，對激振器2施加大小為π/3的干擾，隨后轉速和相位差曲線均短暫波動，但都迅速恢復至干擾前的穩定狀態，說明系統穩定性較強。

從運動位移角度，當相位差為0時，兩個激振器產生的激振力疊加，兩質體間實現相對圓周運動。與質體1(內圓柱體)振幅相比，質體2(隔振質體)的振幅非常小，即系統隔振效果較好，見圖5(f)。A組仿真中，兩個質體在x和y方向的相對運動振幅均接近1.9 mm。對B組仿真，由于相位差為180°，激振力相互抵消，兩個質體的運動位移約為0，機體幾乎靜止，見圖5(d)和圖5(f)。同時，兩組仿真內外質體的擺角均接近0，說明在振動過程中機體基本無擺動。相對運動振幅仿真結果與圖4中A和B兩點的數值結果基本一致。

根據以上定量對比，仿真結果與數值分析結果對應相同，檢驗了理論方法的有效性。

在工程中，參考圖1(a)所示動力學模型設計振動球磨設備時，可選擇交流電機作為激振器動力源，電機通過聯軸器帶動偏心轉子高速回轉產生激振力。主振質體m1一般采用具有一定厚度的磨筒，待磨物料(例如高級化學物質)和磨介(鋼球、鋼棒和陶瓷球等)置于磨筒內的空腔中。設備功能的實現建立在激振器同步運行和系統工作點合理選擇的基礎上。根據數值分析和仿真結果，當系統參數選定在圖2中區域I，且設備工作在亞共振或亞近共振區域時，兩激振器以0相位差同步穩定運行，主振質體(磨筒)的運動形式為高頻大振幅圓周運動，見圖5(f)。此時，磨筒內的物料和磨介近似均勻地緊貼在筒壁上并實現高速圓周摩擦運動，引起磨介對物料的強烈沖擊、擠壓和摩擦，達到物料斷裂、粉碎、研磨和細化等加工目的。

圖5 系統仿真結果Fig.5 Simulation results of the system

5 結 論

(1) 利用平均法和Hamilton原理分別推導出系統同步性和穩定性理論判據。同步性判據要求兩電機有效電磁輸出轉矩之差的絕對值應小于或等于系統頻率俘獲力矩。穩定性判據要求穩定能力系數與兩激振器相位差余弦值的乘積大于0。

(2) 通過數值方法討論了系統同步穩定區域和相對運動幅頻特性。同步穩定區域決定系統最終運動類型，主要取決于兩個因素：無量綱參數rl和操作頻率ωm0。前者與系統結構參數有關，后者依賴于外部電源頻率。

(3) 對應本文動力學模型的振動機械，應在區域Ⅰ內選擇無量綱參數rl的值，同時操作頻率ωm0需設定在ωn的亞共振區或亞近共振區。此時，兩激振器產生的激振力正向疊加，兩質體間主要運動形式為相對圓周運動。