例談高中數學解題中的化歸思想

黃小良

摘 要：在高中階段的學習中，數學學科更加抽象，數學解題中遇到各種類型的難題影響學生學習效率.為了構建高效課堂，提高學生學習效率，引入新的教學模式和思想，化歸思想作為數學中的重要思想，能夠提高課堂教學效率，強化學生思維能力，使得知識內容通俗易懂，具有形象性和具體性的特點.借助化歸思想完成數學問題的轉化，幫助學生快速有效解決問題，提高學生的解題能力.本文探究高中數學解題中化歸思想的應用策略.

關鍵詞：高中數學解題;化歸思想;應用策略

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）01-0083-03

在高中數學教學中，注重學生解題能力的培養，引導學生利用數學知識和定理進行相應的數學運算和推理，是高中數學教學的重要任務.想要提高學生的解題能力，不僅僅是對學生進行習題練習和講解，還需要學生掌握解題方法和技巧，引導學生利用數學思想，做到觸類旁通、舉一反三，提高學生的解題能力.化歸思想是眾多數學思想的一種，在數學解題中應用比較多，能夠降低題目理解難度，明確解題思路，快速高效地解決數學難題.

1 化歸思想的概述和原則

在高中數學教學中，涉及到的數學思想很多，如數形結合思想、函數與方程思想、化歸思想等，化歸思想能夠幫助學生解決數學問題，通過真命題的方式對新命題進行證明，利用已經掌握的數學概念，完成新概念的定義，對各種數學問題進行處理.在高中數學中，化歸思想有著重要的位置，在數學運算和計算中，將復雜方程問題轉化成若干個方程，將立體幾何轉化成平面幾何，借助化歸思想有效解決數學問題.高中數學解題教學中，要求學生根據題目信息，結合已知條件，對其內在聯系進行分析，利用化歸思想，簡化數學解題，尋找數學解題思路和方法.

在高中數學解題中，想要應用化歸思想，需要遵循相應的原則.首先，熟悉化原則.在高中數學解題中，化歸思想的利用應當根據以往解題經驗，結合同類型的數學題目，對已知數學信息進行轉化，將其轉化成已知量，尋找問題解答思路.其次，簡單化原則.在實際的解題中，應用化歸思想，其目的是簡化數學題目，將數學題目相關的信息進行提煉，實現數學題目的簡化，將無價值或者干擾信息剔除，避免解題環節出現錯誤.最后，難反性原則.在高中數學解題中，部分題目采取正向思維方式解題較為困難，可以利用逆向思維方式，從問題向前推導，通過對問題和已知量關系的總結，簡化數學解題，完成數學題目解答.

2 高中數學解題中化歸思想應用策略

2.1 動與靜之間的轉化

在高中數學解題中，動與靜之間的轉化是化歸思想的主要內容，通常體現在函數解題中，借助函數反映生活中存在的變量關系，是一種重要的數學模型，對事物運動和變化的規律進行探究.在學習函數知識的過程中，引導學生探究變量之間的關系，提煉出數學和變量之間的關系，借助化歸思想，將靜態問題轉化成變量動態關系，通過運動觀點思考和解決函數問題，提高學生的解題能力.例如，在對數函數中，大小比較是常見的題目類型，讓學生掌握解題方式，學生很容易就能夠完成解題.

例1 試比較log312和log35的大小.

在解答此題的過程中，教師可以引入化歸思想，借助函數的動靜轉化解決問題.首先，教師讓學生對兩個數學式進行觀察，并且明確兩個數學式屬于靜止數值，引入化歸思想，借助靜與動的轉化，構建對數函數f（x）=log3x，將兩個數學式看作函數自變量對應的函數值，實現數值的動態化轉變.根據對數函數f（x）=log3x在定義域（0，+∞）上單調遞增，對兩個數學式的大小進行判斷.通過學生掌握化歸思想，將實現靜態和動態的轉化，簡化題目理解難度，掌握解題方式方法，特別是對于選擇題、填空題，能夠快速準確地找出答案，提高學生的解題能力.

2.2 數與形之間的轉化

數與形的轉化和結合是化歸思想的特別形式，將代數式和圖形巧妙地結合，將抽象問題轉化為直觀問題，將復雜問題轉化成簡單問題，是一種有效的解題方式.因此，在高中數學解題中，根據題目條件和內容，利用化歸思想，借助數與形的結合，對題目進行分析，找出其中的數量關系，明確解題突破點，完成題目的思考和解答.

例2 在函數y=3sinx和函數y=12-x中，當x的取值范圍是[-1，5]時，那么兩個函數圖象交點的橫坐標和是.

此題是求解兩個函數在特定區間的交點，如果采取常規的解題方式，利用兩個函數相等構建相應的方程、分式和三角函數形式，運算過程較為麻煩，很難求解出交點的橫坐標.因此，教師可以引導學生轉化思路，借助數與形結合思想，將“數”轉化成“形”，畫出相應的函數圖象，觀察區間[-1，5]上的圖象，如圖1所示，兩個函數圖象一共有六個交點，并且交點關于（2，0）成三組對稱，因此（2，0）是每組對稱點的中點，利用中點坐標公式完成橫坐標和的求解.

在高中數學解題中，面對一些復雜的數學問題，如果從常規思路無法解題或者解題過程復雜，可以借助化歸思想，利用數與形的轉化對問題進行分析，將復雜的數量關系通過圖形展示，明確問題解題思路，鍛煉學生的解題能力，掌握多樣化的解題方式.

2.3 等價和非等價的轉化

在化歸思想中，等價轉化和非等價轉化是常見的形式，在等價轉化時，需要對其前因后果進行了解，保證轉化的準確性.一般來說，在立體幾何解題中，對于翻折、對稱等問題，通過曲直轉化的方式，將立體化問題轉化成平面問題，快速準確解答問題.

例3 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA是直角，M是A1B1的中點，N是A1C1的中點，且BC=CA=CC1，那么BM和AN所成角的余弦值是.

在解題中，通過對題目條件進行分析，需要對其進行相應的轉化，將直三棱柱補充為正方體，借助向量法求解異面直線夾角.根據∠BCA為直角，三棱柱為直三棱柱，并且BC=CA=CC1，將直三棱柱進行補充，構建相應的空間直角坐標系，如圖2所示.假設正方體的棱長是2，得出點A，B，M，N的坐標，根據坐標寫出向量BM和向量AN的坐標，利用向量相關知識，求解出BM和AN夾角的余弦值.圖2

在等價轉化過程中，應當確保其等價性，特別是邏輯的準確.如函數定義域和值域的求解中，根據定義域和值域的概念，將其轉化成不等式組，針對方程根的分布問題，將其轉化成不等式求解.

2.4 一般和特殊的轉化

在高中數學解題中，一些難題需要從特殊向一般轉化，利用特殊值、特殊情況對題目進行求解.在具體的解題中，結合已知數學知識和原理，將一般條件和特殊條件進行相互轉化，一般來說，一般情況是對特殊情況的概括和總結，具有一定的普遍性.面對高中數學題目，需要對其題目進行分析，找出其特殊情況，在探究特殊情況的基礎上，對題目進行一般化總結.

例4 已知函數f（x）=x2+x，x≤0ax2+bx，x>0是奇函數，求解函數F（x）=bx+3ax上任意點P處的切線與直線x=0和直線y=x所成圖形面積.

在解題過程中，根據題目中的已知條件，坐標系所圍成圖形面積是一定的，那么和點P位置沒有關系.在實際解題時，可以對點P進行任意取值，確定點P 的特殊位置，根據函數式中a，b的值，求解圖形的面積.在整個解題中，利用化歸思想，實現特殊和一般的轉化，使得解題更加簡單，引導學生結合所學知識，將問題進行簡化處理，鍛煉學生數學信息識別和分析能力，掌握多樣化解題方法，提高學生的解題能力.

在高中數學解題教學中，化歸思想是常見的解題思想和方法，在學生解題訓練中，引導學生利用化歸思想鍛煉學生的解題能力，掌握多樣化的解題技巧.通過學生解題訓練，加深數學知識理解和應用，實現學生綜合能力發展.隨著新課程改革的深入，高中數學改革也在不斷推進，作為數學學科的重要思想，化歸思想有著重要的地位，應當靈活應用到數學解題環節，加強學生綜合素質培養.本文通過對化歸思想進行概述，簡單敘述應用原則，結合幾種化歸思想的表現形式，探究化歸思想在高中數學解題中的應用.

參考文獻：

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